• 研究背景与创新点 [page::0][page::1][page::2]：

- 传统再保险保费原则基于风险测度确定保费，多为常数。
- 本文受回顾性费率启发，提出基于实际损失的“奖惩”变量保费方案，保费在保单期初为随机变量，期末根据实际损失调整折扣或附加费。
- 三大贡献：设计变量保费方案，刻画保险人最优策略，分析该方案对再保险人风险暴露的影响。

• 奖惩变量保费方案定义与性质 [page::4][page::5][page::6]：

- 设基准保费为 $\pi0(Y) = (1+\theta0)\mathbb{E}[Y]$ , 实际保费为 $\piY(y) = \min\{\max\{\pi0(Y) + \delta(y - \mathbb{E}[Y]), \pi1(Y)\}, \pi2(Y)\}$ 。
- 参数 $\delta \in [0,1]$ 控制折扣/附加费幅度，$\theta1,\theta2$ 定下保费上下限。
- 满足若干性质：分布依赖、风险溢价、同态性、保持一阶随机支配等，且保证无道德风险（赔付与保费为共动函数）。

• 保险人最优再保险策略问题及解析 [page::9][page::10][page::11][page::12]：

- 保险人求解 $\min{I\in \mathcal{I}} \rho(RI(X) + \Pi_I(X))$ ，$\rho$为风险测度。
- 在满足风险测度的“法律不变性”和“凸阶保持”两个条件下，最优赔付函数可限制在三层或两层赔付形式，显著简化问题。
- 使用凹损失风险测度（如TVaR）时，最优方案仅为两层索赔结构，且进一步化简为带有参数约束的较低维优化问题。

• 结合TVaR的最优策略闭式解与指数分布示例 [page::13][page::14][page::15][page::16]：

- 推导最优赔付的偏导数公式及最优解条件，证明在合理条件下最佳策略为两层结构或止损策略。
- Exponential分布示例详解参数关系并绘制最优赔付函数示意图。

• Bowley最优解模型与双层优化框架 [page::16][page::17][page::18]：

- 再保险人作为领导者，选择 $\delta$ 以调整变量费率强度，保险人根据该方案选择最优策略。
- 双层优化：保险人最小化风险测度，次选再保险人最小化自身风险测度求解最优 $\delta^{}$。
- 变量保费方案融合了常规的期望值费率方案（$\delta=0$）作为极限，实现更灵活的风险共享。

• 数值分析及不同损失分布下的最优结果 [page::18][page::19][page::20][page::21][page::22][page::23][page::24]：

- Pareto分布下，增大 $\delta$ 致使保险人承担更多风险，最优赔付由止损转为两层；再保险人风险显著下降，有唯一或多重最优 $\delta^{}$。
- Exponential分布更轻尾，保险人习惯保留更多风险，最优$\delta^{}$较轻尾分布低。
- 不同参数变化（Pareto形状、尺度参数、期望损失）对 $\delta^{}$ 和赔付结构产生影响，止损策略普遍出现。
- Power distortion风险测度下结果与TVaR类似，$\delta^{}$随再保险人风险厌恶程度变化。

• 结论 [page::24]：

- 变量保费方案通过引入基于实际损失的保费调整，增强了风险转移的灵活性。
- 保险人最优再保险策略可在参数化的赔付函数集合中寻找，理论和数值结果支持方案有效降低再保险人的风险暴露。
- Bowley最优框架下，变量保费方案为再保险人带来额外利益，尤其在风险厌恶时，促进保险人与再保险人利益协调。

• 图表亮点：

- 图1 展示两类参数化赔付函数示意。

- 图2 最优赔付随期望值变化示例（指数分布，$\delta=1$），区分止损与两层方案。

- 图3 Pareto分布下最优赔付与 $\delta$ 关系，$\delta\uparrow$，保险人风险承担升高，赔付形态由止损转两层。

- 图4 保险人风险测度值随 $\delta$ 的变化曲线。

- 图5 再保险人风险测度随 $\delta$ 变化，展示可降风险的最优 $\delta^{}$ 。

- 图6 最优 $\delta^{}$ 随再保险人风险参数 $\beta$ 变化的分布。

- 图7 指数分布下最优赔付与 $\delta$ 关系，展示与Pareto分布异同。

- 图8 指数分布下再保险人最优 $\delta^{}$ 曲线（Power distortion风险测度）。

- 图9 不同期望损失情况下的最优 $\delta^{}$ 与止损免赔率。

- 图10 Power distortion风险测度下的最优 $\delta^{}$ 变化趋势。

金融研究报告详尽分析报告

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一、元数据与报告概览

• 标题：《Performance-based variable premium scheme and reinsurance design》

- 作者：David Landriault, Fangda Liu, Ziyue Shi

• 发布机构及日期：2024年12月3日

- 研究主题：提出并分析一种基于表现的变动保险费方案（variable premium scheme）及其在再保险设计中的应用。

报告核心论点

本报告基于已有文献，尤其是Meyers(1980)和Chen et al.(2016)的工作，提出了一种新的基于损失表现的可变保险费方案。与传统的基于风险度量制定固定费用的保险费原则不同，此方案的费用同时依赖于区分的损失分布和实际实现的损失，因而引入保险期初即随机的保险费。

报告主要关注：

• 对保险人视角下的最优再保险策略的刻画；

- 构建保险人与垄断再保险人之间的Bowley最优博弈模型；

• 数值结果表明，相比于传统的期望值保险费原则，变动费方案可有效降低再保险人的整体风险暴露。

关键词覆盖了：变量保险费方案、再保险定价、扭曲风险度量、最优再保险策略和Bowley最优解。[page::0,1,2]

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二、逐节深度解读

2.1 引言（Introduction）

报告首先回顾了再保险设计领域的背景和研究现状，引用Borch（1960）关于方差最小化的最优再保险开创性模型，随后列举了各种对定价规则（premium principles）的研究进展，如线性定价、均值方差定价、Choquet定价准则和凸保险费原则等，强调绝大多数文献均将保险费视为一个关于转移损失分布的固定风险度量。

然而，报告指出实际保险领域存在如“回溯计费”（retrospective rating）等动态计费方法，它既依赖预期损失分布，也依赖于真实实现损失，有效激励投保人风险管理，但理论研究中对此类随机保险费的探讨仍较少，部分原因在于其模型的复杂性与保险费随机性的引入。

相关文献包括Mahler(1998)关于错误估算的批判，Meyers(1980)改良基本保费计算公式，以及Chen et al.(2016)探究在凸排序意义下的最优回溯计费方案，后者结果显示保险人在期望值保险费原则下更偏好此类政策。报告强调，回溯计费的核心特征是保险费于保单签订时为随机变量，实际金额在保单期末方得知，这与其他固定保险费用的传统原则显著不同。[page::1]

2.2 新的奖惩型变量保险费方案（Reward-and-penalty variable premium scheme）

受到回溯计费方案的启发，报告提出了“reward-and-penalty”变量保险费方案：

• 保险费在保单开始时即为随机变量，由基准保费+基于实际实现损失对基准的调整构成；

- 基准保费采用期望值原则计算为 $(1+\theta0)\mathbb{E}[Y]$，其中$\theta0$为风险加载系数；

• 若实际损失低于其期望值，投保人享受保费折扣（reward）；反之，高于期望则保费被加罚（penalty）；

- 变动幅度由$\delta\in[0,1]$控制，限定保费的线性调整区间，避免过度的低价或高价，通过两个风险加载$\theta1\leq\theta0\leq\theta2$设定保险费的下上界；

• 定义了保险费的数学表达形式，归纳为一个夹逼型函数（最大值取上界与最小值取下界）。

报告强调该方案不仅体现了保险人与再保险人之间的利益关联，也可能激励保险人自我风险控制，从而降低再保险人风险暴露，同时引入了保险费的额外随机性，增加了分析难度。[page::2,4,5]

2.3 变量保险费方案的性质

以命题2.1明确该方案的性质，包括：

• 保险费分布仅依赖于转移损失分布；

- 保险费不低于损失期望值，体现风险加价原则；

• 在某些条件下保险费不会超过损失的本质上确界，避免高于最大可能损失的保费；

- 保费的齐次性（标度一致，即放大损失放大保费）；

• 保费保持一阶随机占优，不劣于转移损失；

- 保险费及保留损失函数具有连续性、递增性，且相关随机变量共单调，保障道德风险控制。

报告通过以上性质证明了变量保费方案在保险定价中良好且合理的数学特征。[page::6,7]

3. 保险人的最优再保险策略（Insurer’s optimal reinsurance strategy）

3.1 具备一般风险度量的优化框架

• 设保险人目标为最小化自身保留风险和保险费之合的风险度量$\rho$；

- 对于满足法则不变性（law-invariance）和凸顺序保持（convex order preserving）的风险度量，将高维无限的优化空间简化为有限参数的三层再保险策略集 $S3$ ；

• 定理3.1进一步缩小到两类具体的两层保险策略集$\tilde{\mathcal{I}} = \mathcal{I}1 \cup \mathcal{I}2$ ，显著简化问题，使优化更具可解性。

该部分论证有助于后续数值计算与理论分析，保证最优策略具有可操作的结构。[page::9,10,11]

3.2 采用扭曲风险度量（distortion risk measure）

• 重点研究扭曲风险度量族，包括VaR和TVaR；

- 引用已知理论，解析当风险度量为凹扭曲函数时（即风险度量凸排序一致，符合风险度量理论），优化问题表现良好，符合令人青睐的风险特征；

• 定理3.2揭示，在这种风险度量下，最优策略集中于$\mathcal{I}1$类两层赔付形式；

- 通过导数条件和隐函数定理，进一步研究最优罢工点（stop-loss）的位置和结构。[page::11,12]

3.3 以TVaR为例子的闭式求解与数值示范

• 提出专门为TVaR风险度量设计的最优再保险解；

- 定义关键参数 $dI, uI$ 并以隐式方程给出最优参数；

• 举例假设损失为指数分布，展示最优赔偿函数随保费变动参数$\delta$调节呈现止损或两层结构；

- 图2直观显示赔偿方案如何随预期赔付金额变化而调整云跃；

• 结果表明指数分布下的最优再保险结构可精确用该模型描述。[page::13,14,15,16]

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三、图表深度解读

图1（第10页）

• 显示两类赔付函数的结构：

- (a) $\mathcal{I}1$型：两个叠加的截断型函数，形成三段分区赔付。
- (b) $\mathcal{I}2$型：结构类似但宽度不同。

• 这些形状反映报告对最优策略的理论限制，强调了赔付函数可用少数参数描述。

图2（第16页）

• 为指数分布场景下，最优赔付函数不同参数$a$和$\delta$值对应的赔付曲线；

- 显示当$\bar{d}1 < \tilde{d}$时表现为两层赔付，反之为单层止损；

• 图中灰色区域直观表明保险人转移的风险区间，反映变动保费如何影响最优赔付的层次划分。

图3（第20页）

• Pareto分布下保险人对保费调节系数$\delta$的敏感性：

- (a)和(b)分别为不同风险加载参数组合下，随$\delta$改变的最优赔付截点变化；
- 阴影表示风险转移区间，随$\delta$变化控制赔付额度。

图4（第20页）

• 保险人风险值函数（TVaR）随 $\delta$ 递增关系显示保险人倾向于较小的$\delta$（固定保费）以降低风险；

- 这从侧面说明保险人更偏好稳定的保费结构。

图5（第21页）

• 再保险人风险值（TVaR）随 $\delta$ 变化趋势，及最优$\delta^$的位置标注。

- 展示了变动保费对于再保险人风险管理的积极影响，有时最优$\delta^$唯一，有时非唯一。

图6（第21页）

• 再保险人风险偏好参数$\beta$与最优$\delta^$的关系；

- $\delta^$随$\beta$先升后降，强调再保险人风险厌恶度会影响其对变量保费方案的偏好。

图7（第22页）

• 指数分布下最优赔付随$\delta$变化，显示类似于Pareto分布，但整体趋向更保守（风险转移较少）。

图8（第23页）

• 指数分布情况下，再保险人风险偏好$\beta$对最优$\delta^$的影响，$\delta^$随$\beta$单调下降。

图9（第23页）

• (a) 不同期望损失水平$\mathbb{E}[X]$下最优$\delta^$变化；

- (b) 最优赔付止损点随$\mathbb{E}[X]$变化；

• 结果强调尾部风险显著影响再保险人与保险人的合同设计策略。

图10（第24页）

• 当保险人和再保险人使用幂扭曲风险度量时，最优$\delta^$与风险厌恶参数$\beta$的关系；

- 批注显示高风险厌恶的再保险人更倾向于利用变量保费方案控制风险，而趋近于风险中性$\delta^$趋于0。

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四、估值分析

报告中的估值主要体现在保险费方案的构造与风险度量分析：

• 使用期望值保险费原则为基准估值；

- 风险加载$\thetai$体现了再保险人的风险厌恶，决定了基础及上下限保费水平；

• 参数$\delta$控制保费的变动率，体现风险表现的敏感程度；

- 通过引入风险测度如扭曲风险度量（包括TVaR、VaR）、幂扭曲风险度量，模型融合风险评估与保险费估值；

• 保险人与再保险人的风险度量不同，构成博弈框架下的估值互赖；

- 本质上，保险费估值依赖于损失分布函数及其期望，结合风险加载与表现情况进行动态调整。

通过数值实验，报告揭示最优$\delta$与风险参数的依存关系，实现了保险费方案参数的敏感性分析及估值优化。

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五、风险因素评估

报告涉及风险因子主要包括：

• 保险费的随机性：引入变量保费增加了保险人及再保险人的风险变异，保费不再为固定值而是依赖已实现损失；

- 道德风险：通过“no-sabotage”条件和共单调性保证，设计避免保险人通过操纵赔付来影响保费，在赔付函数设计上体现约束；

• 保险人与再保险人利益冲突：保费与赔付设计影响双方风险暴露与激励，需通过Bowley最优解达成均衡；

- 参数设定风险：诸如$\delta$及风险加载$\thetai$的选取对双方风险度量有直接影响，错误参数可能导致风险放大；

• 损失分布假设：对损失分布（如指数或Pareto）形态的假定，直接影响最优呈现及风险估计，分布尾部厚度尤其关键；

- 模型假设的数学性质：选择满足凸顺序保持及法则不变性的风险测度，保证理论结果有效，偏差可能使结果失真。

报告对以上风险因素均予以了详细数学处理与风险管理机制的设计建议，尤其在Bowley最优框架下达成风险兼顾的再保险规划。

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六、批判性视角与细微差别

• 模型假设的理想化：报告采用完美信息假设和完全市场垄断（单一再保险人）假设，现实中市场信息不对称及多竞争者存在，可能降低模型适用性；

- 损失分布的限制：实际保险损失分布可能更复杂，异质性强，模型基于统计分布近似，但尾部风险可能难以充分捕捉；

• 计算复杂性：尽管参数化策略简化了模型，但求解最优$\delta$和赔付函数仍依赖数值方法，缺少解析解的严格性质保证；

- 风险度量的一般性问题：重点聚焦于扭曲风险度量系列，但部分实际保险人或再保险人可能采用不同风险偏好模型，影响策略的普适性；

• 对保险人与再保险人博弈关系的简化：Bowley最优解构建涵盖领导-跟随关系，但未明确考虑重复博弈、合同履约风险和其他现实激励问题。

报告整体严谨，基于理论和数值均较为充分，但依然需注意实际推广可能受到上述因素限制，后续可结合市场数据进行验证与模型扩展。

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七、结论性综合

本报告创新性地提出并系统分析了“奖惩型变量保险费方案”，首次从数学与风险管理角度将保费随机性引入再保险最优设计，具有以下关键发现：

• 变量保费方案结构明晰，性质优良：满足风险测量的法则不变、凸顺序保持及风险加载的稳健性，实现保险人与再保险人风险暴露的动态调节；

- 最优再保险策略显著简化：通过缩小策略空间至参数化的两层赔付函数，结合扭曲风险度量，理论上可有效求解最优方案；

• 通过数值实验具体展示方案优势和风险调节机制：Pareto及指数损失下策略结构清晰，变量保费调节参数$\delta$对双方风险控制及赔付结构具有重要影响；

- Bowley最优博弈框架成功捕捉双方利益权衡：保险人与再保险人各自通过风险度量优化目标竞争，变量保费策略可降低再保险人风险暴露，且存在最优$\delta^$使双方利益均衡；

• 图表分析深入刻画了赔付函数形态、风险偏好参数及变量保费对策略的显著影响，结合理论提供了实证意义和操作指南。

报告最终认可变动保险费方案作为再保险设计的有效创新，能在保障风险管理效用与激励机制方面超越传统定价理念，为保险业风险分割提供新思路。

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重要图表索引

| 图号 | 内容描述 | 关键洞见 |
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| 图1 (页10) | 州层赔付函数$\mathcal{I}1$与$\mathcal{I}2$结构示意 | 凸显最优解可参数化，降维优化 |
| 图2 (页16) | 指数分布下最优赔付函数不同情形 | 两层结构与止损结构切换阈值 |
| 图3 (页20) | Pareto损失不同$\delta$最优赔付截点 | $\delta$增大保费变动加强，留存风险增加 |
| 图4 (页20) | 保险人风险值随$\delta$变化 | 保险人倾向固定保费，避免额外风险 |
| 图5 (页21) | 再保险人风险值随$\delta$变化 | 存在最优$\delta^$有效降低风险 |
| 图6 (页21) | 最优$\delta^$随风险厌恶度$\beta$变化 | 存在风险偏好调节机制 |
| 图7 (页22) | 指数分布下最优赔付随$\delta$变化 | 保守策略占优，留存较多风险 |
| 图8 (页23) | 指数分布再保险人风险与$\delta^$关系 | 风险厌恶度与保费变动的反比关系 |
| 图9 (页23) | 期望损失$\mathbb{E}[X]$对最优$\delta^$及止损点影响 | 损失期望及尾部厚度显著影响策略 |
| 图10 (页24) | 幂扭曲风险度量下$\delta^*$与风险厌恶度关系 | 风险厌恶降低变量保费必要性 |

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总结

本研究系统提出并分析了基于表现的变量保险费方案，理论合理、架构完善，结合损失分布与风险度量构建了创新的再保险博弈框架。通过解析与数值示范，证明该方案在风险调节和激励设计领域的优越性。尽管受限于部分理想假设及参数设定，仍为保险再保险领域提供了重要理论基础和实践参考价值。

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（全文引用页码已在各章节后注明）

报告