• 本文聚焦动态资产定价模型中积分方程的数值解法，采用Tauchen和Hussey(1991)的高维数值积分离散化，将连续积分转为矩阵方程，形如 $\bar{\nu}N = [I - \PsiN \circ \PiN]^{-1} bN$ ，其中 $N$ 为网格点数，矩阵维度随状态空间维度指数增长，经典计算面临维数灾难[page::1][page::5][page::7]。

- 利用HHL量子线性系统求解算法，可对上述矩阵方程实现指数级运算加速，经典算法时间复杂度约为 $O(N s\kappa \log(1/\varepsilon))$ ，而量子算法为 $O(\log(N)s^2\kappa^2/\varepsilon)$ ，$s$为稀疏度，$\kappa$为条件数，$N$规模大时优势明显[page::2][page::12]。

• 量子计算结果为量子态 $|\bar{\nu}(\theta)\rangle$ ，因此，需引入量子测量的决策理论视角，通过测量算子 $\mathbb{A}$ 计算期望损失表达模型拟合优劣，创新地将统计决策理论与量子测量结合[page::16][page::20]。

- 明确区分纯态（单一模型解）与混合态（模型不确定性即统计抽样下的模型集合），并提出对纯态和混合态分别构建决策效用函数的数学框架[page::18][page::24]。

• 提出经典歧义（基于Kolmogorov概率）与量子歧义（基于量子叠加态和相位干涉）两类不确定性表示，量子歧义通过复数幅度和相位因子形成非经典概率结构，允许对模型选择产生更丰富的模糊性表达和灵活性，涵盖Ellsberg悖论的量子分析[page::25][page::27]。

- 量子歧义导致的测量期望值分布区间大于经典区间，形成了“量子歧义不确定区间” $[pL, pU]$ ，区间外模型选择量子无歧义，可视为量子统计决策中的不确定区间判定[page::29][page::30]。

• 实证部分以Hansen等(2008)的季度对数股息增长模型为例，结合CRRA和递归效用设定，通过参数最大似然估计与抽样构造一千个模型参数模拟混合态，利用量子态表征模型与数据的拟合误差，并演示不同风险厌恶系数和基准模型选择对经典与量子歧义界限 $pL, pC, p_U$ 的影响。

• 该方法为量子经济计量模型选择提供了新范式，解决模型不确定和选择问题的复杂性，并为未来量子硬件使能的资产定价建模和不确定性量化奠定理论与计算基础[page::31][page::34][page::35]。

金融研究报告详尽分析报告

报告题目

On Quantum Ambiguity and Potential Exponential Computational Speed-Ups to Solving Dynamic Asset Pricing Models
作者：Eric Ghysels 与 Jack Morgan
发布机构：UNC Chapel Hill、Rethink.Labs Kenan Institute、CEPR及Kenan-Flagler商学院
第一稿日期：2023年5月15日
当前版本日期：2024年5月7日

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1. 元数据与概览

本报告旨在探讨利用量子计算方法解决动态非线性资产定价模型的数值问题，强调其理论上的指数级计算加速潜力，同时引入了量子决策理论基础以处理模型选择中的不确定性和歧义。报告的核心论点为：

• 将动态资产定价模型的均衡解表示为量子态，借助量子叠加和纠缠等特性，设计出比传统算法更高效的计算方案；

- 结合统计决策理论与量子测量过程，提出新的模型选择框架，区分经典歧义和量子歧义，为模型不确定性提供创新解读；

• 该方法不仅具有计算速度优势，也拓展了经济计量学中对歧义的理论理解和实务应对。

报告尚未给出具体评级，但目标在于推动经济计量和资产定价领域对量子计算的理论和实务认识。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言与研究动机 [page::0-3]

报告首先介绍量子计算作为计算范式的崛起，强调将量子计算与经典计算混合使用的未来趋势。作者提出两项主要贡献：

• 针对动态资产定价模型，开发一类数值求解方法，均衡解形式为量子态，与现有方法产生不同结果；

- 利用量子态性质，结合决策理论创新，提出解决模型模糊及不确定性的新框架，实现经典与量子歧义的分解。

动态资产定价模型核心为Fredholm第二类积分方程，记为
$$
\nu(xt) = \int \psi(x{t+1}, xt) \nu(x{t+1}) f(x{t+1}|xt) dx{t+1} + g(xt),
$$
其中$\psi$关联股息增长和随机贴现因子(SDF)，$\nu$为价格-股息比，经典数值计算涉及高维矩阵求逆。使用经典共轭梯度法复杂度为线性，但量子算法可获得对维度指数的对数级别加速，复杂度从$O(N)$降为$O(\log N)$级别，同时精度和条件数影响较大。尽管当前量子硬件尚不成熟，但该潜力令人关注。

此外，测量量子输出非经典且本质上是概率性的，报告突破性地将测量过程视为决策问题，建立量子决策理论基础，为经济计量提供新的模型选择工具。

2.2 资产定价模型回顾及数值方法 [page::5-10]

报告详细阐述基于Tauchen和Hussey(1991)的多维积分求解与高维量化（quadrature）方法。经济状态由$ny$维Markov过程驱动，价格-股息比分布描述为
$$
\nu(x) = \int [1 + \nu(y)] \psi(y,x) f(y|x) dy,
$$
其中$\psi(y,x)=h(y) \times m(y,x)$，$h(y)$为股息增长率，$m(y,x)$为随机贴现因子。

通过将积分算子离散化为$N$点高斯量化规则，转化为离散Markov链，得到矩阵形式的线性方程组
$$
\bar{\nu}N = [IN - \PsiN \circ \PiN]^{-1} bN,
$$
其中$\PsiN$结合股息及贴现因子矩阵，$\PiN$为转移概率矩阵，要求矩阵满足可逆性（Assumption 2.2）。

该离散化为经典数值解法的基础，但随着$N$增大，计算复杂度急剧增加。此时，量子算法设计成为突破瓶颈的关键。报告还提及利用Perron-Frobenius定理和特征向量分析随机贴现因子长期风险的连接。

2.3 模型不确定性与参数歧义 [page::10-12]

借鉴Hansen和Sargent (2023)框架，将模型参数$\theta$视为潜在状态空间，定义概率空间，强调基于Anscombe和Aumann(1963)理论结合决策统计的模型不确定性研究。作者指出在具体问题中参数可分为客观可信度和主观歧义两部分。多模型和参数分布扩展意味着计算负担进一步加重，而量子计算可大幅降低组合模型计算成本（乘法复杂度转为加法复杂度的对数）。

3. 量子计算数值解法 [page::12-15]

报告介绍著名的HHL(2009)量子线性系统求解算法，及其基于量子叠加态储存向量，实现矩阵反演的潜在指数加速。强调当前NISQ时代硬件受噪声限制，直接实现仍具挑战，但有若干混合和改良HHL算法被提出，现实应用逐步可能。

举例说明状态变量维度和量化点数的指数增长，如仅4维状态但5点量化即成$5^4=625$维度，9点量化两过程8维度则高达数千万维。经典计算不可行，量子算法优越度由$\log2 N$体现，特别是在多模型和不确定性情境下。

算法关键步骤包括量子态准备，量子相位估计(QPE)，受控旋转，逆QPE和测量，最终获取线性系统解的量子态。解向量为量子态$|\bar{\nu}(\theta)\rangle$，编码价格股息比的均衡解（已规范化单元矢）。同时定义数据量子态$|d\rangle$作为经验量价分布，二者均为单位范数向量，模型与数据的差异体现模型拟合度和误差。

4. 量子测量与决策理论基础 [page::16-24]

报告创新地将量子态测量解释为决策操作，将测量过程中的概率性和干涉视为决策者（经济学家）的主观“歧义”态度。将经典决策理论和量子决策理论结合，区分：

• 状态(state) ：量子态为资产定价模型输出，采用正交基底（$\left|ui\right\rangle$）表征，超越经典概率测度，使用von Neumann量子概率代数；

- 行为(act) ：测量操作对应自伴算子$\mathbb{A}$，用于定义期望效用/损失，如$\langle d-\bar{\nu}(\theta)| \mathbb{A} | d - \bar{\nu}(\theta)\rangle$；

• 喜好(preference) ：释义为对数据与模型误差态的期望损失，奖励模型贴合数据。

定义纯态对应单一模型解，混合态为不同模型的统计混合。引入“经典歧义类行为”（$C D$级）和“量子歧义类行为”（$Q D$级），体现模型信心程度与测量算子的不确定性。消除歧义的定理（Theorem 4.1）表明无歧义时数据和模型行为期望相等，存在歧义则不同。定义了模型间横向比较的缩放指标（Definition 4.3），以基准模型为规范。

报告通过构造量子混合态和混合算子，刻画多模型不确定性和不同源头的混合概率，表述“彩票”(lottery)和“马赛跑”(horse race)两类概率情境。

5. 超越经典：量子叠加与量子歧义 [page::25-29]

报告进一步阐释量子歧义的实质，强调复数幅度和相位的干涉效应，用一维两个基态叠加示例说明不同量子态的内在差异不可由经典概率解释。定义量子歧义算子（Definition 5.1），表示量子态为两个状态的叠加与相位因子组合。

通过投影算子测量期望分解(定理5.1)，将歧义分为两部分

• 经典歧义部分（概率混合形式）；

- 量子歧义部分（干涉项，含余弦相位调制），相位$\delta$提供模型额外的歧义调节自由度。

此结构解释Ellsberg悖论等行为异常，并提出量子歧义优劣排序方法（Definition 5.2）。报告进一步通过图示（Figure 5.1）直观展示经典歧义与量子歧义在期望损失量化上的差异。量子歧义产生的“不确定区间”明显扩展了决策选择模糊区域。可通过限制相位范围调整模糊度大小。

6. 实证示范与应用 [page::31-34]

实证模型基于Hansen等（2008）提出的季度对数股息增长AR(1)模型：
$$
d{t+1} - dt = a + x{t+1} + b e{t+1},\quad x{t+1} = \rho1 xt + c \epsilon{t+1}
$$
参数$\thetaL=(a,b,c,\rho1)$通过最大似然估计获得，使用美国1964Q1-2020Q4季度股息数据，参数估计及误差详见附录。参数置信区间引入参数不确定性，利用1000次抽样产生混合态模型集合，反映参数统计变异。

随机贴现因子(SDF)参数$\xi$基于不同偏好假设CRRA和递归效用计算，涉及风险厌恶系数$\gamma$调节。

利用典型的4×4状态转移矩阵，总维度$N=16$对应一个16维量子线性系统，使用Qiskit模拟量子算法完成数据和模型态的编码与量子测量期望计算，作为理想噪声无误差下HHL算法的代理。

图6.1显示量子歧义下基于模型与数据和基准状态投影的期望损失曲线，分析参数$\gamma$和混合权重对不确定区间$[pL,pU]$的影响。结果显示增加$\gamma$对区间长度影响有限，说明SDF参数估计难度大。通过调节经典概率混合比例$p$，表明量子态测量为模型选择引入了更丰富的模糊和决策边界。

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3. 图表深度解读

图5.1：经典与量子歧义对比图 [page::29]

此图含三个子图，X轴为概率混合权重，Y轴为期望损失。

• (a) 经典歧义线性加权，曲线为模型在不同$p$下的损失，红色为基准模型与数据的固定期望损失。交点$pC=0.49$表示经典选择临界点。

- (b) 量子歧义下，损失曲线被椭圆所包围，代表量子干涉引起的上下界，形成不确定区间$[pL,pU]$，其中$pL=0.09,pU=0.90$。在该区间内基于不同相位干预无法决断模型优劣。

• (c) 通过限制干涉相位$\delta$范围，椭圆缩小，不确定区间缩短，增强决策确定性。

该图生动展示量子歧义扩展了模型选择中的模糊与非确定区域，提供比经典概率更灵活的调节机制。

图6.1：实证模型量子歧义示范结果 [page::33]

4个面板分别对应不同参数组合，X轴为权重$p$，Y轴为期望损失，曲线与图5.1结构类似：

• (a)和(b)为基准CRRA模型($\gamma=10$)与目标长远风险模型($\mathrm{IES}=1$)对比，显示$pL$,$pC$与$pU$分别为0.09，0.49，0.89，区域长度保持；

- (c)和(d)调节基准模型与数据的混合权重，改变对数据的信心度，明显影响量子不确定区间宽度和位置。

该图体现了量子决策框架对现实经济模型不确定性处理的灵活度和解释力。

图A.1-A.2与表A.1 ：参数估计与拟合 [page::46-47]

• 图A.1呈现模型的1期前瞻预测及95%置信区间，展示模型拟合真实股息增长数据能力，且标显极端事件存在但模型拟合仍合理。

- 图A.2为KL散度分布直方图，反映由蒙特卡洛模拟参数抽样产生的模型不确定性分布，为混合态建模基础。

• 表A.1列出模型参数估计值与标准误，均显著，支持模型结构。

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4. 估值分析

尽管报告未聚焦于具体资产估值指标，但报告中提出的$\nu(x)$即价格-股息比率本质上是估值函数。通过量子算法实现对迭代方程的高效求解，间接完成估值模型中价格的计算。

报告转化为线性方程组求逆问题，构造算子$\mathcal{A}N=[IN-\mathcal{H}N \circ \mathcal{M}N \circ \PiN]$，其逆作用于权重向量$bN$，获得近似均衡估值解。量子算法赋予求解逆操作$O(\log N)$的速度优势，极大提升估值模型复杂度和精度。

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5. 风险因素评估

报告指出两类主要风险：

• 计算风险：当前量子硬件可靠性较差（噪声、误差），限制了算法实际应用，但硬件持续改进，技术门槛将逐渐降低。

- 模型风险：包括模型不确定性、参数歧义以及模型误设，传统经典算法计算成本高，难以处理多模型组合及复杂不确定性。量子计算提供新的工具和理论框架，利用量子歧义表述主观模型信心，提供形式化的鲁棒决策机制。

报告未详细给出缓解策略，但提出了结合统计决策理论与量子决策的创新框架，为未来风险缓解提供理论基础。

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6. 批判性视角与细微差别

• 假设的合理性：报告大量依赖参数分布假设和有限离散状态空间( $N$有限），推断潜在不适用于无限或更复杂动态情形，作者也明确指出无限维Hilbert空间和连续状态问题留待未来研究；

- 量子测量的决策解释：将量子测量视为经济计量决策是一大理论创新，但脱离实验物理测量的物理性，量子态构造及操作的经济含义需更深入阐释，当前更偏理论假设；

• 硬件局限：尽管报告采用经典模拟而非实际量子硬件运行，实际量子计算机噪声和规模限制可能使“指数加速”暂时难以实现，存在技术门槛；

- 理想模型匹配：Assumption 3.1假设模型不完美拟合数据，事实成立，但差异的具体来源（模型指定误差与样本误差）未深入区分；

• 复杂数据设定缺失：实际应用仅聚焦较简模型和单一股息数据，尚未验证更复杂宏观金融模型下的适用性和优势。

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7. 结论性综合

本报告开创性地将量子计算与资产定价模型结合起来，在理论与方法论层面实现了：

• 提出利用量子态的资产定价均衡解表现形式，将Fredholm型积分方程转化为高维线性方程组，利用HHL及其混合变体进行求解，突破传统数值计算瓶颈，实现维度上的指数级计算加速；

- 构建基于量子概率和von Neumann测量的决策理论框架，令经济计量师能量化和解释来自模型参数及选择的经典歧义与量子歧义，扩展了模糊性理论，深化对模型选择不确定性的理解；

• 通过实证模型将理论付诸模拟，展示量子叠加导致的量子歧义能显著扩展决策上的模糊区间，实际模型参数调节对结果的影响有限，表明量子歧义带来的新维度解释力；

- 报告清晰地揭示了量子算法执行的步骤与测量操作的经济计量含义，提供了连接量子计算理论与经济应用的桥梁；

• 图5.1与图6.1等图表提供了直观的量化演示，展示量子与经典歧义的不同影响与决策结构，极具启发性；

- 报告最后呼吁未来对无限维Hilbert空间、采样理论、量子统计推断、硬件优化和更复杂经济模型的扩展研究。

总体来看，作者态度谨慎客观，强调量子计算尚处于发展初期，现实加速尚未实现，但理论潜力巨大，为未来经济计量学加入量子计算提供了严谨而富有前瞻性的起点。

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8. 参考图表展示

图5.1: Classical versus Quantum Ambiguity

(a) Classical Ambiguity


(b) Quantum Ambiguity I


(c) Quantum Ambiguity II


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图6.1: Illustrative Empirical Models

(a) Benchmark CRRA with $p=0.5$, Target IES=1, $\gamma=2$, $pL=0.09$, $pC=0.49$, $pU=0.90$
(b) Benchmark CRRA with $p=0.5$, Target IES=1, $\gamma=10$, $pL=0.09$, $pC=0.49$, $pU=0.89$
(c) Benchmark CRRA with $p=0.9$, Target IES=1, $\gamma=10$, $pL=0.28$, $pC=0.89$, $pU=0.99$
(d) Benchmark CRRA with $p=0.1$, Target IES=1, $\gamma=10$, $pL=0.00$, $pC=0.10$, $pU=0.71$



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图A.1: Observations and Predictions with 95% CI

图A.2: Kullback-Leibler Divergence Distribution

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总结

本报告提出并系统论证了利用量子计算为动态资产定价模型提供具有理论驱动的指数加速算法，同时引入以量子概率框架为基础的经济计量决策理论，开辟跨领域交叉创新，是将前沿量子技术导入复杂金融模型分析的重要突破。其理论框架完善、技术路径明确、实证示范合理，为未来量子经济学和量子计量经济学的研究奠定了坚实基础。

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报告