• 市场驱动与模型背景 [page::1][page::2]：

- 天然气价格受天气、库存等因素影响，且与原油价格存在复杂非线性关系。
- 多种波动率模型分类：常数波动率、局部波动率、随机波动率与路径依赖波动率模型，路径依赖模型优势明显，可捕捉丰富的波动率动态。
- 天然气价格波动具有“粗糙”性质（rough volatility），波动率过程可类比具有低Hurst指数的分数布朗运动。

• 价格与库存数据特征与预处理 [page::2][page::3][page::7][page::8]：

- 价格表现高波动且可能含粗糙性，库存具强季节性，库存自身较平滑但增量波动显著。
- 库存数据通过傅里叶变换提取周期成分，获得去趋势后的库存因子$X$。
- 周度库存数据采用阶梯函数转化为日度数据，避免插值噪音。

• 路径依赖随机波动率模型构建 [page::4][page::6][page::7][page::8]：

- 价格对数的移动平均定义了路径依赖项$h(\overline{S}t)$，内含核权重参数$\alpha$，可涵盖经典至粗糙波动率模型。
- 模型将波动率设计为三个部分之和，分别对应常数基础波动、受库存水平边界影响的波动增强部分及基于路径依赖波动率的粗糙成分。
- 库存因子$X(t)$服从关联价格的动态方程，带有有界条件和时变参数$\gamma1,\gamma2$。
- 证明系统强解的存在唯一性及有界性，保障模型数值稳定性及合理性。

• 模型参数两步标定 [page::13][page::15][page::16]：

- 首先用CBO算法标定价格动态参数$\{\alpha,r,V0,V1,V2\}$，最大化路径依赖对数似然函数。
- 其次基于拟合的价格参数，计算库存动态，通过均方误差最小化绑定参数$\vec{\gamma1},\vec{\gamma2}$，可分段拟合不同时间窗口表现。

| 时间区间 | $\alpha$ | $r$ | $V0$ | $V1$ | $V_2$ |
|--------------|---------|---------|--------|--------|--------|
| 2019/01-10/2019 | 1.4634 | 13.6497 | 0.7860 | 0.1804 | 5.2222 |
| 2019/11-03/2020 | 0.7270 | -0.4678 | 0.8565 | 0.0181 | 0.2182 |
| 2020/03-12/2020 | 1.0411 | 0.5351 | 0.5812 | 0.0414 | 0.0539 |
| 2021/01-06/2021 | 0.9999 | 6.1993 | 0.0443 | 0.0152 | 1.9815 |
| 2021/06-02/2022 | 1.0668 | 0.8018 | 0.0962 | 0.1188 | 3.5883 |
| 2022/02-12/2022 | 1.4965 | 1.3116 | 0.0848 | 0.0352 | 5.1364 |

- 观察到$\alpha$在重大国际事件期间有显著波动，反映价格波动率的粗糙性变迁规律。

• 离散时摆动期权定价与动态规划 [page::17][page::18][page::19]：

- 摆动期权结合价格-库存动态转化为具有全局及局部行权约束的最优控制问题。
- 利用动态规划原理递归表示期权价值，价值函数满足Bellman方程。
- 传统方法难以高效计算非Markovian路径依赖系统中的条件期望。

• 深度学习神经网络数值近似方法 [page::20][page::21][page::22]：

- 设计多层前馈神经网络拟合各时间步条件期望函数，并对不同剩余行权权利状态分别训练对应的神经网络。
- 证明网络具有良好逼近性质，可覆盖平方可积随机函数空间。
- 采用逐期反向递归训练，结合Monte Carlo模拟历史路径拟合期权价值函数。
- 算法性能及数值稳定性由理论收敛性结果支持，误差可分解为路径模拟误差与神经网络拟合误差两部分。

• 共识优化（CBO）方法简介及应用 [page::26]：

- 利用多个随机粒子协同搜索最优参数，权重集中于高似然区域，保证全局收敛性。
- 适合非凸及高维参数空间，避免局部最优陷阱。

• 模型标定效果与库存拟合示意图 [page::28][page::29][page::30]：

- 所得储存因子拟合效果良好，模型可灵活调节时间窗口$\tau$，以适应不同市场特征和投资者需求。

金融研究报告详尽分析报告

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1. 元数据与概览

报告标题：Stochastic Path-Dependent Volatility Models for Price-Storage Dynamics in Natural Gas Markets and Discrete-Time Swing Option Pricing

作者：Jinniao Qiu, Antony Ware, Yang Yang

发布日期：2024年6月25日

研究主题：该报告针对天然气市场中的价格-库存动态，提出并研究了一种新的随机路径依赖波动率模型，尤其强调价格波动率和库存增量的路径依赖性。进一步探讨了基于该模型的离散时间摆动期权定价问题，采用动态规划原理和深度学习数值方法。

报告核心论点：

• 天然气价格与库存间存在复杂动态，且价格波动率及库存增量均存在路径依赖性。

- 设计并校准了结合路径依赖与库存效应的随机波动率模型，可更准确捕捉天然气市场的动态特征。

• 针对离散时间的摆动期权（swing options）定价问题，基于动态规划原理，提出融合深度神经网络的数值算法并进行了收敛性分析。

该报告主要贡献是将路径依赖和市场库存因素融入波动率建模，并结合现代深度学习技术解决非马尔可夫摆动期权定价问题。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言部分与文献回顾

报告从天然气市场价格—库存关系和价格波动率模型的现状着手。[page::0,1]

• 天然气价格驱动因素

文献表明，天然气价格受到多因素影响：原油价格、天气变化、季节性因素、库存水平、生产关停等。Rubaszek和Uddin的研究表明库存水平显著影响现货和期货价格的关系，库存较低时价格更受经济基本面驱动。[page::1]

• 波动率模型分类

报告回顾了四类经典波动率模型：
- 常数波动率模型（如Black-Scholes）。
- 局部波动率（Local Volatility，LV）模型：能拟合无套利的波动率微笑，但灵活性有限。
- 随机波动率（Stochastic Volatility，SV）模型：捕捉隐含波动率变动和波动率的波动。
- 路径依赖波动率（Path-Dependent Volatility，PDV）模型：结合LV和SV优势，能拟合丰富的历史波动率结构，且避免较大定价误差。Guyon等人的4因子马尔可夫路径依赖模型可捕捉短/长记忆的波动率效应。[page::1,2]

• 粗糙波动率模型

Gatheral等人发现实际波动率过程表现出粗糙（roughness）特征，Hurst指数约0.1，支持粗糙随机波动率（Rough Fractional SV）模型构建。粗糙Bergomi模型在参数更少情况下拟合SPX波动率表面更优。[page::2]

2.2 路径依赖波动率模型设定

报告直接在对天然气价格模型描述的基底上，定义如下系统：[page::0]

\[
\begin{cases}
dS(t) = r S(t) dt + S(t) V(t) dW(t), \quad S(0) \text{给定} \\
V(t) = f(t,X(t), h((\ln S)t) + \ln S(t) - \ln S(0))
\end{cases}
\]

其中，价格动力学由风险利率$r$驱动，波动率$V(t)$依赖价格路径的函数$h$和存储偏差过程$X(t)$，体现了非马尔可夫路径依赖性。

进一步，定义路径依赖函数$h$为基于对数价格路径的加权移动平均，参数化核函数为：

\[
\overline{S}t^\alpha := \int0^t k^\alpha(t,u) \overline{S}(u) du
\]

其中$\alpha \in (1/2, 3/2)$，权重核$k^\alpha$满足特定贝塔型性质，具备奇异积分特点，可捕捉不同“粗糙度”或记忆长度。该构造保证路径平台依赖函数$h(\overline{S}t)$几乎必然存在。[page::4,5]

报告通过理论推导和引理证明了当波动率路径连续且平方可积时，$h$定义完整且可操作，且说明定义的积分路径平滑度保证了模型的数学严谨性。[page::5]

此外，模型能包含经典随机波动率模型（例如Heston）和粗糙波动率模型，通过适当选择$\alpha$，增强标的价格波动的拟合灵活性。[page::6]

2.3 天然气库存动态与数据预处理

• 原始数据包含天然气日价格与周度天然气库存数据。因库存呈强季节性和趋势性，采用两步法分解：

1. 标准化库存数据，将其缩放至(0,1]区间。
2. 通过傅里叶变换提取周度库存的周期性趋势（周期约为52周）。

• 分离周期趋势后，定义库存的“残差”或去趋势部分$X{\text{weekly}}$用于捕捉动量和不规则波动。
• 针对时间尺度不匹配，库存周度数据由阶梯函数向日度数据转化，避免线性插值引入额外噪声。该转换确保库存数据平稳性。[page::6,7,8]

2.4 模型完整定义

报告最终提出天然气价格和库存耦合动力学系统：

\[
\begin{cases}
d\overline{S}(t) = \left(r - \frac{1}{2} V(t)^2 \right) dt + V(t) dW(t), \quad \overline{S}(0) \text{给定} \\
V(t) = V0 + \frac{V1}{ (X(t) + P(t))(1 - X(t) - P(t)) + \delta } + V2 \sqrt{|\overline{S}t^{\alpha, \delta} - \overline{S}(0)| + \delta} \\
dX(t) = [ \gamma1 R^+(t) (1 - X(t) - P(t)) - \gamma2 R^-(t) (X(t) + P(t)) ] dt, \quad X(0) \text{给定}
\end{cases}
\]

其中：

• $P(t)$为周期函数，表示库存的周期成分；

- $\delta > 0$ 是小正数用于保证数值稳定；

• $V0,V1,V2,\gamma1,\gamma2,r,\alpha$为待估参数；

- $R(t)$与$\overline{S}$路径有关，捕捉价格路径变化。

该结构解释为库存接近满额或耗尽时，波动率因市场稳定能力减弱而增大，同时也引入了基于移 动平均的价格路径依赖，体现粗糙波动率特征。[page::7,8]

2.5 解的存在性与唯一性

通过停时技术和先验估计，报告证明了系统（2.15）解的存在性和唯一性，保证模型在数学上严格可行。[page::9-13]

• 先验估计给出波动率和价格的有界性，结合布尔坎-戴维斯-古德校正（Burkholder-Davis-Gundy）不等式和Grönwall不等式，确保溢出的概率为零。

- 利用截断技术（选取界限$B$进行局部化）实现局部唯一解，通过极限过程延拓至全局。

此数学基础对后续模型校准和数值计算至关重要。

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3. 校准方法及结果

3.1 价格动力学参数的最大似然估计（Log-Likelihood）

• 对离散时间下的对数价格路径构造正态分布概率密度，基于前向Euler近似，建立参数$\vec\theta = \{\alpha,r,V0,V1,V2\}$的对数似然函数。[page::13,14]
• 提出通过最大化该对数似然函数进行参数估计。对参数$r$，给出一阶导数为零的显式表达式简化计算。

3.2 库存动态参数的最小均方误差（MSE）估计

• 库存参数$\gamma1, \gamma2$假设在固定时间间隔$\tau$内常数，且分段更新。
• 构造估计残差$X{weekly}$和模拟残差$\hat{X}{weekly}$的均方误差，最小化该误差匹配库存动态参数。[page::15]

3.3 两步校准算法

• 步骤一：使用共识基础优化算法（Consensus-Based Optimization，CBO）进行价格相关参数的全局优化，规避微分困难。
• 步骤二：基于更新的$\alpha$，通过模拟库存动态，再利用CBO最小化MSE校准库存参数$\vec{\gamma}{1}, \vec{\gamma}{2}$。
• 校准结果按不同时期分割，反映关键地缘政治、疫情、气候事件对天然气市场的影响。

- 时间区间包括2019年伊朗制裁、2020年疫情、2022年俄乌战争爆发等，反映价格波动粗糙度的切变及市场风险波动变化。

• 校准参数$\alpha$最大概率反映波动率模糊度，近期因地缘政治紧张，$\alpha$趋近1.5，价格震荡幅度大且粗糙度高。（详见表2）
• 库存参数校准有不同$\tau$选择（7天、14天、30天），对应不同频率的市场观察和投资策略（详见表3-5及图5-7）。[page::14-17,27-30]

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4. 摆动期权定价模型与数值算法

4.1 摆动期权本质与数学描述

• 关注标的为天然气的离散时间“摆动期权”（Swing Option）的问题，合同规定总执行权数$L$和单次最大执行权数$\tilde{L}$。
• 定义路径控制策略$q(t)$，在时间点集合$\mathbb{I}$内做出行权决策。
• 计价代表性报酬由期权执行权支付和未利用权利的罚金组成，罚金形式给出为$G(S(T), Q(T)) = -A (K - S(T))^{+} Q(T)$，$A>0$。[page::17,18]

4.2 动态规划原理（DPP）

• 采用动态规划公式确定最优价值函数$\mathcal{V}(ri, Q(ri))$，将当前行权收益与未来价值迭代分解。
• 证明动态规划因$U$取值有限且可选策略应满足信息可测性，完备适应性。[page::18,19]

4.3 深度学习数值方法

• 由于模型非马尔可夫且带路径依赖，传统蒙特卡洛或树型方法难以计算条件期望。
• 引入前馈神经网络$\mathcal{NN}^{\Theta^{i,l-q}}$逼近期望运算。
• 网络输入包含历史价格序列，输出为价值函数条件期望的估计。
• 采用三层结构（含隐藏层），激活函数采用非线性函数$\varrho$，末层恒等映射。
• 依据Hornik等人的通用逼近定理，神经网络结构具备拟合任意满足条件函数的能力。
• 提出四步算法实现：

1. 模拟价格路径。
2. 终态回归拟合最终期权价值。
3. 逆向迭代拟合中间步骤价值函数。
4. 运用动态规划结合神经网络估计策略价值。

• 进一步，给予算法收敛性分析，误差来源包括路径模拟误差和神经网络逼近误差，结果表明在合理假设下，价差有界且误差可控，但神经网络逼近的误差估计在理论上仍是开放问题。[page::20-26]

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5. 重要图表深度解读

图表1-2：价格与库存数据及其增量

• 图1（图片页3）：描绘2019年至2022年间天然气日度价格和价格增量。价格呈现明显波动且具有粗糙性特征，价格增量无明显周期性。

- 图2（图片页3）：显示库存的周平均及其增量。库存具有强烈的季节性波动，结构较平滑，但增量呈现较大波动，突显库存动态的季节性和周期性特征。

两图说明价格与库存波动在规律性和波动性上的差异，为模型分开处理路径依赖和库存贡献提供实证基础。[page::2,3]

图3：库存数据傅里叶变换拟合（图片页7）

• 傅里叶拟合展示库存数据的周期性波形，周期约为一年度，且拟合结果较为平滑地捕捉了库存的趋势变化。
• 实证支持拆分库存为趋势项和去趋势残差，提高模型准确度及参数估计的稳定性。[page::7]

图4：库存周度转日度比较（图片页8）

• 对比阶梯函数转换与线性插值方法的日库转化结果。阶梯转换更自然地继承了周平均的平滑性，避免插值引入的噪声或异常波动。
• 该技术处理简洁且实用，保证模型计算过程中的数据稳定。[page::8]

图5-7：去趋势库存的分段拟合效果（图片页28-30）

• 三组图展示不同标定间隔（$\tau = T,14,30$）下库存动态模型对去趋势库存的拟合程度。
• 真实数据（蓝线）与模型模拟（红线）较为贴合，尤其在前几个周期表现良好，说明模型能有效捕捉库存动态。
• 不同截断频率$\tau$影响拟合细节，进而适应投资者不同视角需求。[page::28-30]

表格1-5：参数标定结果

• 表1给出共识优化算法（CBO）关键参数配置。
• 表2显示价格模型关键参数$\alpha, r, V0, V1, V2$的分时间阶段估计，反映不同时期市场波动性质变化。2019年初波动粗糙度强，2020年疫情等因素导致波动下降，2022年俄乌冲突引发波动反弹。
• 表3-5列符库存模型参数$\vec{\gamma}1, \vec{\gamma}2$在不同时间分段的估计值，体现市场对价格与库存关系的周期适应性。
• 参数表现总体合理，与经济事件和市场波动相对应，支持模型解释力。[page::15-17, 27]

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6. 估值方法分析与风险因素

6.1 估值方法

• 针对离散时间摆动期权，采用动态规划原理递归分解价函数。
• 由于模型带有路径依赖性，采用基于深度神经网络的条件期望逼近方法，提升非马尔可夫系统上的计价能力。
• CBO方法保障模型参数估计的全局优化，规避相关微分计算瓶颈。

6.2 风险因素

报告未显著总结风险条目，但可推测如下：

• 模型参数估计误差风险，可能由数据质量或市场结构突然变化引发。
• 价格波动粗糙度变化的不确定性，尤其在激烈的地缘政治冲突期间。
• 业务中断或库存测量误差，可能导致库存动态建模偏差。
• 由深度学习模型引入的拟合及过拟合风险，及其对价格和期权计价结果的影响。

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7. 审慎视角与细微差别

• 报告精心结合路径依赖和库存，使用高阶核函数构建模型，但路径依赖定义复杂，部分积分存在奇异性，需要谨慎数值处理。
• 虽有严格数学保底，模型的实际应用中需关注参数稳健性、数据准确性及深度学习过拟合问题。
• CBO算法提供无梯度全局优化方案，但其收敛率和稳定性依赖于超参数设置。
• 库存数据向日度转化采用阶梯法简单实用，但可能忽略库存中逐日变化细节，影响短期动态捕捉。
• 摆动期权定价中，深度学习神经网络近似能力虽强，但对应误差界限仍属理论挑战，实际训练中需充分样本量及超参数调优。

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8. 结论性综合

本报告系统构建并深入研究了天然气市场中价格-库存联合路径依赖波动率模型，数学基础扎实，兼顾经典与粗糙波动率理论。通过实证数据分段校准，模型灵活响应经济突发事件与市场结构变化。针对标的非马尔可夫路径依赖性带来的分析难点，开发了基于动态规划和前馈神经网络的深度学习数值定价方法，突破传统蒙特卡罗和树型方法限制，且伴有理论收敛性保证。

通过实证图表与详细参数展示，模型在捕获市场价格粗糙波动及库存季节性、平滑性方面表现良好。对天然气离散摆动期权的定价示例，展示了模型和方法在能源衍生品市场中的潜力和适用性。

整体来看，该报告为天然气市场波动率及期权定价提供了创新的路径依赖建模框架和高效算法实现，适合后续在实际交易和风险管理中实现与推广。

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重要图表插入

图1-2：天然气价格及库存走势及其增量

图3：库存傅里叶变换拟合

图4：库存周转日对比

图5-7：库存残差的分段拟合（不同$\tau$）

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参考文献溯源

所有结论及数据均依据原报告内容，均附带[page::页码]标识，详见章节引述。

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结语

本文档细致解剖天然气市场价格和库存的路径依赖波动率模型，从基础理论、实证特征、模型构建、数学证明到数值算法及摆动期权定价方法均进行了深入说明。其融合前沿的粗糙波动率视角和深度学习工具，为天然气衍生市场分析和风险管理提供了重要参考。

报告