MODELLING UNCERTAIN VOLATILITY USING QUANTUM STOCHASTIC CALCULUS: UNITARY VS NON-UNITARY TIME EVOLUTION

创建于 2025-05-12T15:56:32.180581+08:00 更新于 2025-05-21T11:12:26.500361+08:00

摘要

本报告基于量子概率框架构建随机波动率模型，将波动率作为Hilbert空间中的量子态处理，探讨了在不同测量信息获取假设下单位时间演化与非单位时间演化的差异，结合蒙特卡洛模拟和偏微分方程方法分析了价格演化的概率分布特征，重点揭示了保留波动率状态信息的单位演化产生的非高斯分布及其市场含义 [page::0][page::3][page::7][page::9][page::13][page::16].

速读内容

研究引入额外Hilbert空间 $\mathcal{H}{\sigma}$ 表示不确定波动率，将价格演化定义在 $\mathcal{H}{mkt} \otimes \mathcal{H}{\sigma} \otimes \Gamma$ 上，进而构建带有不确定波动率的量子随机微分方程 [page::0][page::1][page::2].

- 利用有限维波动率空间 $\mathbb{C}^K$ 表示不同波动率水平，对价格演化算子进行调整，实现波动率不确定性的量子态刻画，测量过程定义涉及波动率-价格联合投影测量并依赖贝叶斯更新调整状态权重 [page::2][page::3][page::5][page::6].
两种时间演化模型对比：单位酉演化下通过蒙特卡洛路径模拟，因测量过程保留波动率空间信息，模拟价格分布显著非高斯，尾部厚（峰度超额约57%）；非酉演化（偏微分方程方法）通过对波动率空间取偏迹丢失波动率信息，得到的价格分布近似高斯，峰度接近0 [page::7][page::8][page::9].

引入系统Hamiltonian $H = \mathbb{I} \otimes H{\sigma}$ ，其中 $H{\sigma}$ 包含动能项$\frac{\nu^2}{2}\Delta{\sigma}$，使波动率态随时间可变，导致路径间波动率演化由条件概率决定，呈现高低能量两种极限：高能量（大$\nu$）对应波动率快速随机化导致波动率均值回复；零能量对应波动率沿路径固定，产生最大非高斯性 [page::10][page::11][page::12].

- 基于上述模型，进行多蒙特卡洛路径模拟，调整波动率哈密顿量参数$\nu$模拟不同波动率演化场景，结果显示，$\nu$ 越大，路径分布越趋近高斯形态；$\nu$ 越小，分布呈现厚尾特征 [page::13].

对比联合测量和贝叶斯测量两种波动率投影更新方法，模拟结果在价格分布和峰度上基本一致（峰度分别为58%、56%），但路径上贝叶斯方法波动率呈随机波动，联合测量则波动率固定，且波动率大于0.2和小于0.2的期望随时间逐步分离趋同 [page::15][page::16][page::17].

结论指出：量化随机过程参数不确定性可以由量子概率工具自然建模，测量过程对信息保留程度决定价格演化的概率分布形态，非酉价演化对应经典高斯近似，保留量子态测量引发显著非高斯波动性，为金融市场波动率建模提供新视角与数值工具 [page::16].

深度阅读

报告详尽分析报告

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一、元数据与概览

报告标题： Modelling Uncertain Volatility Using Quantum Stochastic Calculus: Unitary vs Non-Unitary Time Evolution

- 作者： Will Hicks

发布机构： Centre for Quantum Social and Cognitive Science, Memorial University of Newfoundland

- 日期： 未明确给出，但引用文章为2023年，推断为2023年或以后

主题： 本文围绕“带有不确定波动率的量子随机微积分建模”展开，聚焦于金融资产价格随机波动的量子模型构建，比较了单位ary和非单位ary两类时间演化方式对波动率建模的影响。

- 核心论点：
- 传统金融模型通常假设波动率是确定的或标定得到的参数，而现实市场中的波动率存在不确定性。
- 通过引入额外的量子Hilbert空间编码波动率状态，作者提出一种量子概率框架来刻画不确定波动率对资产价格演化的影响。
- 研究了不同的测量方式（测量市场价格及波动率信息）对模型动力学的影响，并通过蒙特卡洛模拟对比单位ary与非单位ary时间演化产生的结果差异。
- 证明了不同演化和测量策略下，资产价格分布可以呈现非高斯特征（如峰度过高），且对实际市场信息的捕捉不同。

目标及传递信息： 旨在阐述一个基于量子随机微积分的新型资产价格模型，允许波动率本身以量子状态存在，从而更深刻地模拟金融市场中波动率本质上的不确定性。并且指出不同行为假设（如是否持续获得波动率信息）导致的价格分布和模型预测截然不同，强调测量对模型动力学的决定作用。[page::0,1,3,7,16]

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二、逐节深度解读

1. 引言与模型基础结构（Section 1）

报告从将资产价格随机演化转化到结合Hilbert空间和Boson Fock空间的张量积空间模型入手：

\[
\mathcal{H} = \mathcal{H}{mkt} \otimes \Gamma(L^2(\mathbb{R}^+; \mathbb{C}))
\]
资产价格观测变量形如 $X \otimes \mathbb{I}$，其中 $X$ 归属于市场Hilbert空间。

- 时间演化采用单位ary算子 $Ut$ ，遵循量子随机微积分中的Hudson-Parthasarathy方程（1.3）。

随机扰动通过Fock空间中的白噪声算子 $dAt$, $dAt^\dagger$ 注入。

- 经典的波动率用算子 $L$ 体现，示例（1.4）中用偏导的形式给出，这对应高斯过程，波动率平方乘时间为方差。

关键论点是，现实金融市场中波动率 $\sigma$ 非事先已知且难以直接观测，传统模型依赖外部标定不完全自然。

- 文章提出通过引入额外量子Hilbert空间 $\mathcal{H}\sigma$ 来体现波动率状态的量子不确定性，从而将波动率作为一个状态变量而非固定参数：
\[
\mathcal{H} = \mathcal{H}{mkt} \otimes \mathcal{H}\sigma \otimes \Gamma(L^2(\mathbb{R}^+; \mathbb{C}))
\]
论述如何定义测量算子对复合空间投影，且测量内容影响未来过程动态，是本文模型核心。[page::0,1]

2. Hamilton Jacobi Bellman（HJB）与经典不确定波动率问题（Section 2）

回顾经典金融中不确定波动率框架，通过SDE：

\[
dXt = \sigmat Xt dWt, \quad \sigmat \in [\sigma{min}, \sigma{max}]
\]

估值问题转化为Hamilton Jacobi Bellman方程，根据极大化期权估值寻找卖方的合理报价。

- HJB方程中以 $\Sigma(\Gamma)$ 表示状态依赖的波动率区间上届或下界。

文章关注不同的是，将波动率表达为量子Hilbert状态，使得波动率随机且无明确先验，且借助量子模型寻找风险中性价格。

- 该节起到了联系经典模型和量子新构架的桥梁作用。[page::1,2]

3. 量子随机建模中的不确定波动率（Section 3）

3.1节：引入有限维波动率空间 $\mathcal{H}\sigma = \mathbb{C}^K$，波动率呈现为该空间的本征值 $\sigmak$，对应本征态 $|sk\rangle$。

- 修正算子 $L$ 表达为对各波动率本征子空间叠加：
\[
L = -i \frac{\partial}{\partial x} \otimes \sum{k=1}^K \sigmak |sk\rangle \langle sk| \otimes \mathbb{I}
\]
这令波动率不再固定数值，而是量子态的投影，允许不确定性和叠加存在。

- 演化算子和过程定义相应扩展到三重空间张量积，并通过单位ary演化引入随机微分结构。

展示了状态 $\rho\sigma$ 的不同取值：单一本征态和最大熵状态，分别对应波动率确定和完全不确定状态。
3.2节：详细定义测量过程。提出混合诠释，将状态演化与测量投影交替考虑。

- 命题3.1给出了多步测量概率的迭代计算公式，表述了状态更新的概率结构，严格对应量子测量后状态坍缩及时间演进。

命题3.2讨论了测量结果对状态的影响，描述了测量如何改变系统状态，且由于不同组合的测量权重 $qk$ 产生不同的坍缩状态。

- 进一步区分两种测量场景：
1. 同时测得价格和波动率（联合测量，定义3.4）
2. 仅测得价格，波动率未知（贝叶斯估计，定义3.5）

贝叶斯方法以测量价格更新波动率概率权重，基于贝叶斯定理结合先验概率和条件概率，反映在权重 $|qk|^2$ 上。

- 交互性测量和波动率信息对价格过程的影响明确体现，奠定了后续模拟方案的理论基础。[page::2,3,5,6]

4. 单位ary与非单位ary时间演化比较（Section 4）

4.1节介绍单位ary时间演化对应的蒙特卡洛模拟框架，步骤明确：

- 时间离散，单位ary演进注入波动率依赖的噪声。
- 观测测量后波动率状态坍缩，周期更新，以无哈密顿项为假设保持波动率本征态。

模拟结果（图1）显示拥有31个离散波动率本征值的系统产生明显非高斯分布，峰度超出57%。
4.2节介绍非单位ary时间演化，以偏微分方程（PDE）形式刻画，其通过对全局态空间进行部分迹运算，抹除波动率和噪声空间信息，只得到市场Hilbert空间的简化态演化。

- 得到的偏微分方程为Kolmogorov后向方程，表现为均值为0、年化波动率约20%的标准高斯过程。

比较图2显示单位ary和非单位ary两种模型计算得到的价格分布差异显著：

- 单位ary保持了波动率的不确定信息，产生尖峰肥尾分布。
- 非单位ary部分迹操作丢失了波动率变量信息，导致经典高斯分布。

这体现了信息保留对模型生成结果的决定性影响。[page::7,8,9]

5. 哈密顿量引入：波动率动力学演进（Section 5）

5.1节将系统哈密顿量引入为市场空间恒等算子与波动率空间哈密顿算子张量积：

\[
H = \mathbb{I} \otimes H\sigma, \quad H\sigma = \frac{\nu^2}{2} \Delta\sigma + V\sigma
\]
其中 $\Delta\sigma$ 为波动率空间的动能项，$V\sigma$ 为势能项。

证明在该哈密顿量作用下，价格算子 $jt(X)$ 的随机微分方程形式，波动率算子 $\alpha$以确定性演进，并保持与价格算子对易，方便求解。

- 5.2节描述引入哈密顿量后蒙特卡洛模拟实现步骤：
- 测量产生波动率本征态坍缩。
- 应用哈密顿量对应的单位ary算子进行状态演化。
- 根据状态转换概率进行波动率采样，实现波动率的动态变化模拟。
5.3节将波动率空间推广至无限维，通过谱测度表达算子，并设定自由Schrödinger方程作为哈密顿量。

- 5.4节讨论不同哈密顿量（动能参数 $\nu$）对波动率动态的影响：
- 高能量极限（ $\nu \to \infty$ ）模型迅速让波动率分布回归均匀，路径间波动率抹平，价格演化偏向高斯。
- 零能量极限（ $\nu \to 0$ ）导致波动率路径保持固定本征态，产生最大波动性不确定性及非高斯现象。
5.5节展示了对应不同 $\nu$值的蒙特卡洛模拟结果（图3、4），曲线从肥尾到较接近高斯形态变化，并产生相应的隐含波动率曲面。[page::10,11,12,13,14]

6. Bayesian测量方法及模拟对比（Section 6）

引入贝叶斯测量方法，不再强制波动率坍缩为本征态，而仅通过对价格观测利用贝叶斯原理更新波动率概率分布。

- 蒙特卡洛模拟由此分离为两步：先随机采样价格波动对应的标准正态变量，再根据当前权重采样波动率值。

采用迭代更新权重 $|qk|^2$ 的方式，模拟路径不再固定单一波动率，反映波动率信息不完全测量的现实情况。

- 6.3节模拟比较表明，Bayesian方法和联合测量方法在整体资产价格分布（峰度）上极其相近，差异约2%，验证模型一致性。

路径层面，贝叶斯路径波动率动态变化，而联合测量路径波动率固定。

- 条件期望波动率图（图7）显示两种测量方法下，高低波动率路径的软件稳定接近，展示贝叶斯测量的合理性和收敛性。[page::14,15,16,17]

7. 结论（Section 7）

文章通过引入额外Hilbert空间对不确定波动率进行量子态刻画，实现了传统模型固定参数的突破。

- 量子测量过程和信息保留机制显著影响价格过程动力学，量化了测量对价格波动分布的本质影响。

通过对比单位ary和非单位ary演化方式，揭示信息丢失导致的经典高斯市场模型局限。

- 结果支持运用量子概率框架模拟现实市场中波动率的不确定性，扩展金融建模工具箱。

论文同时给出了多种蒙特卡洛模拟实现方式，提供了理论与实践结合的完整指南。[page::16,17]

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三、图表深度解读

图1（page::8）

描述： 基于1百万条路径的蒙特卡洛模拟，使用31个离散波动率本征值范围 $4\%$ 到$34\%$。

- 解读： 价格分布明显非高斯，具有57%峰度过高，显示波动率不确定性带来的极端事件聚集。

联系文本： 反映单位ary演化下波动率信息保持对价格分布的重大影响，是非经典分布出现的直接证据。

图2（page::9）

描述： 1年期蒙特卡洛模拟结果对比单位ary和非单位ary两种时间演化概率分布曲线。

- 解读： 单位ary过程显示58%峰度过高，非单位ary过程曲线基本为高斯，峰度约零。

联系文本： 显示通过部分迹运算丢失波动率信息导致价格分布形态退化为经典高斯，突出信息保留对市场建模重要性。

图3（page::13）

描述： 对应不同哈密顿量参数 $\nu$ 下，1个月100K路径蒙特卡洛模拟得到的价格分布。

- 解读： 随着 $\nu$ 增大，分布逐渐由尖峰向平滑高斯过渡，展示波动率状态演化速度对分布形态的调控。

联系文本： 验证了哈密顿量参数对波动率不确定性动态的决定性影响。

图4（page::14）

描述： 1个月蒙特卡洛模拟得到的隐含波动率曲面，水平轴为行权价比率，垂直轴为隐含波动率。

- 解读： 均呈现“微笑”形态，且随 $\nu$ 值变化，微笑深度和曲面形态不同，对应不同波动率动态。

联系文本： 量化了模型在期权定价中对隐含波动率曲面形态的影响，赋予实际量化交易应用意义。

图5（page::16）

描述： 共同测量和贝叶斯测量方法的价格分布对比，100K路径。

- 解读： 两曲线极其接近，峰度分别为58%与56%，差异细微。

联系文本： 验证了贝叶斯更新测量方法作为近似手段的有效性和合理性。

图6（page::16）

描述： 单条路径中贝叶斯测量和联合测量下模拟波动率历时轨迹。

- 解读： 联合测量波动率固定，贝叶斯测量波动率动态波动但总体围绕相似水平。

联系文本： 展示两种方法的路径行为差异，解释整体分布接近的内在机制。

图7（page::17）

描述： 条件于上一步波动率高低（0.2为阈值），不同测量方法下波动率期望随时间变化曲线。

- 解读： 贝叶斯测量的高低波动率预期逐步分离，趋向联合测量的固定区分，体现状态更新和记忆效应。

联系文本： 反映测量信息对市场状态记忆和动态更新的影响，为模型实际解释提供依据。

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四、估值分析

报告虽不直述传统估值价格模型，但围绕波动率不确定性下的风险中性价格构建展开，强调波动率作为量子态的随机性影响收益估价过程，替代参数预设。

- 结合Hamilton Jacobi Bellman方程，且利用量子随机微积分解析框架，隐含用偏微分方程和蒙特卡洛方法进行期权价格计算和风险评估。

量化模拟（蒙特卡洛路径）帮助产生具备非经典分布特性的价格动态，从而影响定价和风险管理策略。

- 贝叶斯测量方法在此体系中为动态更新波动率分布概率的实际算法，支持在线校准和动态估值。

哈密顿量的引入为波动率提供时间演进机制，间接提供估值模型中波动率动态路径的动力学基础。[page::2,4,5,10,11,13,14]

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五、风险因素评估

核心风险源自波动率的量子不确定性及测量过程中信息的获得或丢失。

- 信息获得程度决定价格分布：信息丢失导致模型退化为经典高斯，无法捕捉市场极端波动，带来风险低估。

测量模型不确定性、测量频率和精度（$\epsilon$参数）对状态更新影响显著，直接关系后续价格过程表现。

- 哈密顿量参数 $\nu$ 控制波动率波动记忆长度，高速衰减导致路径信息迅速损失，反之保留长期波动率路径，影响风险评估的时间动态特征。

蒙特卡洛模拟中抽样误差和模型参数选取给实际风险度量带来波动。

- 报告虽未给出具体缓解策略，但通过提高测量频率和观测波动率信息可提升模型表现，模拟结果指示信息量大者模型表现更为真实。[page::4,7,12,15]

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六、批判性视角与细微差别

报告假定波动率空间为有限或无限维Hilbert空间，但实际金融市场的波动率状态空间可能无法完全匹配，该模型抽象程度较高，实用性需后续验证。

- 单位ary与非单位ary的区分核心在于信息保留与否，现实中市场信息不可能完美获得，纯单位ary模型或显过于理想。

测量过程假设较强，完全波动率测量（联合测量）在实际交易中难以实现，贝叶斯测量虽更贴近现实但依赖于初始先验及测量精度。

- 计算复杂度较高，特别是波动率空间维度增大时的模拟及状态更新可能存在计算瓶颈。

论文比较了两种测量模型，结果差异较小，显示在实际利用中可选更简便的贝叶斯流程，这有助于实际应用。

- 由于报告为理论工作，存在未来发展空间，例如结合实际市场数据校验、扩展到多资产等复杂衍生品。

报告强调了测量对动力学及价格分布影响，但对系统性风险、非线性反馈等市场行为的更深层次探讨较少，未来可拓展。[page::5,6,14,15]

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七、结论性综合

本报告提出了基于量子概率与随机微积分的资产价格模型，以Hilbert空间结构描述不确定波动率。通过引入波动率的量子态空间，模型突破了传统固定波动率假设，允许波动率存在统计及测量不确定性，体现了金融市场实际观察中的不完美信息。

报告系统地构建了包含市场Hilbert空间、波动率空间和随机噪声Fock空间的三重空间结构，定义了价格过程的单位ary演化方程及测量过程，分别考察了多类测量情境及波动率国家演化方式。蒙特卡洛模拟结果明确展示了：

具有波动率不确定性的量子模型可产生远非经典高斯的价格分布，反映极端波动和峰度偏高的市场特征。

- 单位ary时间演化下，信息完整保留使价格分布呈尖峰肥尾;

非单位ary（部分迹）演化则因信息丢失恢复高斯分布，揭示传统模型本质。

- 引入哈密顿量调控波动率状态动态，$\nu$参数调节不确定性的“记忆长度”与“扩散速度”，对应市场波动率动态的不同假设。

贝叶斯测量方法为实用测量方案，能够近似联合测量效果，并结合历史信息和价格测量动态更新波动率概率分布。

报告丰富的数学推导和命题证明为上述物理直觉和金融经济学观点提供扎实基础，辅以大量仿真图表直观展示理论成果，具有较高的理论价值和潜在实用意义。报告还指出，测量机制本身就是模型动力学及资产价格行为的关键驱动力，强调金融模型中信息流和市场观测过程的重要性。

在未来实际应用中，该模型有望通过灵活捕捉波动率不确定性和路径依赖性，提升市场风险测度和衍生品定价的准确性，同时为量子金融领域相关模型的深化和市场理解提供指引。

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