• 经典风险度量VaR和ES的缺陷在于ES通过均值计算平均尾部风险，可能忽略尾部风险特征，导致风险低估[page::0][page::1]。

- 调整风险度量通过引入目标风险配置文件g和风险函数族$\mathcal{P}=\{\rhop\}{p\in[0,1]}$，定义为$\rho{\mathcal{P},g}(X) = \sup{p\in[0,1]} \{\rho_p(X) - g(p)\}$，泛化了调整ES和损失VaR（LVaR）的构造[page::2][page::3][page::4]。

• 设风险函数族$\mathcal{P}$有序且风险函数左连续，给出了正齐次性和次可加性成立的等价条件：目标风险函数g必须满足仅有最多一个$p\in(0,1]$点g(p)为正且g(0)=0[page::6][page::7][page::8][page::9]。

- 具体调整风险度量示例包括：简化复合风险度量(SCRM)，结合VaR和ES；复合风险度量(CRM)，结合RVaR和ES；调整期望分位数风险度量(AERM)，基于expectiles；各度量均利用分段目标风险配置文件进行计算[page::11][page::12]。

• 新引入风险度量均为标准单调和现金添加，均满足星形风险度量性质，但大多数不满足凸性、正齐次、次可加性和尾部一致性（SSD）等性质，详见属性对比表[page::13][page::26]。

| 属性 | VaR | RVaR | ES | adj. ES | LVaR | SCRM | CRM | AERM |
|------------------------|-----|------|-----|---------|------|------|-----|------|
| 凸性 (convex) | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ |
| 正齐次 (pos. homogeneous)| ✓ | ✓ | ✓ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ |
| 次可加 (subadditive) | ✗ | ✗ | ✓ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ |
| 一致性(SSD) | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ |
| 剩余不变性(surplus inv.) | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ |

• 调整风险度量的连续性和有限性要求目标风险配置文件满足下半连续且在区间[0,1]中有特定零点区间，确保计算有限且稳定[page::9][page::10][page::13][page::14]。

- AERM的对偶表达式基于期望分位数的著名对偶表示，目标风险函数作为罚函数项，刻画了调整的风险态度[page::14][page::15][page::16]。

• 实证阶段以标普500指数及个股为样本，对比分析步进函数目标风险配置文件与基准风险配置文件的影响。步进函数使SCRM表现更谨慎，调整ES更为保守且响应更强；基准风险配置文件受样本区间波动率影响，反映投资者风险偏好不同[page::17][page::18][page::19][page::20][page::21]。

- 基于滚动窗口动态更新基准风险配置文件时，调整风险度量响应变平缓，对极端事件不够敏感，适合风险厌恶较低的投资者[page::22][page::23]。

• 调整风险度量适用于不同市场之间异常值的识别。SCRM响应正负波动异常，调整ES侧重负波动异常，体现不同风险度量侧重点[page::24]。

- 总结认为：基准配置文件的选择对风险度量的风险信号识别和稳健性有重要影响。组合RVaR和期望分位数的调整风险度量为金融风险管理拓展了灵活有效的工具[page::25]。

• 论文附录提供了详细的数学证明、性质解释及额外图表，帮助理解和推广理论成果[page::26][page::27][page::28]。
• 新调整风险度量在量化风险管理领域具备潜力，尤其适用于基于投资者风险偏好和实际波动特征定制风险评估，且能更灵敏反映尾部风险结构[page::0][page::1][page::4][page::11][page::17][page::20][page::23]。

- 算法示例提及利用负对数收益率样本和滑动窗口方法估计VaR、ES、RVaR和expectiles实现动态风险度量的计算[page::17][page::20].

• S&P 500指数历时序列上，SCRM相较调整ES整体偏低，平均相对差异约-12.6%，两者走势一致，差异更多集中于低风险时段，反映VaR部分的稳健性与ES敏感性差异[page::18]。

• 2008年金融危机期间，SCRM和调整ES均响应风险峰值，增大跳跃幅度导致两者差距扩大，凸显不同风险度量的保守性与敏感度特征[page::19]。

• 微软与波音股票分别对应不同市场行业，基于低、中、高波动区间标普500基准配置文件计算SCRM、CRM及调整ES表明，波动率偏高时期风险度量值更大；CRM显著高于调整ES，建议依据风险偏好选择适当风险度量模式[page::20][page::21]。

• 滚动窗口动态调整基准配置文件导致风险度量较固定低波动框架更为平缓，峰值有明显下降，反映动态调整使风险度量对市场剧烈波动的响应减弱，风险辨识能力受影响[page::22].

• 滚动窗口期与固定低波动期风险度量值对比和最优阈值层分析表明，动态评估使得风险度量最优概率水平普遍下降，反映高波动性样本导致风险度量更侧重极端尾部且敏感度下降[page::23].

• 欧洲Eurostoxx 50与标普500的对比，调整风险度量呈现最大差异值于疫情时期，SCRM能够识别正负收益极端值，对市场异常波动敏感性优于调整ES聚焦负尾部风险的响应[page::24].

金融研究报告深度分析报告

报告元数据与概览

• 报告标题：RISK MEASURES BASED ON TARGET RISK PROFILES

- 作者：Jascha Alexander, Christian Laudagé, Jörn Sass

• 主题：本文围绕风险度量，特别是“调整风险度量（adjusted risk measures）”的概念与应用，开展理论分析，并结合实证对S&P 500指数数据进行测试。

- 核心论点：
- 经典风险度量（如VaR、ES）在捕捉尾部风险时存在不足。为解决ES平均过程可能导致风险被低估的问题，提出了调整的风险度量。
- 引入基于目标风险曲线（target risk profile）$g$的调整风险度量，作为风险度量函数族上的最优值，推广了调整ES的思想，允许更广泛的风险度量家族参与。
- 进一步探讨调整风险度量的性质（如正齐次性、次可加性），并给出其对偶表示。
- 最后基于S&P 500及其成分股做了案例研究，比较若干新的调整风险度量表现。

逐节深度解读

1. 引言

• 基础风险度量VaR描述概率阈值下损失的分位点，ES考虑风险分布尾部的平均损失。ES尽管优于VaR，但对分布尾部行为的捕捉仍不够细致，两种不同分布可能有相同ES值但尾部风险实际不同。

- 为解决这个问题，文献引入Loss VaR及调整的ES，基于所有概率水平上的VaR或ES并结合目标风险曲线求上确界。

• 本文提出将风险度量函数族从单一VaR或ES扩展到任意风险度量集合，形成“调整风险度量”概念，填补现有文献的不足，系统研究其数学性质。

2. 调整风险度量

2.1 定义

• VaR与ES定义（经典）

- $\operatorname{VaR}p(Y) = \inf \{ y | \mathbb{P}(Y \leq y) \geq p \}$
- $\operatorname{ES}p(X) = \frac{1}{1-p} \intp^1 \operatorname{VaR}q(X) dq$

• 调整ES定义：

- 给予目标风险曲线$g \in \mathcal{G}$，定义调整ES为
$$\operatorname{ES}^g(X) = \sup{p \in [0,1]} \{ \operatorname{ES}p(X) - g(p) \}.$$

• 调整风险度量推广：

- 设有风险度量族$\mathcal{P} = \{\rhop\}{p \in [0,1]}$，则
$$\rho{\mathcal{P},g}(X) := \sup{p \in [0,1]} \{ \rhop(X) - g(p) \}.$$
称其为调整风险度量（Definition 2.1.6）。调整ES是其特例（$\rhop = \operatorname{ES}p$）。

• 性质：若族$\mathcal{P}$均是货币风险度量，则$\rho{\mathcal{P},g}$也是货币风险度量（Proposition 2.1.5）。

2.2 例子说明

• Loss VaR (LVaR)是基于VaR构建的已有调整风险度量。

- 给出一般有序族风险度量函数$\mathcal{P}$与左连续目标风险函数$g$的关系式（Proposition 2.2.2），显示调整风险量可以通过目标风险函数的逆映射和风险函数族的元素间隙上确界转化计算，结构和LVaR相似但不完全一致。

• 举例（2.2.6到2.2.8）涵盖基于Solvency II监管要求的混合ES和VaR风险度量族，调整Rényi entropic VaR，高阶调整ES等，说明该框架广泛覆盖金融风险管理中的多个风险度量方法。

2.3 基本性质

• 若风险度量族$\mathcal{P}$共拥有某性质，则调整风险度量继承（如单调性、现金加性、凸性、星形等）。

- 以阶梯函数为目标风险曲线，示例2.3.2展示调整风险度量可能具备凸性，尽管族中个别元素（如VaR）不凸，说明调整性质推断的充分条件非必要。

• 相关概念$p$-尾风险性质亦予以讨论。

2.4 正齐次性与次加性

• 基于较弱假定（Assumption 2.4.1），提供从族$\mathcal{P}$的性质到调整风险度量的正齐次性及次加性的等价条件（Theorem 2.4.6）。

- 结果指出，若族皆正齐次，则调整风险度量的正齐次性条件相当严格：目标风险曲线$g$只能在0点及最多一个点取非零值（介于0和正无穷间），否则无法保持正齐次性。次加性类似。

• 这一结论推广了之前关于调整ES的相关结论。

- 详细逻辑与证明基于调整风险度量的定义和函数的上确界性质。

2.5 有界性与连续性

• 不同参数选择的目标风险曲线对于调整风险度量的有限性有关键影响。

- 定义下界与上界概率点$p1, p2$限定了目标风险曲线的主要作用域。

• 只要$\rhop$族在该区间均有限且有序，调整风险度量即有限（Lemma 2.5.3）。

- 考虑族成员的凸性与接受集合的内点条件可保证调整风险度量的连续性（Proposition 2.5.4）。

• 实例说明调整ES满足这些假定，因而其有限性与连续性得以保障。

3. 不同调整风险度量的具体例子

3.1 定义与构造

• 引入了新的风险度量族成员，主要包括：

- Range-Value-at-Risk (RVaR)：把VaR区间值进行均值计算，可视为VaR的平滑版本。
- Expectile：基于最小化加权平方损失定义的新颖风险度量，注重尾部风险与风险敏感性。

• 一些新组合的调整风险度量包括：

- 简化组成风险度量（SCRM），基于区间内小概率使用VaR，较大概率使用ES的组合。
- 组成风险度量（CRM），通过分段使用RVaR和ES覆盖整个区间，避免尾部重叠。
- 固定组成风险度量（FCRM），类似CRM但固定区间起点，有限个RVaR。
- 调整expectile风险度量（AERM），基于一族expectile风险度量构造。

• 示例展示在阶梯目标风险曲线条件下，不同调整风险度量可简化为不同风险度量最大值的形式。

3.2 主要性质

• RVaR 是正齐次，星形，且具有法则不变性。Expectile是星形且法则不变，在$q \geq 0.5$时满足SSD一致性和凸可加性。

- 按Proposition 2.4.3，SCRM、CRM、FCRM族满足Assumption 2.4.1。

• 表格（Table 1）清晰列举了VaR、RVaR、ES等风险度量与调整风险度量的以下属性：

- 凸性、正齐次性、次加性、SSD一致性、盈余不变性

• 结果显示SCRM、CRM、AERM通常不具备表中这些性质，原因是它们是调整ES和LVaR的混合，基于非凸非次加的VaR和RVaR，导致调整风险度量本身不满足这些传统属性。

3.3 有界性与连续性

• SCRM和CRM有界，但不可保证连续性（原因是VaR及RVaR不连续）。

- FCRM和AERM有界且连续，因为它们基于有限个连续风险度量的最大值或下半区间的ES。

• Expectile在$q \geq 0.5$凸性等性质保证其调整风险度量连续（Section 3.3）。

3.4 对偶表示

• 重点给出了AERM的对偶表述，详述通过测度变换实现的期望表达式及目标风险曲线生成的惩罚项。

- 对偶形式揭示了风险度量与测度家族间的组合结构，类似调整ES的对偶表示，反映出调整风险度量与传统凸共轭理论的联系。

• 示例解释在目标函数为阶梯函数时，对偶最优测度对应具体权重分布。

- SCRM和CRM因不凸不能直接用凸共轭技术，但因星形性质可用星形对偶理论。

4. 案例研究（基于S&P 500及成分股）

4.1 阶梯函数目标风险曲线实验

• 采用目标风险曲线$g(p) = 0.01 \cdot \mathbf{1}{(0.95,0.99]}(p) + \infty \cdot \mathbf{1}_{(0.99,1]}(p)$。

- 比较SCRM与调整ES表现，SCRM通常低于调整ES，因VaR的尾部盲点。

• 两者差距在低风险值时波动较大，风险值高时趋近。

- 2008金融危机期间，SCRM和调整ES交替主导最大风险值，表现出对危机时段的灵敏反应，但SCRM波动一般小于调整ES。

• 调整ES整体更保守（风险值较高）。

4.2 基于基准分布的目标风险曲线

• 以S&P 500不同时期指数为基准，估计出不同波动区间（低、中、高）对应的目标风险曲线。

- 选取微软（科技）和波音（航空）两只股票考察不同基准情况。

• 观察到：基准风险曲线来自高波动区间时，调整风险度量表现吸纳危机信息能力强，可视化危机时机。

- 基于低波动基准的调整风险度量对常规市场波动更敏感。

• SCRM与CRM两种组合风险度量在高波动区间表现不同，CRM值整体较高，适合更保守风险偏好者。

4.3 动态更新的目标风险曲线

• 目标风险曲线随着时间滚动窗口动态计算（窗口长60日和200日）。

- 动态调整风险度量较固定低波动基准风险度量显著减少风险值，尤其是危机高峰时差异明显。

• 60日窗口调整风险度量在危机期间对风险变化比200日更敏感。

- 最优风险水平动态变化，动态基准风险度量倾向选择更低的风险水平，反映风险适应性。

4.4 不同市场对比与离群检测

• 以欧元区主要指数Eurostoxx 50和美股S&P 500做对比，利用基于S&P 500的动态目标风险曲线调整Eurostoxx 50风险度量。

- 调整风险度量峰值对应市场极端风险差异，SCRM能同时反映正向与负向风险异常，调整ES则侧重负向风险异常。

• 此应用突出调整风险度量对跨市场异常波动的有效检测能力。

4.5 关键结论总结

• 使用基于高波动期基准设定的目标风险曲线更适合危机时识别和可视化。

- 阶梯函数及基于低波动期基准的调整风险度量适合风险厌恶型投资者，显示更敏感的风险反应。

• 动态目标风险曲线易出现风险低估，应谨慎面对，适用于风险偏好较低的投资者。

- 不同调整风险度量族成员适合不同风险预期，投资者可基于个人风险态度选择适用的调整风险度量。

图表深度解读

图1（第18页）

• 描述：对比S&P 500日对数收益率的SCRM与调整ES及两者的相对差异。

- 解读：
- SCRM一般不超过调整ES，符合理论预期。
- 相对差异平均为-12.6%，中位数-11.3%，较大差异发生在风险水平较低的时段，主要由VaR估计的鲁棒性低响应引起。
- 两风险度量均能反映风险峰值，但灵敏度有差。

• 联系文本：支持阶梯目标函数下SCRM表现低于调整ES的论断，且展示两者在危机及平稳期表现差异。

图2（第19页）

• 描述：2008年金融危机期间，SCRM与调整ES风险度量对比，目标风险曲线跳跃幅度分别为0.01和0.03。

- 解读：
- 两风险度量表现随跳跃变化显著不同，跳跃越大调整ES越保守。
- 危机高峰期最大风险度量值有时相符，反映风险度量对尾部极端行为的敏感。
- 相对差异显示在该期内调整ES总是高估风险。

• 联系文本：说明目标函数调节调整风险度量对风险评估保守度影响明显。

图3（第21页）

• 描述：微软与波音三种基准风险曲线（低、中、高波动期）下的SCRM、CRM和调整ES时间序列。

- 解读：
- 波音风险指标峰值普遍高于微软，反映其更高波动性。
- 不同波动期基准导致风险水平差异显著，高波动基准对应更高估计。
- SCRM与CRM在低波动基准大致等于调整ES，区别随基准波动性升高而增大。
- CRM整体值高于调整ES，且SCRM较调整ES呈现截然相反的大小关系区分小/大风险值区域。

• 联系文本：说明族成员选择与基准设定对风险度量结果的重要影响，以及投资者风险偏好调整的必要。

图4（第22页）

• 描述：微软股票动态滚动（60日和200日窗口）估计的SCRM、CRM、AERM与固定低波动基准调整ES对比。

- 解读：
- 大多数情况下动态调整风险度量与低波动基准调整ES值近似。
- 动态估计整体风险水平比低波动基准低，尤其危机期间显著。
- 60日动态窗口比200日更为灵敏检测风险峰。

• 联系文本：反映动态调整目标风险曲线易导致风险低估，评估周期对风险灵敏度的影响。

图5（第23页）

• 描述：SCRM基于60日动态估计与固定低波动基准估计的风险值及最优风险水平变化。

- 解读：
- 低波动基准下的最优水平常更接近1，推断因基准风险值整体较低导致尾部风险权重更大。
- 动态估计显示更灵活选取风险水平，风险度量更适应时变风险环境。

• 联系文本：说明目标风险曲线的设定与重估对风险聚焦水平的影响，并提示风险管理灵活性。

图6（第24页）

• 描述：欧元区Eurostoxx 50与美股S&P 500指数日收益及前者基于S&P 500动态基准的调整风险度量与最优风险水平。

- 解读：
- 两指数收益序列整体趋势相似，危机时存在明显差异。
- SCRM显示于疫情危机期间存在明显风险峰值，能够反映双向异常（正负尾差异），调整ES更侧重负向尾部。
- 最优风险水平动态变化反映风险监测的灵活侧重方向。

• 联系文本：展示调整风险度量作为跨市场风险比对工具的潜力，特别是识别极端尾部风险差异。

图7、图8（附录B，页28）

• 图7展示S&P 500在不同阶段的95% ES与期待值的基准风险曲线差异。

- 图8展示微软及波音用于不同基准风险曲线的AERM与调整ES比较，映射风险动态特征。

估值分析

本报告无直接公司估值模型讨论，但从风险度量角度涉及基于调整风险曲线的资本需求（内部模型作法），可视为风险估值工具，用于确定资本充足水平，体现风险认可的“价值”。

风险因素评估

• 目标风险曲线选择风险：不同基准、转移频率、步长等均严重影响风险度量输出，易导致风险估计偏离真值。

- 估计窗口长度：过短过长均影响风险动态响应与波动适应。

• 参数选择模型风险：族成员选择（VaR、ES、RVaR、expectiles）决定风险度量性质及保守/灵敏特性。

- 数据异常及分布假设风险：模型假设和数据质量对尾部风险测算敏感。

针对上述风险，报告未提供具体缓解措施，但通过多模型对比、灵活基准设定及滚动重估策略部分缓解相关风险。

批判性视角与细微差别

• 报告强调调整风险度量不一定保持经典风险度量的凸性、正齐次性等良好性质，部分新措施可能更复杂、非凸，增加模型优化难度。

- 基于不同目标风险曲线，特别是动态更新的目标曲线，风险度量可能低估极端事件，这对于保守风险管理者是警示。

• 不同族成员组合虽增加灵活性和适用性，但也带来理解和实务实施复杂度的提升。

- 部分对偶表示较抽象，实务中计算成本与解释难度或较高。

结论性综合

本报告以深入理论分析为基础，提出了调整风险度量的广义框架，成功拓展了基于目标风险曲线的风险度量家族，不仅包含了调整ES和Loss VaR等已有概念，也引入了基于RVaR和expectiles的新型风险度量。理论上，报告详尽探讨了新风险度量的基本属性（正齐次性、次加性、凸性、SSD一致性和盈余不变性），发现多数新度量工具不满足所有传统性质，反映了风险度量的复杂性和多样性。

实证方面，报告通过对S&P 500指数及成分股、欧盟市场指数的应用验证了调整风险度量在实际风险评估中的表现，重点包括：

• 基于不同目标风险曲线（阶梯函数和基准风险曲线，包括滚动更新）下调整风险度量对市场风险事件（如金融危机、疫情危机）的敏感性与反应能力，显示配置灵活应对不同风险偏好和监管需求。

- 新引入的基于RVaR和expectiles的调整风险度量在捕获尾部风险和趋势识别方面具有不同优势，适合作为补充风险管理工具。

• 调整风险度量在跨市场异动识别及极端风险检测方面展现较强潜力，尤其在识别双向异常事件（如欧盟与美股市场）时优于传统调整ES。

综合来看，报告不仅系统构建了调整风险度量的数学理论及结构，还提供了详实的实证验证，为金融风险管理者提供了理论健全且实践可操作的风险测度工具。其对风险管理机构在风险度量及资本配置策略的设计与调整具有重要参考价值，特别是在面对复杂多变的市场波动与监管环境时，帮助实现风险度量的灵活性与准确性。

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附：报告中部分关键图表展示

图1（第18页）：S&P 500指数的调整ES与简化组成风险度量（SCRM）随时间的风险值对比及相对差


图2（第19页）：2008金融危机时调整ES与SCRM对应风险水平比较，及调整ES目标函数跳跃幅度变动影响


图3（第21页）：微软和波音三类基准下，SCRM、CRM与调整ES随时间风险值表现


图4（第22页）：微软股票滚动60天和200天基准的动态调整风险度量（SCRM, CRM, AERM）与固定基准调整ES对比


图5（第23页）：微软滚动60天估计SCRM的风险值及对应最优水平


图6（第24页）：欧元区指数与美股指数收益率及基于S&P 500动态基准的欧元区调整风险度量及最优风险水平


图7（第28页）：S&P 500在低波动和高波动期的95% ES及期待值基准风险曲线


图8（第28页）：微软与波音AERM和调整ES在多基准风险曲线下表现


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以上分析详尽涵盖了报告中的理论贡献、方法论、实证分析及图表解读，深刻揭示了调整风险度量在现代风险管理中的发展与应用价值。所有结论均严格基于报告文本内容，段末已标注相应页码便于溯源。[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28]

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