粗糙波动性假设及研究背景 [page::2][page::3]

• 粗糙波动模型基于低的Hölder正则性，成功描述了传统股票及指数市场中波动率的微观动态特征。

- 比特币市场结构与传统市场显著不同，包括流动性分散、跳跃性波动、市场协议变化等，粗糙模型的适用性尚存疑问。

数据及方法论概述 [page::7][page::9][page::12]

• 采用2017-2024年比特币1分钟至15分钟高频价格数据，选取每年连续90天内数据最完整窗口。

- 利用Cont和Das（2024）提出的规范化$p$-variation统计量$W(L,K,p)$，根据块大小选择原理$K\approx\sqrt{L}$进行粗糙度估计。

• 通过MF-DFA、多重分形对数矩尺度分析和小波领导者方法，考察多重分形特性。

- 数据预处理严格剔除缺失，保障高质量统计推断基础。

估计结果及诊断 [page::16][page::17][page::18][page::19]

• 粗糙度估计$\hat{H}^{L,K}$随分块数$K$变化大幅波动，超过合理范围多数情况下估计不可用。

- 在理论指导的最优块数下，$\log W(L,K,p)$在所有年份和频率条件下均严格为负，无零穿越，无法确认粗糙指数。

• 说明传统粗糙模型假设的全局标度规律不适合比特币。

平稳性与结构断裂检验 [page::25][page::26][page::27]

• ADF单位根检验强烈拒绝非平稳性假设。

- 滚动窗口均值和方差无显著波动，局部统计特性稳定。

• 结构断裂检测结果指向局部波动聚集，并非持久结构变化。

- 综合判断排除非平稳性和断裂是粗糙度估计失败的原因。

多重分形特征证据 [page::18][page::19][page::31]

• MF-DFA显示波动率的广义Hurst指数$H(q)$随$q$明显非线性，谱宽0.06至0.42，打破单一指数假设。

- 对数矩尺度和小波领导者分析一致显示多重分形特征，洗牌重排数据后谱宽和曲率均大幅减小，指示多重分形起因于时间相关结构。

• 结果明确验证比特币实现波动率存在多尺度时间依赖的复杂动态。

研究结论与理论启示 [page::20][page::21][page::23]

• 比特币波动率不符合粗糙波动的单一标度结构假设，传统粗糙模型结构性不匹配。

- 多重分形随机波动率模型等多尺度框架更适合捕捉数字资产的复杂波动特征。

• 实务中需谨慎使用粗糙参数估计，转向多重分形或局部异质模型改善风险管理与定价效果。

金融研究报告详尽解读报告

报告元数据与概览

• 标题： Scale-Dependent Multifractality in Bitcoin Realised Volatility: Implications for Rough Volatility Modelling

- 作者： Milan Pontiggia

• 机构： 波尔多大学 MAGEFI 国际经济与金融硕士项目

- 日期： 2025年7月2日

• 主题： 本报告旨在分析比特币实现波动率的多分形结构及其对粗糙波动率模型适用性的影响。

报告核心论点概要

报告通过严谨的统计测试，发现比特币实现波动率表现出显著的多分形（multifractal）结构，且该结构是尺度依赖的。这一现象与粗糙波动率模型中假设的尺度均匀性（homogeneous Hölder continuity）相违背，导致基于正常化$p$-变差估计器的粗糙指数估计失败。虽然粗糙波动率模型在传统金融市场（如股票和外汇）中表现良好，但其结构性假设与比特币市场的经验特征不符。因此，报告建议在加密货币波动率建模中应采用能够反映多分形和尺度依赖性的模型。

逐段深度解读

1. 引言与研究动机

• 1.1 背景与动机

- 粗糙波动率模型通过刻画波动率路径的低Hölder正则性（Holder regularity），成功捕捉了传统市场中波动性的细微动态特征，如波动聚类和短期持久性。
- 然而，比特币市场的独特结构（如市场流动性碎片化、大跳跃频发、波动率的状态切换、以及快速演变的市场微观结构）提出了对粗糙波动率模型通用性的质疑。
- 报告中指出，粗糙指数$H$是通过决定过程的$p$-变差是否有限来量化路径的粗糙度，但现有研究未系统验证比特币波动率是否满足粗糙波动率模型所需的尺度均匀与平稳性假设。
- 本研究利用Cont和Das（2024）提出的模型无关正常化$p$-变差估计器，系统考察比特币在多个频率和时间段下的波动率粗糙性。

• 1.2 研究空白

- 传统的粗糙波动率研究主要集中于股票和指数市场，很少有研究关注加密货币。
- 现有关于比特币的粗糙波动率估计往往基于参数推断或启发式方法，且多忽略了关键的尺度均匀性和平稳性假设验证。
- 多分形动态和非平稳现象在比特币市场尤为可能存在，提示粗糙度估计结果可能受到估计误差及结构异常的影响。
- 本研究填补该空白，通过严格的模型无关诊断与多分形分析审视比特币波动率粗糙性。

• 1.3 研究问题与经验困境

- 主要探问比特币实现波动率是否满足粗糙波动率模型基于的均匀尺度假设。
- 使用Cont-Das估计器的初步结果表明，比特币波动率未能显现明确定义的粗糙指数，表现出与股票和外汇市场不同的异常行为。
- 该异常引发三个可能原因的疑问：估计的有限样本效应、市场特有结构（如多分形）、模型结构性不匹配。

• 1.4 假设设定

- H1：比特币波动率不满足归一化$p$-变差法的全局标度规律假设，导致粗糙度估计无效。
- H2：估计失败可能由有限样本误差和数据异常引起，属于方法操作上的限制。
- H3：非平稳性或结构断点破坏了估计器假设，影响估计稳定性。
- H4：比特币波动率呈现多分形时变特征，无法用单一的粗糙指数描述，违背均匀尺度假设。

• 1.5 研究贡献

1. 广泛应用Cont-Das框架于2017-2024年比特币高频数据，涵盖多采样频率，首次全面呈现稳定的估计失败现象。
2. 结合平稳性诊断和多分形检测工具，排除估计误差和非平稳性的解释，确认多分形结构的存在。
3. 提示粗糙波动率模型在比特币市场中的结构性局限，引导采用多分形随机波动率等替代模型。

2. 文献综述

• 2.1 粗糙波动率与Hurst指数

- 粗糙波动率模型将市场波动视为低于布朗运动（$H<0.5$）的粗糙过程，强调短期不规则性和波动聚类。
- 股票和指数市场通过实证研究支持$H$在0.1至0.3区间的估计结果，模型在捕捉隐含波动率结构上表现卓越。
- 然而，部分文献指出低$H$值估计可能由微观结构噪声和采样不规则导致，而非真实过程的内在属性，警示粗糙度估计可能存在误导。

• 2.2 Cont–Das归一化$p$-变差估计器

- 提供非参数、模型无关的粗糙度估计方法，通过计算区间$p$-次范数累积的归一化统计量$W(L,K,p)$，寻找$\log W(L,K,p)$在1/p轴的零交叉点$p^$对应粗糙度$H=1/p^$。
- 该方法具鲁棒性，减少了传统基于对数波动增量回归中的偏误和噪声敏感性。
- 在标普500等传统市场上体现出优越的估计表现。

• 2.3 金融时间序列的多分形特征

- 多分形时间序列特征在于不同时间片段具有不同局部标度指数，违背单一标度指数假设。
- 多分形随机漫步和多分形随机波动率模型提供理论框架解释金融市场中的波动聚类、厚尾和长记忆等性质。
- 现有研究也证实包括比特币在内的加密货币收益和交易量呈现多分形结构，尤其是高频比特币波动率存在多尺度依赖。
- 由于多分形与粗糙波动率模型的均匀标度假设不兼容，使用全局粗糙指数估计器在存在多分形结构时可能失效。

3. 数据与方法论

• 3.1 数学框架

- 介绍$p$-变差概念及Hölder指数的数学定义，粗糙度指数为$H=1/p^*$。
- 给出归一化$p$-变差统计量公式$W(L,K,p)$及其基于不同块分割的计算方式。
- 多分形诊断包括：
- 多分形消趋势波动分析（MF-DFA），
- 对数-对数刻度的矩量回归，
- 小波领导系数的多分形分析，
- 多分形指标表现为$q$与标度函数之间的非线性关系，谱宽反映多分形程度。

• 3.2 数据描述与预处理

- 使用2012-2025年比特币对美元（BTC/USD）1分钟间隔高频数据，取自Bitstamp交易所API，通过Kaggle平台公开数据集。
- 数据质量存在部分缺失和断层，分析窗口限制于2017至2024年，选取每年最完整连续的90天样本，确保数据连续性和高完整性（表1显示各年各采样频率数据完整率均在90%以上，部分频率和年份因缺失被排除）。
- 采用多频率重取样（5、10、15分钟），严格剔除包含缺失的时间段，避免插值或数据造假。
- 数据经严格质量检查，包括返回值极端值检测，未去除异常但采用乱序方法验证时序依赖。

• 3.3 实现波动率构造

- 以绝对值对数收益$|rt|$作为波动率代理，直接应用于标准化$p$-变差统计量计算，保证对极端值的鲁棒性，避免对数转换的假设限制。

• 3.4、3.5 诊断探索与最终估计设置

- 通过变更块数$K$探索估计器稳定性，发现估计值随着$K$波动显著，依据Cont-Das的建议取$K{\mathrm{opt}}\approx\sqrt{N}$，平衡估计方差与偏差。
- 最终设定选定的块数$K{\mathrm{opt}}$运行归一化$p$-变差估计器，考察$\log W(L,K,p)$与$1/p$的函数形式。
- 使用标准与扩展$p$遍历范围，确保精细捕捉零交叉点。

• 3.6 诊断检验

- 非平稳性检测：ADF单位根检验、滚动窗口均值方差稳定性分析、二分段法检测结构断点。
- 多分形诊断：MF-DFA、对数-对数矩刻度分析、小波领导系数分析，并通过对比随机重排序数据排除多分形起因于边缘分布效应，确认多分形源于时序依赖。

4. 实证结果

• 4.1 粗糙度估计行为

- 图1展示2021年不同采样频率下估计器$\widehat{H}^{L,K}$随块数$K$变化趋势，1分钟与5分钟数据在小$K$时估计值为正，但随$K$增大急剧下降并出现负值，10分钟及15分钟全程负值。
- 表3详细显示所有年份与频率的$\log W(L,K,p)$始终保持负值，且最长也不超过零附近，缺失零交叉，说明无法提取有效粗糙指数。
- 这一系统性现象排除样本大小不足或估计方法不当，体现了基本结构性特征。

• 4.2 平稳性与窗口稳定性检验

- ADF检验在所有数据序列上均强力拒绝单位根假设（即序列平稳）。
- 滚动均值与方差的标准差小，表明局部统计特性稳定无明显趋势变化。
- 结构断点在所有序列中均被检测到，主要对应波动聚类阶段，非持久性状态切换。
- 综合证明非平稳性与结构断点不能解释估计失败。

• 4.3 多分形结构证据

- MF-DFA显示广泛的$H(q)$非线性变动，谱宽0.06至0.42，且被随机重排序破坏，说明多分形源于动态依赖非边缘分布。
- 对数刻度矩和小波领导分析均获得相似证据，$q$与$\zetaq$的非线性及谱宽表明存在多分形时间结构。
- 这恰恰违反了归一化$p$-变差估计器要求的均匀尺度假设，为估计失败提供合理解释。

• 4.4 假设检验总结

- H1（拒绝全球尺度规律）：强力支持，波动率估计器无零交叉说明无全球单一粗糙指数。
- H2（有限样本效应）：部分贡献但非根本原因，使用理论指导的块数和稳定的窗口排除该项主因。
- H3（非平稳）：不支持，所有平稳性检查均一致否定。
- H4（多分形动力学）：明确支持，三种独立方法均确认时序多分形特征为主要解释因素。

5. 讨论

• 5.1 结构性解释

- 多分形结构反映比特币市场的独特微观基础，如流动性碎片化、跳跃、技术及监管变动导致的状态切换。
- 这种动态异质性使波动率局部标度指数变化频繁，不适用粗糙波动率模型的全局均匀假设。

• 5.2 建模启示

- 粗糙波动率模型对固定的、均匀的Hölder指数依赖强，故不适合比特币波动率。
- 多分形模型（多分形随机游走、多分形随机波动率）从理论上更符合观察到的非线性标度和时间异质性，因而是更合适的建模选择。
- 同时，微观结构影响（噪声、跳跃、活动波动）也需纳入建模考虑。

• 5.3 实践影响

- 使用粗糙波动率模型进行比特币波动率预测、风险管理或期权定价将因结构假设不符而导致性能下降和预测不稳定。
- 多分形模型及基于尺度分解的方法能更好捕捉比特币高频波动率的复杂动态，是提升实务精度的方向。

• 5.4 局限与未来方向

- 本研究聚焦实现波动率，未来可扩展到隐含波动率和状态空间估计探究多分形特性。
- 尽管采用严格分割和完整数据窗口，仍可能存在未知有限样本偏差，未来使用更长窗口、多样本方案验证鲁棒性。
- 多分形检测仅为经验描述，需发展统计检验、置信区间等形式方法，提升结论的统计效度。
- 建议跨资产类别及其他加密货币比对，多层次识别数字资产波动性的统一与特异性特征。

6. 结论

• 应用正常化$p$-变差估计器发现，比特币实现波动率$\log W(L,K,p)$在各采样频率和年份中均未出现零交叉，无法确认稳定粗糙指数。

- 系统排除非平稳性、结构断点和有限样本问题，证实比特币波动率具有显著多分形性质，违背粗糙波动率模型的均匀尺度假设。

• 结果强调粗糙波动率模型结构上不适用于比特币，推广多分形波动率模型更贴合其动态特征。

- 未来研究应拓展更多波动率度量、多资产类别、多分形模型理论和统计推断体系。

图表深度解读

表1 比特币数据窗口完整度统计

• 展示2017-2024年选取的90天窗口中，不同频率（1m, 5m, 10m, 15m）有效数据条数与期望条数及完成度百分比。

- 绝大多数年份及频率完成度超过90%，部分10分和15分频率年份数据不足。

• 确保分析数据质量和时序连续性，避免插值引起的噪声假象。

表2 样本分割参数

• 根据数据点数$N$计算最佳块数量$K=\lfloor\sqrt{N}\rfloor$及块大小$n=K$，保证估计器理论上的收敛性。

- 各年频率中，块数$K$覆盖89~359，数据用量略低于总数据，以求整除，保障分割合理性。

图1 2021年不同频率下粗糙度估计值随块数变化

• 1分钟数据在小块数时估计较高，但快速下降并转负，5分钟频率表现相似。10分钟和15分钟全程为负。

- 表明仅靠块数调整并不能稳定估计结果，强调存在估计无法收敛的结构性问题。

表3 归一化$p$-变差统计$\log W(L,K,p)$极值

• 在所有年份和频率，不论标准还是扩展$p$区间内，$\log W(L,K,p)$均为负，最接近零值约为-0.009，远未出现零穿越。

- 说明估计器无论参数如何调节均失灵，支持比特币波动率不具均匀标度结构。

多分形诊断结果（附录表A.6-A.11）总结

• MF-DFA标度函数$H(q)$、对数矩刻度$\zeta_q$和小波领导系数均展现出明显的非线性与谱宽，确认多分形存在。

- 经过数据随机重排，谱宽显著缩水，排除多分形特征源于重尾分布，确认为时间序列的动态相关性。

• 这些诊断完美印证粗糙度估计失败的根本原因。

风险因素评估

报告未直接列出具体风险因素，但隐含风险包括：

• 采样数据缺失风险，尽管使用了完整度和连续性筛选，但潜在异常仍可能影响估计。

- 市场流动性碎片化和跳跃发生率的非预期变化，可能干扰统计特性。

• 结构模型选择错误带来的建模风险，粗糙波动率模型应用于比特币市场的误导可能引发预测失真。

- 报告通过多项平稳性及数据质量控制措施缓解了部分数据风险，但未来研究必须关注模型风险和估计稳健性。

批判性视角与细节

• 报告非常谨慎，使用模型无关方法避免估计偏差，充分考虑了估计不确定性和数据特性。

- 可能的潜在局限在于限定90天窗口和只使用实现波动率，未验证更长时间尺度或其他波动率定义下的行为。

• 多分形分析虽多样但缺乏严谨统计检验，对多分形显著性及噪声区分仍有提升空间。

- 报告内部论断自洽，逻辑清晰，未见明显矛盾。

结论性综合

本报告通过详尽的数据准备、理论框架阐释及系统化多方法检验，严谨验证了比特币实现波动率不符合粗糙波动率模型均匀尺度假设，表现出显著的多分形结构。利用Cont-Das的归一化$p$-变差估计器，在所有采样频率及年份的高频数据中均未找到可识别的粗糙度指数，反映其结构性局限。非平稳性与样本有限性原因均被排除，所有多分形诊断体现其时间依赖性多尺度异质性。报告指出，现有基于粗糙波动率的模型难以有效捕捉比特币波动率特征，建议采用多分形随机波动率类模型及更多反映市场独特微观结构的模型。研究成果在比特币及更广泛数字资产波动率建模领域具有重要理论和实践指导意义。

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