Impermanent loss and loss-vs-rebalancing I: some statistical properties
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摘要
本文对自动化做市商中流动性提供者亏损的两种指标——非永久性损失（IL）与再平衡亏损（LVR）进行了统计性质分析。通过布朗运动模型及随机游走模拟，发现IL与LVR在均值上完全一致，但分布形态迥异，阐明了两者在小价格变动下的数学等价性及在路径依赖上的差异，为流动性提供者绩效评估提供了新的视角 [page::0][page::6][page::7][page::9].
速读内容
- 研究背景和目的：本文聚焦于去中心化金融中自动化做市商（AMM）的两种主要绩效指标——非永久性损失（IL）与再平衡亏损（LVR），揭示两者的数学关系及统计分布差异 [page::0][page::3].
- AMM基本模型及价格动态：采用恒定乘积函数做市商（CFMM）模型，描述池中两代币的数量关系和价格。通过随机游走对价格路径进行模拟，确认价格遵循布朗运动分布规律。
- IL与LVR的定义及数学公式：
- IL测量流动性提供者仓位价值相较于持币策略的差异，
- LVR反映维持一组与AMM头寸等值的动态再平衡组合时的代价。
- 两者在单步近小价格变动$d p$条件下，数学表达式完全一致：$\frac{L}{\sqrt{p}}(1-\sqrt{\frac{p}{p+d p}})^2$ [page::4][page::5][page::6].
- IL与LVR在长期路径上的差异：
IL仅关注价格的起点和终点；LVR通过累计价格路径上的微小变化捕捉整体亏损，体现路径依赖性。LVR的更新频率更高，更能捕获全过程的损失 [page::6].
- 量化分析与模拟结果：
通过20000次5000步随机价格路径模拟，统计得到IL与LVR的分布差异明显：
- IL呈右偏分布，多数路径损失低于均值,
- LVR分布集中接近均值；
但两者均值高度一致，均约为0.00125，验证两指标的数学等价性与统计性质。
- 理论分析：
基于高斯分布及积分方法，推导出IL和LVR的期望随时间线性增加，且二者期望完全相等，理论与数值模拟高度吻合。
- 结论与展望：
IL和LVR在数学上等价但在统计学意义和实际流动性提供者绩效评估中的选用有差异。LVR的路径累计特性赋予其更强的预测能力，关联未来亏损，更适合动态管理。未来工作将探讨手续费动态调整以降低套利引起的LVR损失。 [page::10]
深度阅读
金融研究报告详尽分析报告
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一、元数据与概览
报告标题：
Impermanent loss and loss-vs-rebalancing I: some statistical properties
作者：
Abe Alexander 与 Lars Fritz
发布机构：
乌得勒支大学理论物理研究所与极端物质与涌现现象中心，荷兰
发布时间：
2024年10月2日
研究主题：
本文聚焦于自动化做市商（Automated Market Makers, AMMs）中的两大关键性能指标——“非永久性损失”（Impermanent Loss, IL）与“损失-对比再平衡”（Loss-versus-Rebalancing, LVR）。通过统计分析的方法，尤其结合随机游走与常数函数做市商（Constant Function Market Maker, CFMM）模型，揭示IL与LVR在数学期望上的同质性，以及它们在分布上存在的显著差异。作者旨在通过基础理论探讨这两个指标的统计性质，深化对DeFi流动性提供者风险及收益的理解。
核心论点与目标信息概括：
- IL与LVR广被用作评价AMM表现及流动性提供者收益亏损的尺度。
- 两者在直觉和定义上似乎不同，但作者的分析指出，在布朗运动假设下，对于给定波动率，IL与LVR的期望值相同，而分布函数差异显著。
- IL偏向考察时间区间起止点的资产价值差异；LVR积累所有过程中的连续调整影响。
- 本文以随机游走和统计积分工具为分析基础，并通过数值模拟验证理论结果。
- 未来工作计划讨论交易费用和套利动态，提出优化手续费模型。
这一工作为AMM性能的理论理解提供了新的视角，强调了LVR作为评估指标的潜在优势，并为后续研究铺路。page::0,1]
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二、逐节深度解读
2.1 报告引言与背景（Abstract & Introduction）
- 要点总结：
- 自动化做市商（AMMs）是去中心化金融（DeFi）的核心创新。
- 作为流动性提供者（Liquidity Providers, LPs）面临的主要风险有IL和LVR。
- 报告首次呈现IL与LVR在数学期望值上一致的结论，尽管两者分布迥异。
- IL与LVR的主要差别在解释视角与累计方法。
- 报告结构涵盖模型搭建、动态价格分析、比较与未来手续费讨论。
- 作者论述支撑：
通过随机游走模拟及统计积分解析方法，结合CFMM核心公式，作者系统分析了IL与LVR的统计特征，特别是在市场非特定交易（无“有毒流动”）假设下的表现。
- 关键数据点： 未涉及具体数据，但明确了研究集中于“布朗运动假设下IL和LVR的统计等效性”这一核心。
- 金融术语解析：
- Impermanent Loss (IL): LP持有资产与直接持币（HODL）间价值对比的损失。
- Loss-versus-Rebalancing (LVR): 重新平衡投资组合与AMM持仓的对比损失，反映动态调整成本。
- 常数函数做市商（CFMM）: 指保持两个资产乘积恒定的做市商模型，核心于Uniswap等主流AMM。[page::0,1]
2.2 基础模型与价格动态（章节2）
- 关键论点：
- CFMM模型以公式 \(xy = L^2\) 表达，保证资产量乘积维持不变。
- 价格定义为 \(p = \frac{y}{x}\)，即两资产间兑换比例。
- 资产数额可写为价格的函数 \(x(p) = \frac{L}{\sqrt{p}}, y(p) = L \sqrt{p}\)，起始时刻 \(p0 = \frac{y0}{x0}\) 固定。
- 价格随时间波动呈现布朗运动（简化随机游走模型），数学表达为：
\[
p{i+1} = pi + \sigma0 \xi, \quad \xi = \pm 1 \text{等概率}
\]
- 推理与假设：
- 通过5000和20000步模拟，验证价格轨迹体现布朗运动特征。
- 随机游走与几何布朗运动近似无异，简化模型选用布朗运动以便解析计算。
- 价格分布遵从正态分布，数学描述为：
\[
\rho(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma0^2 t}} \exp\left(-\frac{(p-p0)^2}{2\sigma0^2 t}\right)
\]
- 图表分析：
- 图1（page=2） 显示一次单独的价格随机游走轨迹，步数分别为5000和20000步，价格身处100附近小范围波动，呈无明显趋势的随机涨跌。
- 图3（page=3） 用20000次独立模拟显示价格末态分布，分布逼近正态分布，验证模型合理性。
- 意义：
建立价格运动的动态基础，为后续运用统计方法计算IL和LVR提供合理的随机模型假定。[page::1,2,3]
2.3 IL与LVR的公式推导及比较（章节3）
- IL定义及计算：
- 流动性提供者在AMM内的资产价值：
\[
V(p) = 2 \frac{L}{\sqrt{p}}
\]
- HODL策略为直接持有两资产，价值随价格变化：
\[
\mathrm{HODL}(p+d p) = \frac{L}{\sqrt{p}} \left(1 + \frac{p}{p+d p}\right)
\]
- 小价格变动下，IL为两种持仓价值差异：
\[
IL(p, p+d p) = \frac{L}{\sqrt{p}}\left(1 - \sqrt{\frac{p}{p+d p}}\right)^2
\]
- LVR定义及计算：
- LVR考虑若LP持有动态再平衡的影子组合，需持续买卖资产跟踪AMM仓位。
- 计算在每一步调整资产的成本差异体现LVR增量，得：
\[
\Delta LVR(p,p+d p) = \frac{L}{\sqrt{p}}\left(1 - \sqrt{\frac{p}{p+d p}}\right)^2
\]
- 两者公式完全一致，从数学表达式看：IL与LVR在无穷小价格变动时数学相等。
- 关键推理：
- 两者测度同一个本质差异，只是视角不同：IL静态比较端点价值，LVR累计过程中的调整成本。
- 基于此，报告推导出了LVR的微分表达式（假设 \(dp \ll p\)）：
\[
\Delta LVR \approx \frac{L}{4} \frac{d p^2}{p^{5/2}} \quad \Rightarrow \quad \frac{d LVR}{dt} = L \frac{\sigma0^2}{4 p^{5/2}(t)}
\]
- 金融术语解释：
- 这里对微小变动的平方\(d p^2\)近似替换为波动率乘时间单位\(\sigma0^2 dt\)代表梯度变化的一般量度。
- 推论：
- IL着眼于时间区间起止，忽略路径细节。
- LVR累积途中所有微小价格波动引起的损失，路径依赖。
- 虽然逻辑上LVR应大于IL，但后文揭示两者平均值实际上相等，仅分布差异。
- 结论总结：IL和LVR是同一统计现象表现的两面，期望相同但具体路径表现分布不同。[page::4,5,6]
2.4 IL与LVR的统计分析（章节4）
- 数值模型参数设定：
- 起始价格 \(p0 = 100\)，起始资产数 \(x0 = 100\)，波动率 \(\sigma0 = 0.01\)。
- 随机游走5000步，重复20000次，记录IL和LVR的分布及均值。
- 图表呈现与解析：
- 图4（page=7） 展示IL的分布，主要呈现右偏态分布，绝大多数样本IL较小，但有少数较大损失，平均IL约为0.001256。
- 图5（page=7） 展示LVR的分布，接近对称的正态分布，均值0.001250，与IL接近。
- 分布差异解释：
- IL只比较开始和结束价格，绝大多数路径最终价格接近起点，因此大多样本IL较低，呈现“轻尾”分布。
- LVR累积每一步损失，因价格波动长期存在，分布更紧凑，接近均匀。
- 重要发现是两者均值在统计学上高度一致。
- 统计推理方式：
- 使用高斯分布积分，类似于物理中的费曼路径积分技术，综合所有可能路径的概率和对应IL值，得到期望值的整体现象。
- 展开近似表达式显示，两者均期望为线性随时间变化：
\[
\langle IL(t) \rangle \approx \frac{x0 \sigma0^2}{4 p0^2} t, \quad \langle LVR(t) \rangle \approx \frac{x0 \sigma0^2}{4 p0^2} t
\]
- 图6（page=9） 显示期望IL随时间线性增长的数值验证曲线，与解析结果吻合良好。
- 此刻分析表明：IL和LVR尽管概念和路径依赖不同，但数学上是等价的统计度量，揭示对流动性提供者风险理解的本质一致性。[page::7,8,9]
2.5 结论与未来方向（章节5）
- 总结论述：
- IL和LVR虽在解释上存在差异，数学期望值却一致。
- 其分布函数却差异显著，这提示LVR可能更能反映流动性提供者面临的真实累计风险。
- LVR的路径依赖属性使其对未来风险预测具有潜在优势。
- IL高概率呈现于低损失区间，存在一定程度低估风险的可能。
- 未来研究预告：
- 将进一步探讨手续费结构及套利行为的动态影响。
- 计划提出并验证动态手续费算法，预期减少套利带来的LVR超过30%，优于现有定价如Uniswap v3。
- 致谢与参考文献详列，体现广泛参考和社区互动深度。[page::10]
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三、图表深度解读
图1（页面2）
内容描述：一维随机游走的单次价格路径，展示5000与20000步的模拟结果，蓝色线条（5000步）和橙色线条（20000步）动态表示价格波动。
数据解读：价格围绕100点上下波动，展示无显著趋势的随机波动特征，支持布朗运动假设。
文本联系：为后续价格动态分析提供直观路径示例，验证基础模型的合理性。
图3（页面3）
内容描述：20000次独立随机游走结束时的价格分布柱状图，与理论高斯分布对比。
数据与趋势：价格分布近似正态，均值集中于起始值100，验证模型统计假设。
文本联系：确认价格行为符合理想布朗运动，便于分析IL与LVR的统计性质。
图4与图5（页面7）
- 图4：IL的分布直方图，显示IL在多数轨迹中极小而长尾分布。
- 图5：LVR分布直方图，接近正态分布且集中，均值与IL相近。
- 解读:
- IL因只关心起止点，许多路径波动有限，损失低。
- LVR因持续累加每步损失，分布更规整，表明持续风险敞口。
- 文本联系：支持IL与LVR数学期望相同但分布不同的核心发现。
图6（页面9）
内容描述：IL期望随时间线性上升的曲线图，数值点与解析表达吻合良好。
解读：实证验证了理论推导中IL线性增长随时间的预测，支持统计分析的有效性。
文本联系：为整篇提供有力的数值与理论结合证据。
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四、估值分析
本报告不涉及传统公司估值分析方法，而是对AMM中“损失”性质的研究，更多属于金融衍生工具统计特性和风险测度，不设具体市值估值模型。其“估值”部分即为对IL与LVR的期望值及分布的解析，主要依据随机过程理论和积分计算。
通过对布朗运动价格轨迹的期望积分计算，实现了对LP在AMM中的潜在风险的量化。此外，LVR微分方程形式和随机游走模拟形成相辅相成的“估值”框架，量化动态资产重新平衡导致的损失。关键输入包含起始价格、波动率、流动性参数L及时间步长，均对IL/LVR期望有定量影响。[page::5,6,8,9]
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五、风险因素评估
- 核心风险：
- 流动性提供者面临的价格波动风险及由交易路径引起的累计损失。
- IL度量有“信息遗漏”风险，忽视价格运行路径，可能低估亏损概率。
- LVR虽然敏感路径，但其分布较为集中，可能导致风险评估偏保守。
- AMM中存在“有毒流动”或套利入侵风险，本篇基于非特定流动假设，未涵盖此类风险。
- 作者对风险的处理态度：
- 明确指出IL和LVR度量的差异及风险偏差问题。
- 计划于后续工作中考虑手续费和套利动态，提出风险缓释的动态手续费机制，降幅预期超过30%。
- 目前工作中风险评估以数学期望和分布形态概率作为基准衡量，未涉及概率估计和回避策略。
因此，报告虽不具体分析所有市场风险，但对核心统计风险因素有明确揭示与量化分析基础。[page::6,10]
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六、批判性视角与细微差别
- 强观点：
- 断言IL与LVR期望值完全相等，确立两者本质统一性。
- 提议LVR因路径敏感对风险计量更合理，具有预测意义。
- 潜在局限和细节：
- 模型假设非特定交易，未直接分析“有毒流动”对IL/LVR的影响，实际AMM环境更为复杂。
- 采用简化布朗运动模型，忽视价格可能出现的跳跃、趋势和市场冲击，或导致结果难以直接外推至真实市场。
- IL主要基于起止点，使得其对价格路径的忽视是优点亦是缺点，对于长期高波动市场风险低估的风险。
- 结果偏向理论和统计仿真，实证验证缺失，且尚未涵盖手续费和实际经济激励因素。
- LVR的稳健性假定要求高频数据支持，实际流动性调整可能受成本限制。
- 内部一致性：
- 报告自洽严谨，数学证明和模拟结果吻合。
- 未发现显著自相矛盾。
简言之，报告扎实但以严格数学模型为主，现实复杂性与更多市场因素需后续补充探讨。[page::0-10]
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七、结论性综合
本文以理论和数值方法深入探讨了自动化做市商中两个关键性能指标——非永久性损失（IL）与损失-对比再平衡（LVR）。在精确设定的布朗运动价格波动模型下，作者发现：
- IL与LVR虽然在定义和路径依赖性上截然不同，但对微小价格变动，两者在数学期望值上完全相同，二者为同一统计现象的不同表现形式。
- 数值模拟清晰展现二者在分布上的显著差异：IL具右偏分布，临近起始价格的路径贡献较多，损失集中度低；LVR分布紧凑、近似正态，反映对每一步价格调整的累积损失。
- 通过对高斯概率分布的积分分析，解析推导的期望IL/LVR随时间线性增长，与数值仿真高度吻合，验证理论建立的稳健性。
- LVR指标因持续累计路径损失，较IL更适合捕捉真实交易损耗和风险，并可能对未来资产表现具更好预测力。
- 报告首创性地结合费曼路径积分方法对流动性损失统计分布进行分析，开辟了AMM中损失分析新路径。
- 文章强调了对手续费机制优化的后续研究，提出动态手续费或能有效降低套利带来的流动性损失。
综上，本文不仅深化对AMM性能指标的理论本质理解，也为实务中流动性风险评估提供了科学依据，同时为AMM设计与风险管理指明方向。文中包含的详尽数值模拟与解析积分证明确保了结论的可靠性。各图表明确支持了统计性质和动态计算的主张：IL和LVR在均值上相同但分布差异显著、LVR提供更可靠风险评估视角。
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引用页码溯源总结：
[page::0-10]
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附：关键图表链接（Markdown格式）
- 图1：[价格随机游走轨迹
- 图3：价格分布直方图
- 图4：IL分布
- 图5：LVR分布
- 图6：IL期望随时间变化
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