AMM动态费用的重要性与建模框架 [page::0][page::1][page::2]

• AMM作为去中心化交易平台，解决了流动性提供的损失问题，费用成为补偿不可避免的暂时损失（impermanent loss）的关键。

- 文章采用随机控制方法，考虑买卖手续费作为动态控制变量，通过控制买入卖出的订单强度，影响订单流量与套利者行为。

• 目标是最大化在有限时间内收取的累计费用，模型包含风险资产和无风险资产以CFM形式建模交易池。

最优费用的闭式解及两种近似方法 [page::6][page::7][page::12]

• 第一个近似假设外部价格常数，化简HJB方程，通过矩阵指数形式求解，从而获得最优费用的显式表达式。

- 第二个近似为带有随机价格的二阶泰勒展开，拟合HJB指数项，构造二次多项式形式的费用函数，显式给出系数及最优费用线性结构。

• 两种方法均揭示最优交易费率呈现两种状态：高费用惩罚套利者；低费用激励噪声交易提升波动性。

费用结构的模拟分析及参数敏感性 [page::7][page::8][page::9][page::10][page::13]

• 通过数值模拟，发现累计费用随订单基线强度λ增加而增加，随着k（敏感度参数）降低，手续费水平上升，理由为套利者对价格变动反应减弱。

- 优化费用在θ参数（惩罚对齐价格项）变化时调整，费用从结构性动态演变至高惩罚对齐预期价格状态。

• 线性费用结构近似最优费用表现出优异的实用性，收益与复杂的最优策略接近。

- 动态费用对外部价格和时间敏感，体现了AMM调节市场影响的动态机制。

策略性能比较与结论 [page::11][page::15]

• 最优策略显著优于固定不变费用策略，且两个近似模型的性能几乎一致，支持使用线性动态费用设计降低计算复杂度。

- AMM通过监控外部市场价格动态调节买卖费用，以平衡惩罚套利者和吸引噪声交易的双重目标，增强市场流动性和收益。

• 本研究对AMM设计具有理论指导意义，未来可拓展至动态流动性及机器学习自适应定价研究。

关键图表参考示例

• 展示两种近似模型中不同池内资产数量对应的买卖最优费用曲线，明显呈现“惩罚套利”和“激励噪声交易”两种机制分界点。

- 展示线性费用近似对最优费用的拟合效果，验证简化策略的实用性。

• 三维展示第一个和第二个近似的价值函数及其差异，验证模型一致性。

金融研究报告详尽分析报告

报告标题： Optimal Dynamic Fees in Automated Market Makers
作者： Leonardo Baggiani, Martin Herdegen, Leandro Sánchez-Betancourt
发布机构及日期： 2025年6月4日
研究主题： 自动化做市商（AMMs）中最优动态手续费的设计与分析

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1. 元数据与概览 (引言与报告概览)

本报告系统研究了自动化做市商（AMMs）——特别是基于常数函数做市商（CFM，Constant Function Market Makers）机制——中动态手续费的最优设定问题。报告核心是在于通过数学建模和最优控制理论寻找动态费率结构，平衡交易所的收入最大化与交易行为的激励设计。研究发现存在两种截然不同的手续费策略：

• 高费率模式：对套利者加以惩罚，防止其快速进出导致流动性提供者亏损。

- 低费率模式：降低交易费用以刺激价格波动，从而吸引更多的噪声交易者，提高交易量。

两种模式互为制衡，使AMM能够兼顾防御套利与促进流动性，提升整体收益。论文还表明，通过库存（资产数量）和外部市场价格变化的线性函数形式设定动态费用，是对最优策略的良好近似，具备较强的实用性。

此论文不仅具备理论创新，还紧贴Uniswap v4等前沿AMM平台实现动态费率的现实背景，对DeFi生态中的做市机制设计具有重要参考价值[page::0,1].

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2. 逐节深度解读

2.1 引言与背景 (第0-1页)

报告首先回顾了AMM的发展背景，指出自Uniswap v2以来，AMM已迅速成为DeFi的重要组成部分。早期文献主要关注基本运行机制及流动性提供者的损失（尤其是“不可永久损失”Impermanent Loss，IL）。该损失源于流动性的被动提供和价格波动之间的矛盾[page::0].

为缓解IL，一些研究设计算法、激励机制及价格发现方法。报告引用多篇前沿文献，涵盖诸如基于竞价的AMM（Adams et al., 2025）、以信息为基础的最佳交易函数优化（Goyal et al., 2023）、以及基于外部价格信息的定价机制（Bergault et al., 2024b）等。其中对IL的管理和对流动性提供者激励机制设计表现出持续的关注和创新动力[page::0].

作者指出本研究的核心聚焦于动态手续费设计，这是目前发展中的重要话题。现有文献多限于静态常数费率或者未建立严格最优性的动态费率设计。相较而言，本文将通过随机控制方法明确最优费率，填补该领域空白[page::1].

2.2 模型设定 (第2-4页)

本报告采用CFM为基础模型，考虑资金池中两种资产：风险资产$Y$与无风险资产$X$。定义交易函数$f(x,y)=p^2$，体现池的深度固定。更具体地，以函数$\varphi$ 表示资产X的数量对资产Y的函数关系，假设其单调减且凸函数（排除无风险套利）[page::2].

资产Y的数量限制在有限网格上，$y^{-N} \leq y \leq y^{N}$，对应资产X的数量则是$\varphi(y)$的取值，保证总深度恒定。三种关键的汇率定义：

• 边际汇率：$Z(y) = -\varphi'(y)$，对应无限小交易的价格。

- 买入汇率：$Z{-}(y) = \frac{\varphi(y^{-})-\varphi(y)}{\Delta^{-}(y)}$，反映一次买入交易的均价。

• 卖出汇率：$Z{+}(y) = \frac{\varphi(y)-\varphi(y^{+})}{\Delta^{+}(y)}$，对应卖出交易的均价。

费用$\mathfrak{p}$和$\mathfrak{m}$加入于卖出和买入流程中，费用单位是资产X，费用被收取到交易所以后用于奖励流动性提供者，交易池机制本身仍按无费用的基础汇率运作[page::3,4].

交易发生由随机点过程控制，买卖订单的到达率依赖于收费结构和市场外部价格$St$（用布朗运动模型表示），并体现出套利空间激励——即当AMM内价格与集中交易所价格存在套利空间时，交易到达率呈指数变化[page::4].

累计手续费的动态和期望收益用数学公式严格定义，控制对象为收费策略$\mathfrak{p}t$、$\mathfrak{m}t$，目标是最大化费收减去价格偏离惩罚的期望值。该惩罚函数$P$一般为汇率与外部价格差的二次方，代表价格偏离成本，但主要结果以无惩罚$P=0$为主[page::5].

2.3 动态规划与HJB方程 (第5-6页)

通过动态规划，推导出问题对应的Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程，描述价值函数的动态演化。价值函数被分解成手续费累计部分与剩余部分，方程涵盖了：

• 价格波动项（布朗运动扩散项）

- 交易冲击（费用导致的状态跳变及状态依赖交易到达率）

• 优化项（寻找最优费率使得价值函数最大）

最优费用策略以价值函数增量形式表示，具体为卖出和买入手续费的函数。HJB方程本身非常复杂且难以直接求解，因此后续分为两种近似情形处理：

1. 外部价格固定$St = S0$（无波动）

2. 对指数项做二次近似，放宽对价格波动的考虑[page::5,6].

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3. 图表深度解读与数值模拟

3.1 第一近似：固定外部价格下的最优费率（图2、图8）

报告通过定理4.1给出固定$S0$情况下的价值函数求解，利用矩阵指数方法将HJB转化为线性ODE系统，明确地计算出最优费用策略。此时价值函数仅依赖当前资产库存$y$，手续费结构形成二维函数（买入、卖出）[page::6,7].

图2a、2b：
显示最优买卖手续费随资产$Y$数量变化的曲线。可见当$y$低于基准值$y0$时，卖出手续费较高（惩罚套利者），而买入手续费则较低甚至负，吸引噪声交易者刺激交易波动；反之亦然，实现双向监管机制（造成价差与流动性的平衡）[page::7,8].

图8则对比手续费不同参数下的敏感性和线性近似的准确性，结论是线性近似在小范围内极为有效，极大降低策略设计复杂度，便于实务应用[page::7,8].

3.2 参数敏感性实验（图3、图9、图10）

• 参数$k$（指数灵敏度）变化的影响（图3，图9）：

较高$k$使手续费策略更激进（对价格偏离极其敏感），而低$k$反映交易者对价格变动反应迟钝，做市商倾向于保持价格接近参考价，手续费分布趋于平缓。Corollary 4.2和5.3验证了$k\to0$情况下手续费的极限形式[page::8,9,13,14].

• 惩罚参数$\phi$影响（图10，图14）：

增大$\phi$使AMM更倾向紧跟外部价格，通过正负手续费调整驱动价格维持在期望范围内，抑制边界行为。手续费的形态及量级随$\phi$线性变化，显示出调节市场价格对设计手续费结构的重要性[page::10,14].

• 外部价格$s$影响（图14右图）：

线性费率与外部价格存在明显线性关系，随着$s$升高，卖出手续费$\mathfrak{p}$降低，买入手续费$\mathfrak{m}$升高，反映对套利者行为的动态响应[page::14].

3.3 第二近似：波动性下的二次展开（图13-15）

报告第二部分通过对指数效应做二次近似形成拟合的二次多项式结构，利用Riccati方程和常系数ODE计算最优价值函数解（Theorem 5.2），并得出最优费率为资产库存$y$和价格$s$的线性函数，且费率结构不直接依赖价格波动率$\sigma$[page::11,12].

图13：展示二次近似下的最优费用与第一近似的对比，二次展开下手续费在边界处无过度倾斜，更加平滑稳定。
图15：比较两种近似下的价值函数，差异较小，验证了近似方法的准确性。
数值模拟表明，二次拟合的策略收益与第一近似策略几乎一致，且均显著优于固定手续费策略（常数费率）。此结果支持线性动态费率的应用价值[page::12-15].

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4. 估值分析

本报告核心估值方法基于随机控制问题通过最优费用策略最大化收益。具体估值技术包括：

• 利用动态规划原理得到的HJB偏微分方程，通过有限状态空间变换为线性ODE矩阵方程（第一近似，固定汇率）；

- 二次展开近似，转化为Riccati常微分方程及线性ODE系统（第二近似，可考虑价格波动）；

估值输入参数包括基线交易强度$\lambda^{\pm}$，参数$k$控制订单到达率对价格的敏感度，资金池深度$p^{2}$，交易量固定$\delta^{\pm}$，以及价格过程的波动率$\sigma$。
通过解上述动态规划方程获得时间和状态依赖的最优费用$f(t,y,s)$，结合状态转移概率及费用产生—实现对收益的估计。
敏感性分析表明，参数$k$越低，策略对价格偏差反应平缓，整体手续费水平趋高；参数$\lambda^{\pm}$增大，有利于增加交易频率与收益[page::6-12,15].

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5. 风险因素评估

报告虽未专门列出风险因素，但从模型及背景中可推断出主要风险点：

• 价格模型假设风险：外部价格$St$假设为布朗运动简单模型，未涵盖跳跃、极端波动，实际市场更复杂或影响策略效果；

- 参数估计误差：基线强度$\lambda^{\pm}$、灵敏度参数$k$等难以准确估计，参数偏差可能导致非最优费用设定；

• 模型简化假设：资金池流动性固定，忽略了流动性动态调整、资金进出等现实因素；

- 套利者行为复杂性：套利行为可能受其他市场机制影响，模型对于套利响应的假设有简化成分；

• 系统实施风险：智能合约执行中动态收费策略需确保安全及无漏洞，否则费用机制易被操纵。

报告中部分结论基于无惩罚项（$P=0$）条件，实际中需考虑价格偏离带来的风险，未来研究拟扩展这些风险管理与缓解策略[page::5-6,16].

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6. 批判性视角与细微差别

报告逻辑严密，模型系统且与市场实践高度结合，是首批针对AMM动态费率最优设定的理论成果之一。然而有以下几点须谨慎考量：

• 模型对于流动性动态调节未考虑，流动性提供者行为及资金流动可能显著影响手续费策略与池内价格动态；

- 外部价格模型过于简约，实际市场中价格发现机制复杂，存在跳跃、非对称信息，未来工作需兼顾更复杂价格行为；

• 第二近似的手续费独立于波动率$\sigma$，虽简化计算，但或忽略了部分市场风险敏感性；

- 模型对套利者和噪声交易者依赖的假设较为理想化，现实市场中行为可能更为复杂多变；

• 报告默认了手续费消耗的收益直接回馈到LP，实际回报机制可能受平台设计复杂度影响。

总的来说，虽然报告假设受限，但研究为AMM动态费率设计提供了关键理论基石，未来需结合更多市场因素与实证数据进行深化[全文].

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7. 结论性综合

本报告针对AMM平台动态手续费设定问题，从随机控制角度建立数学优化模型，提出两个近似解法，均揭示最优费用具有双重调节角色：

• 通过高费率抑制套利交易，保护流动性提供者免受过度利用价格差带来的损失；

- 通过低费率鼓励噪声交易，以提升价格波动性和交易活跃度，从而增加手续费收入。

丰富的数值模拟（包括固定/波动价格环境、不同参数条件）显示，最优策略显著优于传统常数费率规则，且线性费用模式能较好逼近最优策略，便于市场实际应用。

此外，动态费率设计还显示与外部市场价格存在联动关系，能够因应市场环境变化适时调整费用，体现了去中心化交易环境下机制设计的精妙与创新。

虽然模型对流动性动态与复杂市场行为尚待扩展，本文为AMM费率设定提供了系统理论框架和实现路径，为DeFi机制设计提供了重要启示和实践指导[page::0-16].

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8. 图表汇总展示

• 图1a,b ([page::1-2]) 两种近似下的最优买卖手续费函数，明显划分了“惩罚套利”和“促进交易”两种区间。

- 图2a,b ([page::7,8]) CPM货币池中最优手续费空间分布及其线性近似效果。

• 图3a,b ([page::8]) 不同敏感参数$k$下手续费形态变化，反映模型对参数高度依赖。

- 图4a,b ([page::9]) $k \to 0$的极限费率，与有限$k$状态的比较。

• 图5a,b ([page::10]) 惩罚参数$\phi$变化对手续费空间的调控影响。

- 图6a,b ([page::10]) 费用随时间与资产库存动态变化的曲线。

• 图7a,b ([page::13]) 第二近似费率与第一近似的对比，在动态价格环境下的手续费形态。

- 图8a,b ([page::14]) 第二近似下费用$k \to 0$极限表现。

• 图9a,b ([page::14]) 费用随惩罚函数与外部价格$S_t$的双参数调节。

- 图10a,b,c ([page::15]) 两种价值函数近似的空间时间分布及二者差异展示。

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结语

本研究以严谨的数学建模、充分的理论推导和数值模拟贯穿全文，开创性地分析了AMM中动态费用设计的最优结构，兼顾理论与应用，深化了去中心化金融领域对做市机制理解。研究成果不仅具有学术价值，也为DeFi产品设计指明了方向，具备广泛的推广意义。

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