• 研究背景与问题设定 [page::0][page::1]：

- 传统xVA文献多假设市场完备，存在对冲跳跃违约风险的交易工具。现实中多数对手方无此类工具，且银行自身违约对冲存在法律及实践障碍。
- 本研究提出基于局部风险最小化的非完备市场模型，处理银行和对手方违约跳跃风险，扩展至多曲线与抵押规约的背景。

• 金融市场模型设定 [page::2][page::3][page::4][page::5]：

- 银行与对手双方违约时间定义为随机停止时间，通过条件弱浸入假设确保扩展滤波器的马丁格尔性质。
- 多个风险资产Price进呈扩散过程，资金及回购利率各异，引入保证金账户，repo市场交易约束使组合完全抵押。
- 存在最小马氏测度，并满足结构条件及均方可积性，保证BSDE理论适用。

• 默认合约与保证金机制 [page::6][page::7][page::8][page::9]：

- 引入现金流、抵押与违约清算支付模型，定义合约价值与持仓价值含抵押调整。
- 保证金计息率可双向（给予方与接受方不同利率），允许再抵押。
- 组合策略定义及其自融资性质，明确各账户持仓及价值过程的数学表达。

• 局部风险最小化与Föllmer-Schweizer分解 [page::9][page::10][page::11][page::12][page::13]：

- 定义局部风险最小化策略为使成本过程马丁格尔且强正交于资产部分马丁格尔的策略。
- 建立合同支付流对应Föllmer-Schweizer分解与局部风险最小化策略存在性和唯一性等价关系。
- 证明止时过程满足结构条件及均方有界均值方差权衡过程。

• BSDE表征与解的存在唯一性 [page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19]：

- 设计BSDE驱动函数涵盖风险资产漂移调整及违约跳跃补偿，求解BSDE实现合同支付流的Föllmer-Schweizer分解。
- 证明BSDE解的唯一存在，解析表达策略权重和成本过程。

• 价格调整（xVA）分解与表达 [page::19][page::20][page::21][page::22][page::23][page::24][page::25][page::26]：

- 价格在违约前可分解为基准无风险价值(clean value)，信用风险调整(CVA/DVA)，抵押成本调整(ColVA)及资金成本调整(FVA)四部分。
- 详细推导价差过程定量表达式，并利用风险中性测度与实际测度下预期值表达。

• 二步估值方法与实际应用 [page::26][page::27]：

- 提出将违约强度分解为历史估计与市场风险因素分别处理的两步估值框架。
- 利用市场风险信息条件下历史违约概率核，实现违约概率的模拟并结合BSDE技术估计xVA。

• 资本价值调整(KVA)定义与意义 [page::28]：

- 资本成本以资本要求的预期亏损（预期短缺）为基础，乘以股东资本的“障碍收益率(hurdle rate)”形成额外的xVA。
- KVA定义体现了市场不完备导致风险仓储成本，数学表达通过条件预期下成本过程增量的预期短缺积分形成。
- 完备市场时成本过程恒定，KVA为零。

• 重要数学工具和理论依据：

- 利用结构条件与均值方差权衡过程保证Föllmer-Schweizer分解存在唯一。
- BSDE作为数学框架，链接局部风险最小化策略，实现xVA的非线性定价。
- 相关空间及正交性条件确保积分与过程的数学严谨性。

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金融研究报告详尽解读与分析

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1. 元数据与报告概览

• 报告标题：WHEN DEFAULTS CANNOT BE HEDGED: AN ACTUARIAL APPROACH TO XVA CALCULATIONS VIA LOCAL RISK-MINIMIZATION

- 作者：FRANCESCA BIAGINI，ALESSANDRO GNOATTO，KATHARINA OBERPRILLER

• 发布时间：2025年2月20日

- 主题：本报告聚焦于对衍生品交易中对手方信用风险（Counterparty Credit Risk）以及资金成本的定价和对冲，尤其是在不可能对冲银行或对手方违约风险的市场缺陷背景下，提出基于局部风险最小化(local risk-minimization)的精算方法，用于计算各种价值调整（XVA）。

• 核心论点：针对无法通过市场工具完全对冲违约跳跃风险的实际情形，应用局部风险最小化方法，利用向后随机微分方程（BSDE）构造最优对冲策略，进而实现对包含多种价值调整的衍生品价格的数学刻画。

- 作者意图：强调传统的假设市场完全、可复制的定价模型在实际中难以应用，特别是违约跳跃风险难以对冲。提出数学上严谨且实用的局部风险最小化框架，结合现代计算技术（如深度学习）实现XVA的定价与对冲，为行业提供理论基础和操作指引。[page::0][page::1]

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2. 逐章节深度解读

2.1 引言（Introduction）

• 关键论点总结

引入信用风险及资金成本对衍生品定价的重要性，回顾2007-2009年金融危机后，引发市场与学术界重新审视定价模型。提出市场不完整，多曲线利率体系及价值调整（xVA）概念。概述主要文献脉络与方法发展，凸显BSDE在XVA定价中的作用，并指出大多数文献以市场完全为假设，与现实市场存在显著差异。

• 理论依据与逻辑

金融危机暴露出单曲线模型与忽视对手方或自身违约风险的盲点，因此提倡引入CVA、DVA、FVA等多种价值调整。当前业界理论多沿用复制论证，而局部风险最小化则是在市场不完整时的对冲替代策略，BSDE提供数值求解框架。

• 关键数据/概念解释

- xVA：是对理想化无风险价格的折价或溢价，涵盖了对手方违约风险（CVA）、债务违约风险（DVA）、资金成本（FVA）等。
- BSDE（Backward Stochastic Differential Equation）：是一类以终端条件向起点反向求解的随机微分方程，适用于非线性定价和控制问题。

• 预测/推断

本文提出完全市场中的复制范式不适用时，局部风险最小化是可行的对冲策略，并且其可由BSDE形式具体计算，预示了后续章节将展开数学建模和求解。[page::0][page::1]

2.2 市场不完整性的动机

• 论点总结

明确指出实际中难以获得银行或大多数对手方的CDS或信用债用于违约跳跃对冲，说明市场不完整的根源。银行自身违约的保护交易甚至在法规上被禁止，特别是自身DVA对冲困难。强调已有文献多基于完全市场假设，提出利用局部风险最小化在不完整市场的适用性。

• 支撑论据

银行跨对手方进行代理对冲（proxy hedging）是一种理论上的弥补但不足以覆盖跳跃风险，因而揭示了多曲线信用风险估价的必要性。引用多篇相关文献形成理论支撑。

• 核心推断

将对手方信用风险类比为保险精算风险，即银行相当于通过收取CVA作为保险费，违约事件会消耗相应的准备金，因此银行承担的是实质上的非对冲风险敞口。

• 创新点

相较Bo & Ceci（2019）单曲线框架下的局部风险最小化，本报告扩展到多曲线环境，实现含完备抵押条款和银行及对手方双重违约可能的完整XVA框架，并利用深度学习等现代数值方法解决高维BSDE问题。[page::1]

2.3 金融环境基本假设（The financial setting）

• 详细构建包含银行与对手方的市场模型，包括：

- 定义概率空间、过滤、布朗运动、银行和对手方默认时间及其跳跃过程$H^j=\mathbf{1}{\tau^j \leq t}$，默认率的危害率$\lambda^j$及其假设（$\Gamma^j=\int0^t \lambdas^j ds$）。
- 假设银行和对手方违约事件不会同时发生，定义首次违约时间$\tau=\tau^B \wedge \tau^C$。
- 采用Immersion假设（任何$\mathbb{F}$-鞅在扩展过滤$\mathbb{G}$下仍为鞅），保证适当的鞅性质。

• 介绍市场中风险资产$S^i$的动态，服从有漂移和波动率的随机微分方程。

- 引入多种资金账户$B^\bullet$(指数利率型），涵盖不同理财渠道及抵押回购约束（repo），确保在现金账户和风险资产头寸之间存在线性关系。

• 描述交易在多利率曲线环境下的资产价格折现与相关技术空间—二次可积过程空间L²、正交鞅等定义，为后续数学处理做准备。

- 资金费用环节简化假设借贷利率一致，分解利率风险并引入多曲线概念，将资金成本与清算利率分离。此节为后续BSDE框架提供数学基础，非常严谨地内嵌了信用风险随机过程。[page::2][page::3][page::4][page::5]

2.4 金融合约与抵押品机制

• 定义非违约且无抵押合约的现金流$A$为有限变差的随机过程，包含跳跃，捕捉违约前的最后支付。

- 抵押品$C$作为随机过程考虑，并简化初始保证金及变动保证金的统一表示。区分银行作为抵押品提供者和接受者，定义了双方对应的利率$r^{c,l}$与$r^{c,b}$，综合为$\bar{r}^c$。

• 介绍计价过程中的权责划分：组合价值与财富不同，因抵押品所有权法律关系复杂。

- 采用现金抵押和再质押假设，符合市场主流操作习惯。

• 定义了“清算价值”$Qt$与“干净价格”$\mathcal{V}t$，前者为计算抵押、违约及信用调整的基准价值，后者为理想风险中性估值。

- 违约时的结算现金流$R\tau$采用基于清算价值与抵押品的分段函数，同时引入双方回收率$R^B,R^C$，公平反映债务和资产方违约后对现有头寸的影响。

• 典型多曲线xVA的现金流结构被囊括，并体现合约终止时各种复合调整成本。

- 组合投资策略$\varphi$定义合理且满足反映实际交易限制的动态，对冲工具应满足抵押品回购约束。

• 组合价值$V^p$与财富$V$的区分强调了实际操作中对冲策略价值的复杂性，赋值了后续局部风险最小化的研究基石。[page::6][page::7][page::8][page::9]

3. 局部风险最小化与Fo¨llmer-Schweizer分解

• 本章节重点：借助局部风险最小化(local risk-minimization)理论处理市场不完整性下的对冲设计，扩展到多曲线环境。该方法在无法完美复制标的时，寻找成本最优的对冲策略，使剩余风险最小化。

- 关键数学工具为Fo¨llmer-Schweizer分解，一种将支付现金流分拆为可对冲及剩余两部分的方式。

• 串联交易策略的自融资条件与资金账户利率关系，考虑全部交易资产及其对应回购/资金成本账户的影响。

- 属性空间定义（$\ThetaX^{\mathbb{G}, \tau}$等）确保对冲组合的数学可行性以及鞅积分定义合理。

• 明确定义自融资策略、成本过程，并给出成本过程为鞅且与风险资产正交的局部风险最小化策略。

- 提出主结果：存在局部风险最小化策略当且仅当支付流的终值存在相应的$\mathbb{G}$-Fo¨llmer-Schweizer分解，且对冲策略可由分解的分量明确计算。

• 通过结构条件和均方风险权衡过程的均匀有界性，证明了分解和局部风险最小化策略的存在唯一性。

- 讨论了选用市场信息完整性不同的过滤（信息集）$\mathbb{F}$与扩展信息集$\mathbb{G}$下策略定义的一致性与等价性，保证模型的理论完备性与应用灵活性。[page::9][page::10][page::11][page::12][page::13]

4. 通过BSDE表征Fo¨llmer-Schweizer分解

• 以向后随机微分方程(BSDE)刻画Fo¨llmer-Schweizer分解及局部风险最小化对冲策略。

- 给出不含跳跃风险的随机过程空间定义及相应的BSDE解空间$\mathbb{S}^2$, $\mathcal{H}^2$等。

• 证明存在唯一的$(Y,Z,U^B,U^C)$六元组解，同时明确了分解中对冲策略$\xi^{\mathcal{L}}$与非对冲残差$\mathcal{H}^\mathcal{L}$的表达式：

\[
\xit^{\mathcal{L}, i} = \frac{Zt^i B^ft}{St^i \sigma^i(t,St)},\quad \mathcal{H}^\mathcal{L}t = \int0^t Uu^B d Mu^B + \int0^t Uu^C d Mu^C
\]

• 驱动函数$f^i$依赖于资产的风险溢价，是BSDE非线性的来源。

- 讨论BSDE解决方案等价转换，以$\mathbb{F}$-BSDE形式简化问题，其中违约跳跃风险由额外函数嵌入，此结构化反映违约风险对策略的影响。

• 理论上保证BSDE的Lipschitz性质及存在唯一解适用前沿BSDE理论（Delong等阐述），且与模型的市场假设严格吻合。

- 本节为整个框架提供核心数值求解路径，便于借助现代计算（如深度学习方法）实现量化对冲与定价。

• 结果同时确保得到市场不完整情况下最优“局部”风险对冲，实现替代完美复制的风险管理目标。[page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19]

4.1 价值调整（Value Adjustments）分解

• 在局部风险最小化框架和BSDE解基础上，价差被形式化为多种调整的叠加：

- CVA（Credit Valuation Adjustment，信用违约调整）
- DVA（Debt Valuation Adjustment，债务违约调整）
- ColVA（Collateral Valuation Adjustment，抵押品成本调整）
- FVA（Funding Valuation Adjustment，资金成本调整）

• 明确表达各xVA调整为对应预期损失和成本的风险中性期望，条件于信息流$\mathcal{G}t$。

- 惠及了动态抵押品利差、资金利差等现实金融理由，展示价值调整的数学表达式，连接BSDE解策略组合价值与市场实际调整费率，突出资金申请和风险承受的动态过程。

• 证明局部风险最小化策略得到的价值过程$Vt$可拆解为理想“干净”价值与各项调整量的和，兼容当前银行风险管理实践。

- 结合严谨的鞅变换与期望计算，展示转换至实际定价所适用的概率测度$\mathbb{Q}$，保证模型经济合理性与金融逻辑严密性。

• 该价值分解提供银行实际报价定价框架的理论支撑，关联风险测度、资金和信用暴露，同时指明重要联动效应（如资金利差与抵押品利率差）有机包含其中。[page::19][page::20][page::21][page::22][page::23][page::24][page::25][page::26]

5. xVA的两步定价方法

• 建立于前述基础上的实用算法优化段，提出两步法计算xVA，得到更便于实际操作的形式。

- 市场风险因素与信贷风险因素分离处理：
- 先基于历史统计数据，对信贷风险变量（违约强度模型尤其是带有不完备风险维度如$W^\perp$）进行条件期望估计，形成函数$\Lambda(W^f)$；
- 再在风险中性测度下，结合市场风险因素$W^f$条件下对合约现金流进行定价。

• 该方法适用半模型设定，默认强度同时依赖直接可交易的风险因子和其他不可交易（或难估计）风险维度。

- 允许利用内部评级系统（Internal Rating Based，IRB）等历史管理方法估算默认概率，结合风险中性计算，形成可行的计算策略。

• 该两步估价显著提升了实际中xVA估计的效率和精度，框架支撑由局部风险最小化理论导出。

- 举例给出违约强度Jacobi扩散模型的具体表示，增强预测和估值的实际适应性。

• 这一大类方法满足理论严密同时兼具实际操作可行性，是当前行业的流行方案之一。[page::26][page::27]

6. 资本价值调整（KVA）

• 介绍资本价值调整（KVA）作为银行计提资本成本考量的必要扩展。

- 资本金要求源自巴塞尔III，资本持有人要求针对资本投资的风险给予一定回报（hurdle rate），增加标的定价负担。

• 通过定义成本过程的变动$\Delta \mathcal{C}^{\varphi,A^{R,C}}$衡量资金占用，结合预期亏损风险度量（如ES，Expected Shortfall），构建时间迭代资金调整的贴现期望，即KVA的期望累积。

- 阐释当市场完全时成本过程平稳，KVA自然归零，价格即为无调整价格，强调市场不完整下KVA的正当性。

• KVA解释视为类似于保险业风险附加费的角色，是以风险中性测度下的历史风险厌恶调整的体现。

- 提供了KVA的数学定义和实务内涵，呼应学界对资本成本计价的研究结果，为基于局部风险最小化的衍生品XVA框架补充核心元素。[page::28]

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3. 图表与数学表达深度解读

本报告主体为理论与模型构建，未见印刷或附页图表，全部核心内容以数学公式和定义呈现。以下为关键数学构成的解释：

• 概率空间与信息结构

- 市场信息过滤$\mathbb{F}$与包括信用事件的扩展过滤$\mathbb{G}$
- 违约过程为跳跃过程$H^B, H^C$，违约时间$\tau^B,\tau^C$
- Immersion假设使得$\mathbb{F}$鞅仍是$\mathbb{G}$鞅，关键于风险中性变换

• 资产价格动态

- 资产价格$S^i$服从带漂移$\mu^i$和波动率$\sigma^i$的SDE，考虑回购和资金费率调整
- 折现资产价格$\widetilde{S}^i = S^i / B^i$满足相应鞅条件

• 局部风险最小化的Fo¨llmer-Schweizer分解

- 任何可二次可积支付的随机变量$\mathcal{L}{\tau\wedge T}$，都存在唯一分解
- 分解形式包括对冲部分与正交剩余部分，且对冲策略$\xi^\mathcal{L}$由BSDE控制变量$Z$相关

• BSDE具体形式

- $Y$为价差部分，$Z$表示对冲权重，$U^{B}, U^{C}$分别表示银行和对手方违约的跳跃调整变量
- 驱动函数依赖风险溢价，构成非线性BSDE
- 通过$\mathbb{G}$-BSDE与$\mathbb{F}$-BSDE等价，实用计算借助后者实现

• XVA分量定义

包含有信用风险（CVA、DVA）、资金成本（FVA）、抵押成本（ColVA）清晰公式定义

• 两步估值构造

违约强度在$\mathbb{F}$和$\mathbb{G}$不同过滤下的条件期望分离表达，便于历史估计与风险中性测度整合

• 资本价值调整（KVA）

通过对局部风险最小化成本过程期望亏损计算整合资本成本

这些数学表达与模型构建准确支持了逻辑推断和风险管理实践，保证了理论的严密性和可计算性。

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4. 估值方法解析

• 核心估值思路

- 依据局部风险最小化框架，转化为求解特定BSDE问题，BSDE解$(Y,Z,U^B,U^C)$为报价与对冲策略提供具体表示。
- 定价公式中多个价值调整项为风险中性期望，体现信用风险与资金成本综合影响。

• 关键假设与输入

- 利率、波动率、违约强度过程为$\mathbb{F}$可观测有界过程。
- 违约冲击不可直接对冲，市场不完整。
- 资金账户多利率环境、多曲线框架，考虑回购市场和资金成本差异。

• 具体输入参数

- 清算价值$\mathcal{V}$，抵押品过程$C$，违约回收率$R^B,R^C$。
- 资金费用曲线差异$r^f, r^r$，抵押品利率$r^{c,l}, r^{c,b}$。

• 关于敏感性和稳健性

- 在BSDE非线性框架下，模型稳定收敛性较好。
- 通过对违约强度的历史数据估计可提高计算效率，降低模型风险。

• 计算实现

- 可基于深度学习等现代算法求解高维BSDE，推进实务应用。
- 结构设置使得无风险利率、违约风险和资金成本统一建模。

该估值框架实现了对现实市场复杂性的充分考虑，是一种切实可行的非完美复制定价方案。

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5. 风险因素评估

• 主要风险因素

- 违约跳跃风险不可对冲导致市场不完整，无法完全消除对手方违约损失。
- 资金成本及利率差异影响资金价值调整和抵押品成本，模型假定资金利差可变且动态。
- 回购市场约束限制部分机构交易，仅通过抵押品支持进行证券借贷。
- 模型假设风险包含违约强度过程的估计误差、违约回收率不确定性和流动性冲击。
- 法律法规风险尤其银行自我违约保护交易的限制。

• 风险影响

- 违约跳跃风险使得局部风险最小化策略虽最优，但仍存在剩余风险敞口。
- 估计偏差可能使调整价值计算失真，风险准备不足。
- 资金利差大幅变动导致现金流折现和成本显著波动。

• 缓解与控制策略

- 利用市场数据和历史统计优化违约强度模型。
- 采用次优对冲策略及资本成本计价(KVA)补偿风险承担。
- 采用敏感性分析与情景测试确保模型稳健。

• 概率评估

- 违约事件被视为低概率但高冲击风险。
- 资金利差波动相对频繁但可通过资金策略调整缓解。
- 法规限制为固定硬约束。

综上，报告详实识别了信用风险、资金风险和市场操作风险，结合数学工具合理应对，并辅以资本费用等间接风险缓释手段。

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6. 批判视角与细微差别

• 本报告基于强大的数学框架提供了严谨有力的定价方案，但存在以下潜在不足或关注点：

- 模型假设的现实适用性限制
- 虽然局部风险最小化方法在理论上成立，但在非常复杂的违约和流动性环境中可能效果有限。
- 假设资金借贷利率对称和统一可能与实际银行操作存在差距。
- 跳跃风险未被完全对冲，剩余风险存在
- 报告承认无法对冲跳跃，但对剩余风险管理措施披露较少。
- 对冲策略聚焦数学最优，但实际流动性与融资约束可能导致执行风险。
- BSDE高维复杂性和计算代价
- 尽管深度学习提供可行路径，但高度参数化模型仍对数据依赖强，估计偏误风险存在。
- 对市场流动性冲击和估值调整灵敏度未深入分析
- 报告主要技术处理为期望值模型，缺少对极端市场环境下模型鲁棒性的细致考察。
- 在多曲线框架中对资金账户利率等假设或简化可能不完全适合所有银行操作环境

• 内部逻辑一致性

- 报告章节间逻辑连贯，BSDE框架从基本定义到策略实现闭环完整。
- 一些符号或公式在长文本中极度复杂，阅读上有一定门槛，实际推广应用需要专家辅助。

总体，报告为学术与实务桥梁，虽然在实际操作细节上或受制于模型与数据限制，但提供了极其扎实的理论基础。

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7. 结论性综合

本报告通过严密的数学建模、合约定义和市场动态设置，针对无法对冲银行及对手方违约跳跃风险的实际环境，建立了一个基于局部风险最小化的xVA定价与对冲框架。利用免疫假设（Immersion Hypothesis）、多曲线资金账户、抵押回购市场建模及严格的随机分析工具（Föllmer-Schweizer分解与BSDE），实现了以下关键成果：

• 构造了一个包含信用风险（CVA/DVA）、资金成本（FVA）、抵押品成本（ColVA）及资本成本（KVA）的全功能价值调整结构，数学表达准确且与现实市场操作高度吻合。

- 证明在多曲线市场和违约跳跃不可对冲的前提下，存在唯一的局部风险最小化策略，且该策略与XVA估价问题可转化为BSDE求解问题，方便利用现代深度学习等技术手段求解。

• 拓展了传统复制定价的理论适用边界，对实际市场中违约风险敞口的银行风险计量和管理提供了理论支撑。

- 提出了两步估值方法，将违约强度的统计估计与风险中性定价有效分离，更加接近银行实际操作流程。

• 资本价值调整KVA的引入反映了监管资本成本的计价逻辑，补全了XVA计量范式。

该报告没有包含传统意义上的图表，以严谨数学表达为主轴，确保从概率空间及动态交易策略到资金与信用调整的刻画完整连贯。由此提供了一个可被业界银行风险管理和量化研究高效采纳的实用而理论充分的XVA框架。[page::0][page::1][page::2][page::3][page::4][page::5][page::6][page::7][page::8][page::9][page::10][page::11][page::12][page::13][page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20][page::21][page::22][page::23][page::24][page::25][page::26][page::27][page::28]

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总结：报告聚焦于违约跳跃风险难以对冲的现实问题，采用局部风险最小化理念及BSDE数学工具，全面构建了带抵押的衍生品价值调整体系。其贡献不仅在于理论完整，也兼顾实际操作，促进了复杂xVA的数值求解和风险管理的标准化、系统化。

报告