研究背景与动机 [page::0][page::1]

• Markowitz（1952）提出基于协方差矩阵的组合方差表达，成为现代投资组合理论基石。

- 文献沿用至今，但忽视了实际交易量随机波动。

• 本文重新审视组合方差，纳入随机交易量影响，提出更准确的组合风险度量方法。

组合交易时间序列转换为单一市场证券表现 [page::3][page::4][page::5]

• 投资者持有固定组合，不交易。

- 利用各证券市场交易时间序列，将其归一化交易量、交易价值转化为该组合作为单一证券的交易时间序列。

• 该转换保障组合交易量总和与组合持股总数一致，呈现组合作为单一证券的价格和成交量动态。

市场基组合收益率及方差的计算方法 [page::6][page::7][page::8][page::9]

• 平均价格和收益定义为成交量加权平均价格（VWAP）和成交量加权收益率。

- 组合方差表达式基于单一证券价格与交易量时间序列，明确反映随机交易量的影响。

• 面对交易量不变时，组合收益率及方差退化为传统的时间均值形式。

- 交易量随机性引入高次非线性项，呈现复杂的风险暴露机制。

组合方差分解与随机交易量影响 [page::10][page::11][page::15]

• 基于证券交易量与价值的协方差，组合价格和收益方差均分解为高阶多项式，最高到四次项。

- 交易量恒定时，分解式简化为Markowitz的二次型。

• 随机交易量导致组合风险更复杂，影响组合最优配置策略。

Markowitz模型隐含假设及其局限 [page::12][page::13][page::14]

• 分析指出Markowitz隐含假设随机收益可线性拆分，忽略了交易量的不确定性。

- 交易量随机性引发的额外项显著影响组合方差计算。

• 本文公式更贴近真实市场交易事实，能为大型资产管理平台如BlackRock、JP Morgan及宏观监管机构提供更准确模型。

实务应用与未来挑战 [page::15][page::29]

• 提示目前主流组合优化方法对随机交易量的忽视存在偏差。

- 量化分析及资产管理需考虑交易量波动，提升风险度量与回测可靠性。

• 预测交易价值与交易量时间序列成为未来组合风险管理的关键难点。

理论推导及附录总结 [page::16-27]

• 全面推导交易量随机性对价格均值、方差及收益协方差的影响。

- 数学细节分布于附录A-D，详述市场基与频率基统计矩的差异。

• 市场基方法强调交易量权重，对大规模投资组合尤为重要。

金融研究报告详尽分析：《Market-Based Portfolio Variance》

作者：Victor Olkhov，2025年6月20日，莫斯科独立研究者

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1. 元数据与概览

• 报告标题: Market-Based Portfolio Variance

- 作者: Victor Olkhov

• 发布机构与地点: 独立研究者，莫斯科，俄罗斯

- 发布日期: 2025年6月20日

• 核心主题: 对投资组合方差的市场基础的重构与分析，挑战传统Markowitz（1952年）投资组合方差的经典表达，提出市场交易量随机性的影响和新的数学表达形式。

- 摘要核心观点: 作者提出，基于市场交易的时间序列，投资者可以用持有的证券成交数据计算投资组合的当前方差。报告构建了将分散证券交易时间序列转换为单一投资组合证券交易时间序列的解析模型。该模型既解释了均值收益计算，同时详细分析了投资组合方差的分解，指出Markowitz表达式隐含了交易量常数的假设，且未考虑交易量的随机性。考虑交易量随机性的投资组合方差反映为相对投资比例的4次多项式，比传统的二次形式复杂，作者强调这一新颖表述对资产管理和宏观金融模型意义深远，建议如BlackRock、JP Morgan等机构调整其模型以适应现实市场随机性的特征。[page::0]

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（第1页）

• 关键论点总结:

Markowitz（1952年）奠基性的投资组合方差表达为投资比例的二次型，系数为证券收益率的协方差矩阵元素。正是这一定义奠定了均值-方差优化的基础。作者回顾相关文献，指出自1952年以来表达式未被实质修改。作者质疑该经典表达式适用性，指出其本质上隐含了交易量恒定的假设。实证观察显示证券交易量在任何合理时间窗口内均表现随机性，据此提出市场基础投资组合方差的新表达，交易量随机性改变了方差结构，将其转变为投资权重的4次多项式，明显区别传统的二次型表达。[page::1]

• 推理依据:

传统理论基于证券收益的协方差假定投资比例固定且交易量恒定，这一状况在现实交易系统中并不常见。作者准备从市场交易的时间序列出发，推导实际存在随机交易量情况下的投资组合收益及其方差定义。

• 关键数据点和数学表达:

- 组合均值收益表达：
$$ R(t,t{0}) = \sum{j=1}^J Rj(t,t0) Xj(t0) $$
- 投资组合方差：
$$ \Theta(t,t0) = \sum{j,k=1}^J \theta{jk}(t,t0) Xj(t0) Xk(t0) $$
其中$\theta{jk}$为证券收益协方差。[page::1]

2.2 文献区分与研究框架（第2页）

• 关键论点总结:

作者说明其研究与已有的交易量文献（Karpoff 1986等）主题不同，主旨非探讨交易量本身，而是交易量随机性对投资组合方差的影响和表达。报告不直接解决投资组合选择的复杂性，仅着重明确市场现实状况下方差表达的结构变化。

• 章节安排概览:

- 第2节：投资组合的初始构成，以及如何将个股交易时间序列转换成单一投资组合证券的交易时间序列。
- 第3节：基于交易时间序列推导证券和投资组合的收益与方差。
- 第4节：投资组合方差按证券分解，揭示4次多项式结构及其与Markowitz表达的关系。
- 第5节：提出Markowitz表达的隐性假设及其经济解释。
- 第6节：总结。[page::2]

2.3 投资组合建模与交易时间序列（第3-5页）

• 关键内容总结:

投资组合在过去时刻$t0$建立，持股数量$Uj(t0)$固定不变。投资者观察区间$\Delta$内证券交易的成交价格$pj(ti)$、成交量$Uj(ti)$和成交价值$Cj(ti) = pj(ti) Uj(ti)$时间序列，通过对该时间段内实际交易数据分析，计算投资组合对应的价格和成交量统计特征。

• 核心定义与转换:

- 投资组合的总市值及总持股量分别为$Q\Sigma(t0), W\Sigma(t0)$。
- 投资组合单价为加权价格$ s(t0) = \sumj pj(t0) xj(t0) $，其中 $ xj(t0) = \frac{Uj(t0)}{W\Sigma(t0)}$ 表示证券$j$占投资组合份额。
- 为了将个股交易时间序列合成投资组合交易序列，制定归一化比例系数$\lambdaj = \frac{Uj(t0)}{U{\Sigma j}(t)}$，对个股成交价值和成交量做归一化，保证组合交易份额与投资者持股严格对应（即各证券归一化交易量求和为持股数量）。
- 归一化后，定义投资组合成交价值$Q(ti) = \sumj cj(ti)$和成交量$W(ti)=\sumj uj(ti)$。计算得到的$W\Sigma(t)$为固定值，等于投资组合持股数量总和，符合持股不变前提。[page::3-5]

• 交易时间序列统计稳定性:

投资组合返回、方差的时序评估依赖于选定区间$\Delta$的长度，应足够长以保证成交量统计的稳定，且组合持股数目在当期交易总量中占比较小，避免因组合买卖单对市场产生显著冲击。

• 逻辑与经济假设:

通过此转换，将多头证券对应的有差异的、随机成交量个股序列，转换为“投资组合单一证券”成交数据，便于定义组合均值、方差等统计指标。

2.4 投资组合的市场基础收益和方差（第6-9页）

• 投资组合的均价与均值收益定义:

利用成交价格和成交量的VWAP计算投资组合均价$pj(t)$和均价对应收益$Rj(t,t0)$，均值收益为对应成交价值加权平均（value-weighted average return, VaWAR）：
$$ Rj(t,t0) = \frac{pj(t)}{pj(t0)} = \frac{1}{U{\Sigma j}(t)} \sum{i=1}^N Rj(ti,t0) Uj(ti) $$
同理，组合收益$R(t,t0)$与方差定义形式一致，只是替换为组合成交均价与成交量，成交量随机性被直接考虑。[page::6-9]

• 方差推导:

组合价格与收益的市场基础方差$\Phi(t)$和$\Theta(t,t0)$通过成交价值和成交量的交易统计矩阵表示，包含交易量的随机性指标。体现为包含成交价值方差、成交量方差以及两者协方差的表达，消除了传统假设的恒定成交量限制。

• 频率基础与市场基础的区别:

频率基础表达把所有成交量视为常数，放弃了市场实际的成交量随机性。市场基础表达则配合成交量时序权重，保证了统计量对量价双向波动的敏感度。

• 逻辑贡献:

- 该推导使得投资组合收益、方差的合理度量基于真实市场的成交量波动，而非理想化的固定交易量假设。
- 对大型复杂投资组合而言，忽略交易量随机性将导致估计误差，影响风险管理和资产配置决策。[page::6-9]

2.5 投资组合方差的分解与4次多项式结构（第10-12页）

• 方差分解:

组合价格和收益方差可按组合成分证券分解，表达式非Markowitz二次型而是相对投资权重$Xj(t0)$的四次多项式，形式为：

$$
\Theta(t,t0) = \frac{1}{1+\chi^2(t)} \left[
\sum{j,k} \psi{jk}(t) Rj Rk Xj Xk
- 2\sum{j,k,l} \varphi{jk}(t) Rj Rl Xj Xk Xl
+ \sum{j,k,l,f} \chi{jk}(t) Rl Rf Xj Xk Xl Xf
\right]
$$

其中，$\psi{jk}, \varphi{jk}, \chi{jk}$分别是成交价值、成交量及其协方差的归一化指标，均基于市场交易时序计算。

• 与Markowitz表达式比较:

传统表达为二次型矩阵乘积形式，仅考虑收益协方差矩阵，对交易量假设为常数；新表达揭示随机交易量引入更高次非线性项，影响风险结构及最优投资比例的求解复杂度，提示优化范式应更新。[page::10-12]

2.6 假设与Markowitz方差表达式的起源（第12-14页）

• 假设梳理:

作者指出，Markowitz隐含假设是：投资组合实时随机收益为成分证券随机收益的线性组合，权重为初始投资比例，即：
$$ R(ti, t0) = \sumj Rj(ti,t0) Xj(t0) $$
这一假设在交易量随机性存在时不成立，增长的非线性项和额外的协方差因素会显著修正方差表达。

• 数学推导:

详细表达随机交易量对$R(ti,t0)$的修正，定义交易量波动指标$\delta Wj(ti,t0)$，将组合收益的随机波动分解为证券收益波动和成交量波动共同作用，方差由此产生额外项。[page::12-14]

• 结论:

Markowitz表达的有效性仅限于交易量恒定近似，现实市场中交易量随机性不可忽视。

2.7 总结（第14-15页）

• 总结要点:

- 投资者不交易持仓时，市场交易数据的时间序列可视作组合证券的交易数据，支持投资组合收益和风险的市场基础估计。
- 交易量的随机性使得投资组合方差成为4次多项式，显著不同于Markowitz二次型表达。
- 现有组合选择方法依赖经典方差表达，忽视随机交易量，适用范围有限。
- 新的方差表达使得投资组合风险预测复杂化，需要更精细的交易量预测模型。
- 作者未在本文深入探讨新方差表达下的组合选择策略，但明确指出未来研究方向及对主要量化平台和机构模型的影响。 [page::14-15]

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3. 图表深度解读

本报告为理论与数学推导为主，未包含图形或表格插图，所有关键论述均以公式表达和附录详细的数学演绎支撑。以下重点分析关键公式构成数据与趋势解读：

• 公式（1.1）与（1.2）：经典Markowitz模型中，投资组合收益是证券收益的线性加权和，方差是协方差矩阵的二次型。局限性在于假设交易量恒定。
• 公式（2.10-2.13）：基于实际市场交易，将证券归一化成交价值及成交量合成为投资组合的成交数据，连接证券交易数据与组合交易数据。
• 公式（3.19-3.22）：投资组合的市场基础均价、均值收益、价格方差、收益方差定义，形式上与个别证券同构，但显式考虑成交量随机性。
• 公式（4.9）：多项式式的组合方差分解，展示交易量随机性引入更复杂的风险依赖结构。
• 公式（5.3-5.13）：随机交易量对即时组合收益波动的修正表达，数学说明为何Markowitz隐性假设失效。
• 附录（A-D）：详尽给出市场基础均价、方差、协方差的推导，特别区分市场基础与传统频率基础的数学期望，强调后者对成交量的固定假设导致的估计偏误。

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4. 估值分析

本报告非典型估值研究，未直接涉及公司估值或证券价格评估，而是针对投资组合方差的统计量估计表达。估值分析体现在：

• 均价（VWAP）加权与市场基础统计量计算的详细阐释，相较于传统仅基于价格时间序列的估值，纳入交易量权重，提升估值的正确性。
• 风险度量（方差）的重推导，将交易量随机性纳入估计体系，增加了方差的计算复杂度与准确性。
• 对投资组合优化模型影响的指引，表示经典Markowitz模型实际基于对市场交易量的隐式恒定假设，遗留隐患，需改进估值框架以提高投资组合风险预测与定价的现实准确度。

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5. 风险因素评估

• 风险因素:

- 随机交易量风险：证券个别成交量的不确定性破坏了收益率的简单线性组合假设，导致投资组合方差结构复杂，风险被低估。
- 时间区间选择风险：平均化时间窗口太短导致交易数据不稳定，太长则历史数据失效，对组合收益方差评估有扰动。
- 模型假设风险：默认投资者不交易，组合构成固定，现实中动态变动可能导致模型适用偏差。
- 市场干扰风险：若平均区间内组合成交量占市场成交比重大，单个交易行为影响市场状态，违背模型无扰动假设。

• 缓解策略指引:

选择合适的时间窗口，确保组合成交量占市场比例较小；调整经典模型，引入随机交易量影响；结合高频市场数据进行动态风险评估。[page::3-5]

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6. 审慎视角与细微差别

• 潜在偏见与假设局限:

- 报告基于投资者持仓固定且不交易的假设，现实投资者频繁调仓，交易行为本身引发市场多变性，模型外推需谨慎。
- 隐含假设投资组合证券交易时间完全同步，及成交时间间隔$\varepsilon$一致，实际市场交易分布极为异质，可能影响统计稳健性。
- 未深入探讨如何根据复杂的4次多项式方差结构进行有效的组合风险优化，实际应用中计算复杂度和模型稳定性是挑战。
- 未考虑市场微结构因素和交易成本等现实限制，对高频交易环境下模型适用性的影响。

• 内部一致性及贡献:

报告逻辑自洽，逐步由市场交易数据基础出发推导投资组合统计量，充分利用高维随机变量的协方差结构，具备理论和实际意义。对既有Markowitz理论的限制提供实证基础与数学解释，推动投资组合理论向更现实市场动态过渡。

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7. 结论性综合

本报告围绕投资组合方差展开，核心贡献在于揭示和数学刻画了经典Markowitz投资组合方差表达的隐性假设——即所有交易量恒定不变。通过将市场上证券的随机交易量引入风险估计框架，作者推导出一个形如投资权重4次多项式的复杂投资组合方差表达式，显著区别于传统的二次型形式。该表达式：

• 完美地将投资组合视为单个市场证券的交易时间序列加权组合，统一了投资组合与单一证券的收益与风险统计描述。

- 明确阐明，真实市场交易量的不确定性对组合风险的影响不可忽视，传统方法在忽略这一点时存在系统误差。

• 重塑投资组合风险和收益的基本计算规则，为量化资产管理、宏观金融模型开发（如BlackRock的Aladdin、JP Morgan甚至美联储的模型）提出必须理论升级。

- 提醒投资管理实践中，投资周期和均值方差统计的时间选择需确保组合交易量相较总体市场交易量低，以保证统计估计的准确性。

附录部分详尽推导了市场基础的均价、均值收益、方差、协方差计算框架，强调“市场基础数学期望”区别于传统“频率基础”统计平均，运用成交量加权带来更真实的风险度量。

总体看，报告为资产组合理论提供了重要的现实修正和数学深化，具有突破传统模型假设的理论创新及实践参考价值。报告没有具体数值案例或图表，但其数学表达严密，结构完整，有助于行业内金融建模者理解交易量随机性带来的风险影响，并推动新一代风险管理模型的研发。

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参考引证: 本分析严格依据报告内容，引用段落页码详见每节结尾处溯源标识。

报告