• Choquet量化风险测度构建与刻画 [page::5][page::6][page::7]：

- Choquet量化风险测度定义为以二元容量（binary capacity）为基础的Choquet积分，推广了经典的概率分布下的分位数定义（VaR）。
- 通过唯一的“序次性”（ordinality）公理刻画Choquet量化映射，简化了该量化风险测度的理论基础。
- 此函数满足正齐次性、共单调加性等关键性质，但一般不满足凸性，凸性情况下形式极其受限。

• Choquet量化风险测度的运算性质及闭合性 [page::8][page::9]：

- 对给定容量的最大值与最小值在对应分位数的作用下，Choquet量化满足封闭性，即最大际（给定容量族）最大对应量化风险测度；
- Choquet量化风险测度具备单调性、平移不变性和正齐次性。

• 风险分担问题及Choquet量化的inf-卷积性质 [page::11][page::12][page::13][page::14]：

- 对于$n$个代理主体，其风险测度为Choquet量化时，风险分担的inf-卷积依旧是Choquet量化函数，且提供了明确的最优风险分配公式。
- 分配通过满足一组满足特定容量集合性质的事件划分实现，且对连续函数具有不变形变性，便于数值计算。
- 该分配忽视风险的尾部损失幅度，但控制尾部事件本身，风险共享机制能显著降低总资本需求。
- 在特殊情形下，若容量为sup-概率，风险测度为worst-case VaR，inf-卷积公式同步推广，存在易于计算的解结构。

• 数值计算框架与实证分析 [page::18][page::19][page::20][page::21][page::22][page::23][page::24][page::27]：

- 离散与连续（atomless）概率模型下，提供了针对Choquet量化风险测度风险分担最优化的线性与整数规划算法。
- 数值实例表明风险分担后总风险可降低明显8%-81%不等，且代理数量增加和分布偏态更明显有利于风险分散。
- 使用S&P500指数日收益率估计的多期分布作为不确定概率集合，实证演示了基于Choquet量化的风险共享能有效削减资本需求最高达59%。
- 不同代理对应的模糊概率集表现出对市场波动的不同敏感度，风险分配也体现尾部事件的合理调剂。

• Choquet期望短缺(Choquet ES)的定义与性质 [page::16][page::17][page::18]:

- Choquet ES由Choquet量化积分定义，作为对ES的自然模糊推广，同时满足共单调加性、单调性、正齐次以及平移不变等风险测度基本性质。
- 是一种相容的、对于子模容量（submodular capacity）具备凸性及一致连贯性的风险测度，具备优化表达和对偶表示。
- Choquet ES的inf-卷积在子模容量条件下具有闭合性，但sup操作不保持Choquet ES结构，与Choquet量化风险测度有所不同。

• 理论贡献与风险管理启示 [page::0][page::2][page::4][page::8][page::11][page::16][page::26]:

- 该研究首次系统建立了Choquet量化的理论体系及其在模糊环境下风险共享问题的完整解法。
- 结合数值算法及真实金融数据验证了理论的实际应用潜力，表明引入模糊性风险测度可提升资本效率但无法替代尾部风险控制的重要性。
- 结果为金融监管中涉及多模型不确定性、风险分担的实践提供了数学基础和有效的计算方案。

• 相关图表示例：

- 风险分担后的最优分配结构示例（两代理、三代理及五代理情况），清晰展示了不同$\alpha_i$对分配距离及区域的影响。



- S&P 500指数收益率历史分布多期估计及基于多模型不确定性的风险共享分配。

报告标题：Quantiles under ambiguity and risk sharing

作者：Peng Liu, Tiantian Mao, Ruodu Wang
发布时间：2024年12月30日
主题：Choquet积分、Choquet分位数、风险共享与风险度量（含不确定性下的风险共享问题）

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一、元数据与概览（引言与报告概览）

本论文围绕风险度量中风险分位数（quantiles，金融中通常称为VaR）在存在模糊性（ambiguity，又称模型不确定性）情形下的推广及应用展开研究，提出了Choquet分位数（Choquet quantiles）的系统理论。Choquet分位数基于Choquet积分（Choquet integrals），将概率测度推广至容度（capacity，非加性概率的泛化），适应了当存在不确定概率集的情境（即不确定分布），并体现了在风险共享问题中对风险分配和资本需求的优化。文章展示了Choquet分位数的单一公理——序数性（ordinality）公理的刻画，推导了该类风险度量下的inf-卷积（inf-convolution）封闭性，以及明确给出了最优风险分配方案。引入了新型风险度量Choquet期望短缺（Choquet Expected Shortfall），同时提供了算法实现和金融数据实例。

核心论点与贡献：

• 定义并刻画了Choquet分位数，通过序数性单一公理说明这是一种单参数刻画的风险度量。

- 证明Choquet分位数下风险共享问题的inf-卷积仍属于Choquet分位数范畴，推导了最优风险分配结构的显式公式。

• 提出Choquet期望短缺风险度量，继承经典期望短缺（ES）的多个重要性质，且在一定条件下是相容的相干风险度量。

- 通过数值方法解决在带有多概率（即不确定性）情形下的风险共享问题，并利用实际金融数据（S&P 500指数收益数据）进行案例分析和应用示范。

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二、逐章深度解读

1. 引言（章节1）

介绍了Choquet积分在模糊风险决策的核心地位，强调风险分位数（VaR）在固定概率下的定义局限，即需假设具体概率测度。但实际金融中，风险事件概率难以准确界定，导致模型不确定性和多重概率假设（ambiguity）出现。基于此，文章提出用worst-case风险分位数进行风险评估，即对一组可能概率中的最大VaR值取值，构成了容度中的一类特殊风险度量。这种worst-case quantiles本质是Choquet积分下的一个重要子类——Choquet分位数。

风险共享问题即如何将总风险$X$分配给多个主体（子公司或参与者），使总资本需求（风险暴露，总VaR或其推广形式之和）最小化。该问题在传统概率情况下已有研究，但面对多概率或模糊性，风险度量的性质和理论尚未完善，因此本文针对Choquet分位数展开系统研究。

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2. Choquet分位数定义（章节2，部分）

• 容度定义为满足单调性和边界条件的非加性集合函数。特殊情况包括概率测度和sup-概率（从概率集合中取上确界）。

- Choquet积分定义为基于容度的积分推广，具备comonotonic加性，即对同调随机变量加法可分解。

• Choquet分位数定义为涉及二元容度（只取0或1）下的Choquet积分，等价于定义中的左/右Choquet分位数。

- 明确了probabilistic quantile与Choquet分位数的等价性及其在容度和二元容度间的转换关系。

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3. Choquet分位数的公理化刻画与性质（章节3）

3.1 序数性公理（Ordinality）

• 关键定理1：映射满足“序数性”公理（即$\mathcal{R}(\phi(X))=\phi(\mathcal{R}(X))$，对任意连续单调$\phi$成立）当且仅当为Choquet分位数。

- 此公理意味着量尺的单调变换不改变风险判断，体现风险评价的“刻度无关性”。

• 证明过程中展示了序数性蕴含的comonotonic加性和正齐次性，并最终导出容度取值于0-1区间，实现二元容度的定义。

- 从决策理论角度，序数性的理解为偏好规则对递增连续变换的不变性，保证风险评价的一致性。

• 与早前文献中需额外单调性公理不同，本文证明单序数性公理足矣刻画该类风险度量，且不依赖概率分布律。

3.2 Choquet分位数的性质

• Supremum和Infimum封闭性：集合中的Choquet分位数的上确界和下确界仍为Choquet分位数（Proposition 3）。

- 风险度量中常见性质验证：单调性、正齐次性和平移不变均成立，但一般不凸，反映VaR及其推广的非相干性。（Proposition 4和5表明凸性极为约束，实质上仅保留极端风险度量型的结构，类似最大值函数）

• 函数的半连续性质（Proposition 6）保证分位点的稳定与定义的合理性。

- 任何Choquet积分可表示为其分位数的积分形式，延续了经典累积分布函数与分位数的内在联系。

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4. 风险共享问题中Choquet分位数的应用（章节4）

4.1 问题设置

• 总风险$X$需分配给$n$个代理，各自风险度量为Choquet分位数。

- inf-卷积定义为所有可分配组合中风险度量之和的最小值。

• 已知probabilistic quantiles在无原子概率下的inf-卷积直接与单一VaR相关联（叠加参数，见(8)式）；本文将推广此结果。

4.2 Inf-卷积封闭性与最优分配（定理2）

• 核心成果： $n$个Choquet分位数的inf-卷积仍为Choquet分位数，且其null集合定义为原null集合的并集。

- 对应最优分配以一组可测分割$\{Ai^\}$确定，尾部风险（超过最小阈值$x^$的部分）被划分给各个代理，分配具体公式（10）给出。

• 协变变换下最优分配不变（命题7），增强了计算和实际应用中的灵活性和实用性。

4.3 讨论与特殊情况

• Choquet分位数仍然忽视尾部严重性，仅在阈值上调整，因而对尾部风险的捕获能力同VaR一样不足。

- 资本需求角度，多个代理联合持有风险可显著减少资本总需求（数值结果表明甚至可减半）。

• 对考虑sup-概率情况（多概率或不确定性集合）得出特别简洁的inf-卷积表示（Corollary 1）和特定分割结构（Proposition 8）。

- 不同的扭曲概率（distorted probabilities）情况下，简单求和公式失效，因而Choquet分位数与经典VaR结构存在本质差异。

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5. Choquet期望短缺（Choquet ES）（章节5）

5.1 定义与属性

• 通过对Choquet分位数积分定义Choquet ES，拓展经典ES适用于模糊概率测度的场景（定义(16)）。

- 仍保持comonotonic加性、单调性、正齐次性、平移不变等风险度量常规性质。

• Proposition 9给出Choquet ES对应的器容度是$w\alpha=(w/\alpha)\wedge 1$，当且仅当此测度服从子模性时，Choquet ES是相干风险度量。

- 进而得到对参数α的单调一致性（Corollary 3）。

• 继承经典ES的优化公式（Theorem 3），对Choquet ES和Choquet分位数之间关系进行了推广。

- 给出相干Choquet ES的对偶形式表示（Proposition 10），类似经典期望下的ES。

5.2 Inf-卷积

• 对子模容量序列，已有风险度量inf-卷积理论依然适用（Proposition 11）。

- 继而推论出Choquet ES的inf-卷积表达式（Corollary 4），但整体计算难度较大，当容量不子模时不易求解。

• 尽管Choquet分位数的worst-case风险有清晰对应，但Choquet ES的worst-case并非Choquet ES本身，反映了ES在模糊环境中的复杂性。

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6. 数值求解：基于sup-概率的风险共享（章节6）

• 针对分布结构为有限概率集合的情况，结合对随机变量取值空间的划分，建立可计算优化模型。

- 给出了两种基础情形：无原子（atomless）和离散场景下的最优分配数值方案。

• 关键模型转化：原风险共享问题等价于求最小阈值$x$使得事件$\{X>x\}$能由满足风险约束的集合并构成。

- 通过线性或整数规划表达分割变量，实现计算求解。

• 数值例子涵盖2、3、5个代理，展示风险共享后资本需求大幅降低（最高达60%以上）。

- 最优分配分割集的结构与理论中指定的尾部（tail event）性质相匹配（Proposition 8）。

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7. 金融数据应用（章节7）

• 利用2014-2023年S&P 500指数的日收益数据，计算未来日对数损失的多期分布估计（5年、2年、1年窗口，及拟合正态和t分布）。

- 构造四个代理的模糊概率集（对应不同估计窗口和分布假设），应用Choquet分位数风险共享模型。

• 分布分辨率为700个均匀网格，使用整数规划方案求解最优风险分配。

- 结果显示，多代理风险共享可使得资本需求大幅降低，举例$\alpha=0.01$情况下降低近45%。

• 不同置信水平和代理数目下风险减少比例变化显著，验证理论效力。

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8. 结论

• 系统构建了Choquet分位数理论，单序数性公理成为新的刻画工具。

- 识别出Choquet分位数风险测度的运算封闭性和风险共享的最优结构。

• 提出并分析了Choquet期望短缺，拓宽风险管理视野。

- 数值方法和金融实证充分证明所提理论在现实中的适用性。

• 该框架为包含不确定性与模糊性的风险度量和风险分配问题提供了理论及应用基础。

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三、图表深度解读

图表1（表1，页20）

内容描述：不同代理数目与置信水平下，区分两种风险模型（均匀分布DU，幂律分布DP）下风险共享前后的总风险值与风险削减比例比较。

数据解读：

• DP模型具备更重尾特征，风险更大，与此同时风险共享产生的风险削减效果更明显（最高达90%）。

- 代理数增加时风险削减比例PCR升高，验证多方合作分担交流带来的风险分摊效率。

• 置信水平调整（$\alphai$）引起的风险值与削减变化明显。

联系文本支持：该表验证了章节6数值实验结论，同时支持章节4有关资本需求降低的讨论。

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图表2（图1，页21）

内容描述：两个代理间三组不同置信水平参数下的最优风险分配示意。图中矩形块色彩代表代理，红线阈值表示最优风险水平$x^$。

数据解读：

• 风险划分多在尾部区间，符合风险共享理论中“尾部风险被划分”的结论。

- 组间$x^$根据$\alphai$组合变化，影响割点位置，展示模型敏感度。

• DI 和DP模型分配形态相近，论证了风险可通过增函数映射保留最优结构的命题7。

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图表3（图2，页22）

三代理最优风险分配图，验证代理1持有尾部事件（如Proposition 8）且尾部分割规则明显。

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图表4（图3，页24）

离散情形下的最优分配示意，展示每个离散点被唯一分配至某代理，体现整数规划结果。

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图表5-7（图4-6，25-26页）

展示代理1、2及4的概率测度集合（多期估计及分布拟合直方图），表达数据驱动的模糊概率管理理念。

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图表8（图7，页27）

四代理在真实S&P 500对数损失风险分配的最优分割，可视化各代理风险占有区间，尾部事件风险共享显著。

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附录图表（A.1-A.5）

包含代理概率分布的具体离散概率体分配（图A.1）与更高维度及离散设置下的最优风险划分（图A.2，A.3）、真实数据的代理3和4概率测度图（图A.4，A.5），方便结果复现与更深入感性理解。

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四、估值分析

本文估值主要集中在风险度量的性质上，即风险值的定义与优化额度。采用的核心方法是：

• inf-卷积（inf-convolution）：优化问题中多个风险度量函数的加和的最小化表示，核心解决风险共享的资本需求最优分配。

- 利用二维至多维二元容量结构解析容量的优化组合，从而得到inf-卷积的封闭表达和风险分配结构。

• 对期望短缺采用积分形式，将Choquet分位数作为基础分布，推导期望短缺风险度量的容量形式（子模性质决定相干性）。

- 无涉及估值折现率、永续增长等企业价值估值工具，核心为风险度量函数的数学结构化。

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五、风险因素评估

论文围绕的风险因素源于金融风险的“模型不确定性”或“概率模糊性”，其核心体现在：

• 不确定概率的集合：风险暴露评价对概率测度的不确定带来额外风险，传统VaR在此下的风险评估非稳健。

- Choquet分位数属于非凸风险度量，风险管理中的最优资本配置问题更加复杂。

• VaR和Choquet分位数无法有效捕获尾部风险，导致监管资本的不足风险，尽管引入多概率集提高了保守性，但本质问题未解决。

- 指出Choquet ES在适当条件下是相干度量，对尾部风险控制更为有效，但其复杂性导致直接求解困难。

• 多代理的异质概率认知可能引入额外风险分配矛盾，需谨慎理解最优分配的实际执行影响。

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六、批判性视角与细微差别

• 序数性公理单独足以刻画Choquet分位数，简约而深刻，但该公理假设连续单调函数对风险映射的完全不变，实务中可能存在偏离（测度转换、非连续决策偏好）。

- Choquet分位数非凸性限制其作为广泛相干风险工具的适用性，风险叠加时可能出现优化难题。

• worst-case风险分位数框架虽引入更多保守性，但本质上依然忽略了尾部严重程度，特别是在极端风险事件中，可能低估整体风险。

- Choquet ES虽更完整反映尾部分布，但复杂性增加实际操作困难，数据估计误差对容量的准确性影响未深入讨论。

• 文中最优分配的构造依赖“容度闭合及连续性”等数学性质，现实场景中的数据缺失、模型估计误差会影响分配实际可行性。

- 表格和图形展示的风险削减结果与理论吻合，但缺乏对操作风险、市场微观结构等其他风险因素影响的考量。

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七、结论性综合

本论文系统刻画了Choquet分位数作为包含不确定性风险分布的风险度量工具，基于单一序数性公理赋予其数学严密性和决策一致性；同时，证明了该类风险度量的inf-卷积封闭性及明确的最优风险共享分配结构，为多代理设置下资本需求分配和风险管理提供了理论基础。

引入的Choquet期望短缺进一步拓宽了风险度量工具箱，兼具尾部风险识别能力和相干风险度量重要特性，弥补了VaR及其扩展的不足。文章还具体设计了数值可解模型，涵盖连续及离散场景，并通过真实S&P 500指数收益数据完成验证，展现了风险共享在不确定性情景下实现资本节省的实用性，风险削减幅度可达40%-80%。

图表数据和数值实验强调了配送尾部分割的重要性及风险共享收益随代理数量增加而增强的趋势。Choquet分位数与sup-概率的对应紧密连接了传统概率度量与不确定概率模型的桥梁。

整体而言，本文以严密数学分析结合实务导向展现了不确定性风险度量领域的重要进展，为金融风险管理、资产组合优化及监管资本配置在模糊环境下提供了新视角和实用工具。

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八、关键图表示例（引用）

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  图1 两代理间风险分配示意，颜色块分配尾部不同区间风险，红色虚线为最优风险阈值。

• 

  图2 三代理风险分配，代理1持有尾部风险的Lebesgue区间，符合尾部分配理论。

• 

  图3 离散状态空间下两个代理的最优风险划分，整点唯一归属代理。

• 

  图7 S&P 500未来损失回报中四代理风险分割，展示真实数据下的风险缓释。

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九、引用标注示例

• Choquet量度、分位数基本定义及风险共享问题提出见第0-4页，1-4页。

- 序数性公理及定理1的证明详见6-8页。

• inf-卷积封闭性及风险共享最优结构见11-14页。

- 数值模型和金融数据分析详见18-27页。

• 证明见31-37页。

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综述总结

本文提出的Choquet分位数是金融风险度量和决策中处理模型不确定性的重要数学工具，理清了风险共享场景中资本需求的最优分配结构。结合Choquet ES的扩展，增强了对尾部风险的识别和管理能力。实证应用和数值求解验证了理论的实用价值。展望未来，该理论框架为涵盖更复杂情境下（如非线性和高维依赖结构）风险指标的研究提供了坚实基础。

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