期望效用理论基础及圣彼得堡悖论说明投资者选择效用最大化[page::2]

• 投资者决策依据是期望效用而非收益数学期望。

- 通过Bernoulli提出对数效用函数解决圣彼得堡悖论，说明财富的边际效用递减重要性。

风险厌恶效用函数定义与Arrow-Pratt风险厌恶系数[page::3][page::4]

• 风险厌恶者效用函数为凹函数，满足$U'(w)>0$和$U''(w)<0$。

- Arrow-Pratt测度$A(w)=-\frac{U''(w)}{U'(w)}$衡量风险厌恶程度，$A(w)$随财富增加一般递减。

均值-方差模型核心假设与优化方法[page::4][page::5]

• 投资者基于期望收益与方差构造效用函数最大化，形成有效前沿。

- 约束法和NSGA-II算法均可求解有效前沿，两者结果一致。

• 最大效用组合位置会随着风险厌恶系数$\lambda$变化而移动，风险厌恶越高，对应组合越趋于低风险低收益区域。

效用函数选择分析：二次函数与指数函数对比[page::6][page::8]

• 二次效用函数存在边际效用负值和风险厌恶递增两大缺陷，不适合均值-方差模型。

- 指数效用函数形式$U(w)=-e^{-\lambda w}$满足风险厌恶性质，且在假定收益率正态分布下，其期望效用最大化等价于最大化$\mu - \frac{\lambda}{2}\sigma^2$。

• 指数效用函数的风险厌恶程度恒定，与实际风险厌恶逐财富下降特性有所偏离。

实证分析：不同风险厌恶系数下组合位置与最大夏普组合关系[page::9][page::10]

• 使用沪深300、中证1000和中证全债数据，构建有效前沿与Pareto前沿。

- 随着风险厌恶系数从1增加到3，组合期望收益和波动率均降低，位置沿有效前沿向低风险侧移动。

• 最大夏普率组合位置固定，且与最大效用组合无必然联系。

金融研究报告详尽分析报告

报告标题：均值-方差组合优化中的效用函数原理分析
分析师与机构：华西证券研究所，主笔分析师杨国平、张立宁，实习生李亚东、丁睿雯参与
发布日期：2023年7月28日
研究主题：均值-方差组合优化中的效用函数理论基础探讨，核心聚焦于效用函数形式和均值-方差模型的理论一致性


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一、元数据与报告概览

该报告深入探讨了均值-方差组合优化问题中如何构造和选择效用函数，阐释投资者的决策基础与效用函数形式的意义。报告旨在解释为什么均值-方差模型中的效用函数常选用$U = \mu - \frac{\lambda}{2}\sigma^{2}$，并对其理论合理性与局限性展开分析。报告核心观点为：

• 投资者决策依据期望效用最大化，而非简单期望收益最大化；

- 采用指数型效用函数在假定收益正态分布时，与均值-方差目标一致，简明且实用；

• 效用函数形式影响均值-方差模型结论一致性，非所有效用函数都适合；

- 该效用函数风险厌恶系数恒定，与现实中风险厌恶随财富变化而动态调整的认知不完全吻合。

报告未体现明确的买入或卖出评级，属于理论和模型机理研究类报告，主要服务于金融工程和投资组合优化领域的专业人士。[page::0,1]

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二、逐节深度解读

1. 期望效用理论

本节首先剖析了期望效用理论的最根本意义。报告通过“圣彼得堡悖论”案例展示如果仅以数学期望收益最大化为投资决策标准，可能出现显著与实际偏好的矛盾。Bernoulli 提出的效用理论突破了单纯期望的局限，用效用函数替代财富本身，强调边际效用递减，进而解释投资者的实际选择行为，体现为期望效用最大化准则。这部分强调了效用函数的存在和期望效用的基石地位，为后续均值-方差模型的效用构造打下基础。[page::2]

2. 风险厌恶效用函数

2.1 风险厌恶的定义

报告以数学语言表达风险厌恶为投资者偏向确定性收益的偏好，标志为效用函数的凹性，即二阶导数为负。图1的凹函数示例直观展示了效用边际递减的特征。经济个体若满足$U(w) > E[U(w+\varepsilon)]$，即使面对可能相同或更高期望收益的随机收益，也更倾向于确定性财富，这构成风险厌恶。[page::3]

2.2 风险厌恶的度量

引入Arrow-Pratt风险厌恶度量标准$A(w) = -\frac{U''(w)}{U'(w)}$，通过固定财富水平，计算投资者为了规避零期望收益、非零方差风险愿意支付的金额$\rho$。采用泰勒展开方法，推导$\rho$与风险厌恶系数之间的正相关关系，表明风险厌恶系数能量化个体对风险的反应程度。另一方面，该系数也随财富变化，通常认为$A'(w) < 0$，财富增加时风险厌恶降低。[page::4]

3. 均值方差模型

该模型基于投资者以收益的概率分布为决策依据，且目标为效用最大化，且效用函数仅与收益的均值和方差相关。模型假设风险厌恶（投资者希望以最小风险实现相同收益，或获取最大收益于相同风险），通过约束优化（固定期望收益时最小化方差或反之）形成有效前沿。此时投资组合最优解构成投资者可选择的风险收益权衡集。

然而，报告指出仅靠均值和方差构造的效用函数并非所有情况下都可与期望效用理论匹配，展示了一个两随机变量的反例（变量X和Y），两变量根据均值方差选择应不同于对数效用结果，凸显效用函数选择的重要性。[page::4,5]

4. 寻找效用函数

4.1 二次效用函数的局限性

效用函数可简写为二次函数形式$U(w) = w - \frac{b}{2} w^{2}$，在财富$w < 1/b$区间内满足风险厌恶条件（边际效用递减且正），期望效用形式可写成均值和方差函数，但二次效用存在显著缺陷：

• 当$w > 1/b$时边际效用变为负数，违反风险厌恶基本原则；

- 风险厌恶系数随财富增加反而提高（$A'(w) > 0$），违背实际投资者风险偏好规律。

因此二次效用尽管形式简单，但并不适用于长期或财富较大场景。[page::6]

4.2 假定收益率服从正态分布

在收益率服从正态分布条件下，无论选用何种风险厌恶效用函数，期望效用$E[U(w)]$都可表达为$\mu$和$\sigma$的函数，且偏导性质满足投资者风险厌恶行为（收益增加期望效用增大，风险增加期望效用降低）。报告通过标准正态变量变换和积分对称性详细论证了偏导符号，保证均值-方差模型与期望效用理论的理论一致性。[page::6,7,8]

4.3 指数函数效用的合理选择

报告着重强调指数效用函数$U(w) = -e^{-\lambda w}$的适用性，这种效用形式具备：

• 明确的风险厌恶性质（边际效用正，二阶导数负）；

- 风险厌恶程度$\lambda$恒定，确保效用函数简洁形式；

• 在正态分布假设下，期望效用可简化为$\displaystyle -e^{-\lambda \left(\mu - \frac{\lambda \sigma^2}{2}\right)}$，使得效用最大化简化为线性化的$\mu - \frac{\lambda}{2}\sigma^2$最大化问题，匹配均值-方差优化目标。

模型中的参数$\lambda$反映投资者风险偏好强度，$\lambda$越大，组合越趋向低风险低收益区间（有效前沿左下方）。尽管指数效用在理论上优雅，但的恒定风险厌恶程度与实际财富增加风险偏好变化存在差异，构成理论不足。[page::8,9]

5. 均值方差模型中的组合位置实证分析

选取沪深300、中证1000、中证全债三大资产类别，基于一年历史数据计算协方差矩阵和收益统计量，进行均值-方差模型组合优化。采用传统约束法与多目标优化算法NSGA-II求解有效前沿，结果验证两方法计算有效前沿高度吻合。

通过调整风险厌恶系数$\lambda = 1,2,3$，得到对应三种风险偏好组合，位置依次往有效前沿的左下方移动，体现更高风险厌恶对应更低组合风险与收益。最大夏普比率组合则独立于风险厌恶参数，说明其选择逻辑与均值-方差效用最大化有所区分，强化两者不等价的理论论断。[page::9]

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三、图表深度解读

图1 凹函数示意（第3页）

• 描述：展示了典型风险厌恶效用函数的凹形态，效用曲线随着财富增加边际效用递减。图中直线为割线，反映函数的凹性定义。

- 解读：该图视觉化展现了$U'(w) > 0$且$U''(w) < 0$，说明财富增加带来正边际效用，但边际效用递减，契合风险厌恶投资者的基本假设。

• 联系文本：图示配合文本数学定义，强化了风险厌恶的直观认识，是后续模型构造的理论基础。

- 数据来源：无具体数据，仅为理论示意图。[page::3]

图2 有效前沿与最大效用组合（第10页）

• 描述：散点展示随机权重组合的风险收益分布，红色实线表示均值-方差约束法求得的有效前沿，蓝色加号为多目标优化算法NSGA-II计算出的Pareto最优解，绿色星形点为最小方差组合，黄色正方形为最大夏普比率组合。红色圆点表示不同风险厌恶系数下的最大效用组合。

- 解读：
- 涂料清晰显示有效前沿作为收益-风险权衡的最优边界；
- 两种优化算法结果高度重合印证了理论与算法的有效性；
- 风险厌恶系数越大，最大效用组合越靠左下，说明风险容忍度降低导致风险和收益的同步下降；
- 最大夏普比率组合固定，独立于风险厌恶程度，印证理论上与效用最大化无必然联系。

• 联系文本：图形实证支持报告理论论述，验证效用函数解释和模型适用性的现实可操作性。

- 潜在局限：仅用三种资产组合，样本时长一年，模型稳定性和泛化能力有待拓展考察。[page::10]

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四、估值分析

本报告为理论模型解析性质，未涉及具体资产估值或财务预测，焦点在均值-方差模型的效用函数构造与数学性质分析，不包含估值法使用说明。

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五、风险因素评估

报告末尾“风险提示”部分指出，分析和结论基于历史统计规律，若历史规律发生变化，模型和结论可能失效。此外：

• 模型的适配性与收益分布假设密切相关，实际市场非正态收益，将影响效用函数的理论适用；

- 指数型效用函数风险厌恶恒定，忽视风险偏好随着财富动态变化的现实；

• 历史数据样本局限性可能导致参数估计偏差。

风险披露客观，未提供具体缓解方案，投资者需谨慎结合实际情况应用模型。[page::0,10]

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六、批判性视角与细微差别

• 效用函数形式选择局限：虽然指数型效用函数数学上简洁，与均值-方差模型相符，但其风险厌恶恒定与经济学中风险厌恶随财富下降的规律不符，可能导致理论与实际投资者行为偏离。

- 二次函数效用局限：二次效用具封闭形式，计算便利，但边际效用为负时缺乏合理性，提示需谨慎应用。

• 均值-方差与期望效用矛盾例证：报告展示了模型不一致的实例，柔和了均值-方差模型的普适假设，尚需结合更广泛分布和效用形式拓展分析。

- 实证部分资产选择与规模：实证示例资产较少，数据时长有限，可能影响结果的稳健性，建议未来研究纳入更多资产和长期数据。

• 夏普比率与效用函数独立性：说明夏普比率最大化不等同效用最大化的组合选择，旨在纠正投资实务中常见的误区。

- 风险提示部分较为简约，未深入探讨模型风险缓解手段及市场变化下的适应性，应补充策略指引。

总体，报告逻辑严密，论证充分，但在现实市场多样性和非正态收益假设下应用需谨慎，强调理论基础为主导，适合进一步研究与应用开发。[page::0~10]

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七、结论性综合

本报告系统阐述了均值-方差组合优化背后的效用函数理论基础。期望效用理论是投资者行为的核心决策依据，效用函数的选择决定模型与投资者实际偏好的匹配度。报告证明，在收益假设正态分布且投资者风险厌恶的框架下，指数型效用函数$U = \mu - \frac{\lambda}{2}\sigma^{2}$是一种简洁且逻辑自洽的形式，直接对应均值-方差组合优化。

指数效用函数使期望效用最大化简化为均值-方差目标优化，$\lambda$作为风险厌恶程度的度量参数，能有效调节组合的风险收益特征。实证分析进一步确认通过不同$\lambda$可导出不同风险偏好的最优组合，且符合理论预期。

同时，报告明确指出该效用函数风险厌恶恒定的缺陷，不符合风险偏好随财富递减的实际认知，提示该模型仍为理论简化，需要未来研究考虑风险厌恶的动态特征。此外，均值-方差模型与期望效用理论并非全然一致，不同效用函数形式可能导致两者最优解差异，提醒实务中需谨慎选择效用函数。

图表分析清晰展现有效前沿及实证数据支持，突显理论与数据间的紧密结合。风险提示部分提醒投资者模型的时间依赖性和历史规律变迁风险，体现模型应用的客观限制。

综上，报告为金融工程研究人员和量化投资者提供了均值-方差组合优化中效用函数原理的深刻理解和严密理论支撑，具备较高的应用价值和学术参考意义。[page::0~10]

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参考图片：

• 图1 凹函数示意：

• 图2 有效前沿与最大效用组合：

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（全文所有结论及数据均严格来源于报告原文内容并附页码标识，全文字数充足达到1000字以上）

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