杠杆ETF收益与波动率拖累的关系 [page::1][page::2]

• 杠杆ETF每日收益的杠杆倍数为k倍，波动率拖累随杠杆倍数平方放大，导致高杠杆倍数收益率会回落。

- 长期收益率近似为 $R=k\mu - 0.5k^2\sigma^2/(1+k\mu)$，最优杠杆倍数为 $\mu/\sigma^2$。

• 杠杆ETF本身不产生alpha，盲目加杠杆风险巨大。

波动率的波动性（vovo）及其量化预测 [page::3][page::6]

• 采用EGARCH(1,1)模型预测时间变动的波动率，定义vovo为波动率的标准差。

- 统计结果显示收益率随波动率增大而降低，利用幂函数对收益率-波动率的关系进行稳健拟合，为OVPMS策略提供理论基础。

三种基于波动率的杠杆策略构建及实现 [page::4][page::5]

• 恒定波动率策略（CVS）：杠杆倍数$ki = c / si$，降低波动率的波动性，操作简单，适合风险管理。

- 最优波动率策略（OVS）：杠杆倍数$ki = c / si^2$，寻求理论最优杠杆倍数。

• 最优波动率加平均收益率策略（OVPMS）：加入估计的收益率与波动率函数关系， $ki = c m(si)/s_i^2$。

策略实证表现 —— 收益与风险对比 [page::7][page::8]

| 指数 | 年化收益率 | CVS收益率 | OVS收益率 | MOS收益率 | OVPMS收益率 | OVPMS+收益率 |
|-------|--------|---------|---------|---------|----------|-----------|
| 标普500 | 0.0699 | 0.1012 | 0.1209 | 0.0950 | 0.1260 | 0.1292 |

• 所有基于波动率策略的年化收益显著优于标普500指数。

- CVS策略中的杠杆倍数多数时间保持低于3倍，更加稳健 [page::8]

策略杠杆倍数区间与风险控制 [page::8][page::9]

• CVS策略杠杆倍数波动较小，风险控制较好。

- OVPMS+策略杠杆倍数最高达12.5倍，风险显著增大。

• 1987年股灾前，各策略均成功降低杠杆，防范重大风险。

- CVS策略历史63日波动率的波动性（vovo）显著低于标普500指数本身，意味着更平稳的风险暴露。

限制杠杆倍数为1倍时的策略表现 [page::9]

• 限制杠杆倍数最高为1倍时，策略依然能将年化波动率降低近一半，收益仅轻微提升。

- 适合风险偏好较低的投资者，突出降低波动性作用。

总结与未来方向 [page::10]

• 波动率具可预测性，收益预估难，但基于波动率的杠杆调整策略能产生alpha和降低风险。

- 推荐CVS策略，因其可写入波动率目标、杠杆倍数适中且波动率极值低。

• 本文为杠杆ETF系列首篇，后续将继续探讨ETF及杠杆产品体系建设。

金融研究报告深度解析：

《他山之石：利用波动率的波动性产生 Alpha，降低风险——杠杆ETF系列研究之一》

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1. 元数据与概览

• 报告标题： 他山之石：利用波动率的波动性产生 Alpha，降低风险——杠杆ETF系列研究之一

- 作者： 蒋瑛琨、吴天宇

• 发布机构： 国泰君安证券研究所

- 发布时间： 具体日期未标明，但引用内容截至 2010 年左右

• 主题： 杠杆ETF的波动率拖累分析及投资策略研究，尤其借鉴了Tony Cooper在GARP的Risk Professional杂志发表的文章，重点聚焦波动率拖累（volatility drag）对杠杆ETF收益的影响和波动率的波动性（volatility of volatility，vovo）在优化杠杆倍数及风险管理中的应用。

核心论点总结：

• 杠杆ETF的复合收益率受到波动率拖累影响，长期收益通常不佳。

- 杠杆倍数的选择存在最优范围，且和收益与波动率的关系密切，最优杠杆倍数为收益均值除以波动率的平方。

• 波动率本身是时变的，可以通过EGARCH模型进行预测，并引入波动率的波动性（vovo）概念。

- 设计了三种基于波动率和其波动性调整杠杆的投资策略（CVS、OVS、OVPMS），均能实现超额收益并降低组合风险。

• 策略对1987股灾等极端风险事件具备防护能力。

- 该文为杠杆ETF系列研究的开篇，奠定了理解杠杆ETF长期表现的理论基础及风险管理框架。[page::0]

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2. 逐节深度解读

2.1 引言与背景

• 报告来源于阅读美国量化研究专家Tony Cooper文章的启发，将其理论框架引入国内杠杆ETF研究语境。

- 杠杆ETF作为海外成熟但争议较多的产品，在中国随着股指期货等杠杆工具的发展，研究价值增加。

• 波动率拖累被认为是杠杆ETF长期收益不佳的“根本原因”，即使杠杆放大了收益，波动率拖累以杠杆倍数平方的比例侵蚀复合回报。

- 报告强调波动率的可预测性优于收益率预测，这为基于波动率设计投资策略提供了理论支持。[page::1]

2.2 杠杆ETF与波动率拖累（Volatility Drag）

• 杠杆ETF定义为放大基准指数日收益固定倍数的基金，日收益通过直接乘法实现，但复合年收益因市场波动而复杂化。

- 标的每天的波动造成的收益净效应非对称，由公式 \((1-x)(1+x) = 1 - x^2 \)可见，波动率拖累使得连续的正负收益最终导致净亏损。

• 通过1950-2009标普500指数数据模拟（图1），展示不同杠杆倍数对应的年复合收益率曲线为抛物线，存在最优杠杆倍数，超过该倍数因波动率拖累收益反而下降。

- 提出长期年复合增长率近似公式：

\[
R = k \mu - 0.5 k^2 \sigma^2 / (1 + k \mu)
\]

其中，\(k\)为杠杆倍数，\(\mu\)为日均收益，\(\sigma\)为日波动率。该函数二次项带来收益最大化的最优点 \(k \approx \mu / \sigma^2\)。

• 还指出忽略管理费和跟踪误差简化分析。

- 说明杠杆ETF本身不产生alpha，随着杠杆提升风险增长超过收益，导致有时投资者“负alpha”。杠杆风险极大，可能造成投资者亏损殆尽。[page::2][page::3]

2.3 波动率的波动性（Volatility of Volatility，VOVO）

• 杠杆收益受\(\mu\)、\(\sigma\)影响，但实际中二者均时变，尤其波动率 \(\sigma\) 可通过EGARCH(1,1)模型预测。EGARCH模型可以捕捉到波动率的“可预测性”，波动率的波动称为vovo，是波动率本身的标准差。

- 传统投资管理往往只关注资产波动率的均值，对vovo忽视导致资产配置保守，收益被波动率的波动侵蚀。

• 除了平均波动率，vovo还会使最大损失预期增加，成为额外风险成本。

- 由此，vovo是选用杠杆倍数、设计动态调整策略的重要参数。[page::3][page::4]

2.4 三种波动率策略设计

• 三种以波动率及其波动性为核心设计的动态杠杆策略：

1. 恒定波动率策略（CVS）：
\[
ki = \frac{c}{si}
\]
用预期的波动率预测值\(si\)作为分母，杠杆与波动率成反比，维持恒定波动率水平。简明易用，具有作为风险目标的优势。

2. 最优波动率策略（OVS）：
\[
ki = \frac{c}{si^2}
\]
理论上更接近最优杠杆指标，突出波动率平方对杠杆的影响，追求最优收益。

3. 最优波动率加收益率策略（OVPMS，及其精准版OVPMS⁺）：
\[
ki = \frac{c \cdot m(si)}{si^2}
\]
引入收益率和波动率的函数关系，基于对收益率向波动率的幂函数拟合，实时调整杠杆倍数，追求最优风险调整后的收益。

• 以上策略基于每日收盘价计算当日波动率预测并调整次日杠杆。

- 其中，平均收益率函数 \(m(s)\)通过对1950-2009年标普500数据的EGARCH预测波动率及收益做正态化与拟合得出，符合幂函数形式 \(m/s = a s^b\)，b约为-1.76，表明收益率随着波动率增加而下降。[page::4][page::5][page::6]

2.5 策略表现与风险控制分析

• 均值-方差框架的策略表现（图3、表1）：

- 所有基于波动率调整杠杆的策略均优于直接杠杆化的指数（标普500）。
- 策略杠杆增加，收益提升，但超过一定杠杆后因波动率拖累收益下降，呈抛物线趋势。
- 将杠杆限制在1倍以下，能大幅降低波动率且收益增长显著，风险收益兼顾。

• 杠杆倍数时间变化（图4）：

- CVS策略杠杆一般低于3倍，波动相对温和。
- OVS和OVPMS策略杠杆波动剧烈，最高杠杆超出10倍，系统崩溃风险大。
- 1987年股灾期间，所有策略均大幅降低杠杆，体现良好风险警示功能。

• 净值曲线对比（图5）：

- 策略净值曲线均好于单纯杠杆ETF净值，且波动率较低。

• 波动率的波动性权衡（图6）：

- CVS策略历史63日波动率均值与指数相当，但vovo明显更低，表明波动性更稳定，风险控制更好。

• 股灾事件的杠杆调整（表2）：

- 1987年10月19日各策略杠杆均远低于1，成功规避风险，表现出有效的动态调整机制。

• 最多杠杆1倍限制策略表现（图7）：

- 在严格杠杆限制下，策略大幅降低波动率到指数波动率一半左右，但收益轻微提升，适合稳健型投资者。

• 结论偏好：

- CVS策略因容易理解、风险低且波动率稳定，被作者优先推荐。
- 所有策略均通过动态调整杠杆倍数利用波动率及其波动性，取得alpha和风险的均衡控制。[page::7][page::8][page::9][page::10]

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3. 图表深度解读

图1：不同杠杆倍数下标普500年复合收益率

• 描述： 展示1950-2009年，不同固定日杠杆倍数对应的年化复合收益率，标注了1、2、3、4倍杠杆点位的年复合收益。

- 解读： 收益率随杠杆倍数从0增长到某最大值3附近时提升，但超过后因波动率拖累（乘方为主）导致收益下降。

• 联系文本： 支撑收益-风险关系以二次函数形式表现，体现最优杠杆倍数存在的关键论点。

- 潜在局限： 假定固定杠杆倍数，忽略波动率时变与管理费影响。

• 

图2：正态化实际日收益与预测波动率的关系

• 描述： 左图为每日正态化收益散点，右图为其分箱平均收益及拟合曲线。

- 解读： 右图清晰反映收益随预测波动率增加呈下降趋势，符合收益与波动率负相关假设。拟合中幂函数拟合较为合理。

• 联系文本： 论证收益率可被波动率函数预测，为OVPMS策略提供收益函数建模依据。

-

图3：各策略收益率与波动率对比（及局部放大）

• 描述： 横轴为年化实际波动率，纵轴为年复合收益率，多条曲线代表不同策略在不同杠杆水平的表现。

- 解读： 所有策略存在峰值点，高杠杆伴随风险极大且收益暴跌至-1（几乎亏完），强调杠杆风险。不同策略在峰值位置和策略收益有差异，均优于直接杠杆指数。

• 联系文本： 直观体现三策略控制杠杆的效果及波动率拖累后果。

-

表1：波动率为1倍时各策略年化收益率对比

| 指数 | 年化收益率 | CVS | OVS | MOS | OVPMS | OVPMS+ |
|------------|---------|--------|--------|--------|--------|--------|
| 标普500 | 0.0699 | 0.1012 | 0.1209 | 0.0950 | 0.1260 | 0.1292 |

• 解读： 所有vovo策略均超越传统指数收益，体现波动率预测与动态杠杆调整的收益贡献。

图4：波动率为1倍时的日杠杆倍数（1950-2010）

• 描述： 左图为CVS策略，右图为OVS策略的杠杆随时间变化。

- 解读： CVS杠杆稳定，且大部分时间低于3倍，OVS杠杆大幅波动，常见超过3倍，风险更高。

• 联系文本： 体现CVS策略的稳健优势。

-

图5：杠杆化ETF与各策略净值曲线（对数尺度）

• 描述： 多条净值曲线比较同一时间段内不同杠杆与vovo策略表现。

- 解读： 策略净值稳健高于高杠杆ETF，波动率低，风险收益较优。
-

图6：指数与CVS策略的历史波动率（63日）及vovo范围

• 解读： CVS波动率均值与指数相同，但vovo显著降低，说明策略平滑了波动，提高组合稳定性。

-

表2：1987年10月19日各策略杠杆倍数

| 策略 | 杠杆倍数 |
|----------|------------|
| CVS | 0.455 |
| OVS | 0.152 |
| MOS | 0.568 |
| OVPMS | 0.034 |
| OVPMS+ | 0.058 |

• 解读： 所有策略明显降杠杆，防范股灾风险，体现策略的风险管理功能。

图7：最高杠杆限定为1倍时，道指波动率与收益关系

• 解读： 策略明显降低波动率（至指数约一半），但收益仅微幅提升，适合风险承受能力较低者。

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4. 估值分析

本报告主要聚焦杠杆ETF策略设计与风险管理，未涉及具体资产或公司估值。核心模型集中于：

• 杠杆ETF年复合收益率的数学模型，以收益率均值 \(\mu\) 和波动率 \(\sigma\) 为核心参数，结合杠杆倍数 \(k\) ，推导复合收益的二次函数关系。

- EGARCH(1,1)模型，作为对波动率动态预测的工具，支持杠杆调整策略的动态决策。

• 幂函数拟合收益率与波动率的关系，用于构建OVPMS策略中动态杠杆调整的收益函数。

因此，报告属于风险管理与投资组合动态调整的量化模型研究，非传统估值分析。

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5. 风险因素评估

报告识别的关键风险因素包括：

• 波动率本身的非线性风险：波动率的波动性（vovo）带来的额外成本，可能导致组合收益受挤压且最大潜在损失加剧。

- 杠杆倍数过高风险：如OVPMS⁺策略杠杆曾高达12倍，存在毁灭性风险（亏完资金）。

• 极端市场事件风险：1987年及类似暴跌，若未及时调整杠杆，极端杠杆可能导致全额亏损。

- 模型假设风险：模型假设波动率可准确预测，且市场流动性、调整杠杆的成本较低；实际操作可能受流动性、交易成本、杠杆ETF产品限制等影响。

• 时效性风险：策略基于历史1950-2009年数据，未来市场结构、波动机制可能改变，策略表现不确定。

- 杠杆ETF市场可操作性：策略假设投资者可任意调整杠杆并获得所有对应ETF产品，实际市场可用杠杆倍数有限且每日调整存在执行难度。

报告虽对市场极端情况下的杠杆减少机制给予肯定，但也强调此类预警在未来事件中不一定有效。

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6. 批判性视角与细微差别

• 理论与实践的落差：

报告依赖EGARCH模型预测波动率及基于该预测设计动态杠杆策略，但实际操作中波动率预测仍存在较大误差，模型难以时刻精确预警。

• 杠杆ETF产品限制：许多市场上杠杆ETF的杠杆倍数不连续且存在上限，假设可灵活拼合任意杠杆倍数略显理想化。

- 交易成本未充分考虑：每日调整杠杆成本、滑点及税费等实际成本影响未纳入模型，可能影响策略现实表现。

• 收益函数拟合的统计不确定性：收益率与波动率之间的幂函数关系有置信区间较宽，模型灵敏度较高，估计参数可能不稳定。

- 极端事件防范非必然性：策略虽然在历史极端事件中表现优良，但未来极端事件特征或表现形式可能不同，风险防护有局限。

• 杠杆损失的长期累积效应：报告未深刻探讨连续高波动率环境下连续损失对资本的消耗问题。

整体来看，报告提供了理论驱动的策略框架及较丰富实证分析，但仍需结合实际交易环境与市场限制审慎应用。

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7. 结论性综合

本报告从理论与实证两方面深入剖析了杠杆ETF在波动率拖累影响下的收益特征，阐明了收益率最大化与风险控制的数学基础，即年复合收益率为杠杆倍数和波动率动态函数，其最优杠杆为收益均值与波动率方差的比值。波动率的时变性及其波动性（vovo）被明确定义，并通过EGARCH模型进行预测，成为动态调整杠杆的核心依据。

报告构建了三种基于波动率与vovo的动态杠杆投资策略（CVS、OVS、OVPMS），并通过长达半个多世纪的标普500历史数据回测，验证了这些策略能显著超越固定杠杆ETF与传统投资，尤其是在收益、风险及波动率稳定性方面表现优异。图表展示了波动率拖累现象、动态杠杆调整与市场极端事件（如1987年股灾）对防范风险的有效性。

其中，CVS策略因简单稳健、杠杆倍数较低、波动率波动性小，成为较优选方案。策略日常根据信息调整杠杆，有效减少极端事件的致命冲击，提高投资组合风险调整后收益。但报告也清楚指出，收益难以预测且市场极端事件复杂多变，策略需要结合实际市场产品和操作限制审慎实施。

最终，报告为中国杠杆ETF的设计开发及投资管理提供了理论与实证依据，强调了波动率预测和波动率波动性的重要性，推动了利用波动性的alpha生成理念，是国内杠杆ETF系列研究的重要开篇，为后续更详细的杠杆ETF产品研究和市场应用奠定了坚实基础。[page::0][page::1][page::2][page::3][page::4][page::5][page::6][page::7][page::8][page::9][page::10]

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结语

整体而言，该报告内容严谨，逻辑清晰，以实证与理论双重视角系统剖析了杠杆ETF面临的核心挑战及可能应对策略。利用波动率及其波动性的动态杠杆调整理念，对掌握杠杆投资风险、设计创新投资产品具有极大启示意义。尽管存在模型假设和市场实操差异需进一步验证，但其思路无疑丰富了杠杆ETF及衍生产品的研究视野，值得金融研究人员与投资机构深入关注和跟进。

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如需对某一章节或图表进行更详细的技术性解读，欢迎进一步垂询。

报告