Kelly 公式基本原理与推导 [page::1][page::2]

• Kelly公式源于贝尔实验室1956年论文，旨在最大化资本几何增长率，通过资金分配比例f的优化，实现资本最大化增长且避免破产。

- 单只标的收益简化为贝努利分布，根据胜率、盈亏比计算最优投资比例f及最大几何增长率G(f)。

各行业Kelly指标及理论有效性验证 [page::3]

| 行业 | 胜率 | 上涨幅度 | 下跌幅度 | Kelly比例 | 预期几何增长率 | 实际几何增长率 | 差值 |
|----------------|---------|----------|----------|-----------|---------------|---------------|--------|
| 医药生物 (申万) | 58.17% | 3.40% | -3.61% | 13.83% | 0.91% | 0.41% | 0.50% |
| 家用电器 (申万) | 55.12% | 3.75% | -3.60% | 12.01% | 0.75% | 0.38% | 0.37% |
| 信息设备 (申万) | 56.79% | 3.57% | -3.95% | 8.88% | 0.36% | 0.25% | 0.11% |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |

• 预期的几何增长率均高于实际复合回报率，表明Kelly公式的理论有效性。

投资比例与几何增长率的抛物线关系及敏感性分析 [page::4]

• 投资比例超过Kelly准则点后，复合收益率下降且波动率加大，说明过度投资带来双重风险。

- 医药生物行业投资比例13.8%为最佳。

Kelly策略实证效果：一级行业配置 [page::4][page::5]

| 统计指标 | 数值 |
|--------------|------------|
| 财富终值 | 1.38 |
| 交易胜率 | 71.70% |
| 年化收益率 | 37.47% |
| 年化波动率 | 12.25% |
| 夏普比率 | 2.42 |
| 最大回撤 | 4.96% |

• Kelly策略过去一年跑赢沪深300超30%，风险控制良好。

Kelly策略实证效果：二级行业配置 [page::5]

| 统计指标 | 数值 |
|--------------|------------|
| 财富终值 | 1.55 |
| 交易胜率 | 76.47% |
| 年化收益率 | 56.73% |
| 年化波动率 | 16.43% |
| 夏普比率 | 2.64 |
| 最大回撤 | 8.98% |

• Kelly策略在二级行业中跑赢沪深300超50%，绩效优于一级行业配置。

未来研究方向展望 [page::6]

• 精确预测股票概率分布及联合分布，提升Kelly策略表现。

- 深入比较Markowitz均值方差组合与Kelly准则的优缺点。

• 探讨Kelly公式的演变、改进及更广泛应用场景。

- 扩展至基金股票投资组合及资产分配应用。

金融工程报告分析：Kelly 公式在行业配置中的应用（一）

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1. 元数据与报告概览

报告标题：Kelly 公式在行业配置中的应用一 ——数量化专题之三十八
作者及联系方式：刘富兵（主分析师）及团队多位分析师与研究助理，均为国泰君安证券资深分析师或助理，拥有证券从业资格，确保研究的专业性与合规性。
发布机构：国泰君安证券股份有限公司证券研究部
核心主题：将 Kelly 公式应用于股票市场的行业配置，具体以申万一级和二级行业为标的，探索其在资产配置中的有效性。
核心论点与结论：报告指出，Kelly 公式自1956年诞生以来，在赌博、跑马、期货、股票投资领域广泛应用且取得显著实战效果。利用Kelly公式进行行业配置的实证结果显示：一级行业策略年化超额收益超过30%，胜率70%以上，夏普比率高达2.4；二级行业表现更佳，年化超额收益超过50%，同样胜率超过70%，夏普比率达到2.6。报告定位这是Kelly理论在行业配置中应用的初步探索，后续还将进一步深耕该领域。[page::0] [page::6]

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2. 逐节深度解读

2.1 Kelly 公式背景

Kelly 公式由J.L. Kelly于1956年提出，核心思想基于信息论和概率论，用于确定在重复性概率游戏中最优投注比例，使资本的几何增长率最大化且不至于破产。报告中详细介绍了Kelly公式的诞生背景、学界争议、实务派拥护（如香农、Thorp）的案例，强调多位投资界传奇人物应用该公式所获成功，如香农1986年实现28%年化复合收益，超过巴菲特同期业绩。此外，还引述了投资专家对巴菲特可能秘密应用Kelly策略的猜测，增强了该策略的现实参考价值。[page::1]

2.2 Kelly 公式推导

报告给出了Kelly公式的数学定义及推导过程：

• 定义几何增长率 \( G = \lim{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln\left(\frac{XN}{X0}\right) \)。

- 设下注比例为 \( f \)，在伯努利胜负模型中，胜率为 \( p \)，输的概率为 \( q=1-p \)，财富增长为 \( XN = X_0 (1+f)^W(1-f)^L \)。

• 快速求导得出公式最优下注比例：\( f^ = 2p - 1 \)。

- 对应的最大几何增长率为 \( G(f^) = p \ln p + q \ln q + \ln 2 \)。

该推导简洁明了地说明如何根据胜率计算最优资金分配比例，是Kelly策略的理论基石。[page::1,2]

2.3 Kelly 公式在单只标的中的应用

报告将单只股票的收益简化为伯努利分布，即上涨概率\( p \)、下跌概率 \( q \)、盈亏比为\( W/L \)。在此基础上计算最优投资比例:

\[
f^ = \frac{p W L - q}{W L}
\]

及其对应的几何增长率，

并利用申万23个一级行业2007年至今的统计数据，估算了各行业的胜率、盈亏比及基于Kelly公式计算的理想投资比例和预期几何增长率。结果显示，预期几何增长率均高于实际历史复合增长率，验证了Kelly理论的理论有效性。详见表1。[page::2,3]

表1内容亮点：

• 医药生物行业胜率达58.17%，盈亏比3.40%/3.61%，对应Kelly比例高达13.83%，预期复合增长率0.91%，显著优于实际0.41%。

- 多数行业Kelly比例在3%-12%之间，预期几何增长率均超实际值，显示Kelly策略提供的配置比例具有指导意义。

2.4 Kelly 公式在行业配置中的应用

报告分析投资比例与预期几何复合增长率的关系，呈抛物线形态：

• 投资比例未达到Kelly比例时，复合回报率呈抛物线上升态势；

- 当超过Kelly比例后，复合收益反而下降，波动率变大，表现为双输局面。

医药生物行业的例子（Kelly比例13.8%）清晰展示了超过该比例后增长率敏感下降趋势（图1）。

基于此，团队构建了 Kelly策略的最优投资组合，将行业配置问题转化为线性约束优化问题，约束投资比例不超过各资产Kelly投资比例，确保组合资本增长率最大化。

4.1 一级行业应用效果

• 以申万一级行业周数据测试，Kelly策略在过去一年内表现突出：

- 年化跑赢沪深300指数超过30%
- 胜率超过70%
- 最大回撤控制在5%以内
- 夏普比率高达2.4

图2显示Kelly策略净值曲线逐渐超越沪深300，累计超额收益稳定增长，体现策略稳定性和收益能力。[page::4,5]

4.2 二级行业应用效果

• Kelly策略应用于二级行业配置，效果更为显著：

- 年化跑赢沪深300超过50%
- 胜率提升至76.47%
- 最大回撤略增至8.98%
- 夏普比率提升至2.64

图3展示更优的净值增速和超额收益积累，表3详细统计验证二级行业策略的优异表现和风险收益特性。[page::5]

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3. 图表深度解读

3.1 表1：各行业Kelly比例及预期几何增长率

该表列明23个申万一级行业的胜率、上涨涨幅、下跌跌幅、Kelly投资比例、预期和实际的几何增长率及其差值。

• 核心发现：所有行业预期增长率均高于实际复合回报率，体现Kelly策略在理论上的有效性；

- 投资比例分布范围约0%-14%，显示Kelly策略明确了“最优”行业权重区间，提高资金配置效率；

• 通过盈亏比和胜率细致分析行业特性，彰显该模型的实证深度。

3.2 图1：预期几何增长率相对投资比例的敏感性

图形展示单一行业（医药生物）投资比例变化与几何增长率之间的关系，呈现明确的抛物线峰值，峰顶即Kelly比例（13.8%），证明超过该投资比例后收益快速下降，提示资金配置的临界点和风险拐点。

3.3 图2：Kelly策略 vs 沪深300（一级行业）

净值曲线图显示Kelly策略净值稳步上升且超过沪深300，累计超额收益曲线显著正向攀升，印证统计数据中的高胜率和夏普比率。

3.4 表2：一级行业Kelly策略统计指标

• 财富终值1.38，意味着策略的资本增长显著；

- 交易胜率71.7%，表明选中的行业配置多数是盈利的；

• 年化收益37.47%，波动率12.25%，夏普比率2.42，显示风险调整后的收益吸引力较高；

- 最大回撤4.96%及VaR -2.70%等风险指标总体处于较低水平，兼顾收益与风险。

3.5 图3和表3（二级行业应用）

图3表现二级行业Kelly策略的超额收益曲线走势更为陡峭，表3数据显示更高财富终值（1.55），更高年化收益率（56.73%），但相应波动率和最大回撤也有所增加，夏普比率2.64说明风险调整收益能力进一步提升，适合风险承受能力较强的投资者。

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4. 估值与模型应用分析

报告中估值分析并非传统股价模型，而是Kelly公式基于胜率和盈亏比推导的最优资金配置比例。其核心是将复杂的资产配置转化为基于概率模型的线性优化问题：

• 优化目标为最大化投资组合的几何平均收益；

- 约束条件包括资金配比总和为1，各资产投资比例不得超过对应Kelly比例；

• 这样避免超配引发的风险和回报下降，强化组合稳健性。

该方法创新性地将概率统计与资产配置结合，适合捕捉资产的长期复合回报特性，区别于均值方差模型的预期收益和风险平衡。未来报告计划深入探讨两者联系与区别。

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5. 风险因素评估

报告未专门列出风险章节，但隐含风险主要有：

• 预测胜率和盈亏比的误差风险：Kelly公式依赖精确概率估计，若行业上涨概率估算偏离，投资比例将失准，可能导致亏损放大。

- 市场波动风险：超过Kelly比例导致波动率增大，复合收益下降，提示资金分配需谨慎控制。

• 行业相关性及联合概率分布复杂性：报告提到未来研究联合概率分布，暗示当前独立假设有限制。

- 模型假设简化单只标的收益为伯努利分布，简化可能带来拟合风险。

风险缓解策略在于限制投资比例不超过Kelly给出的最优区间，并通过线性优化控制整体资金配比，已初步体现风险控制意识。[page::6]

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6. 批判性视角与细微差别

• 模型假设简化：将股票上涨概率简化为独立的伯努利分布，忽视了股票间的相关性和复杂收益分布，这一点作者已意识到并计划未来研究完善，有待实际应用验证。

- 样本选择期限及市场环境依赖性：表1及相关数据基于申万行业2007年至今数据，回测结果难以保证未来环境中持续有效，应警惕市场结构变化对策略表现的影响。

• 风险度量偏向历史统计量：如最大回撤、VaR等，未来可考虑更多极端事件场景模拟，以增强策略稳健性。

- 结果可能存在幸存者偏差和数据拟合风险：报告未详细说明回测中的交易成本、流动性、执行风险等现实因素。

• 尚未全面比较其与传统资产配置模型的优势和劣势，未来报告的重点将是二者的结合与改进。

总体来看，报告自觉局限性，同时展示了Kelly公式行业配置应用的潜力和可操作性。

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7. 结论性综合

本报告系统介绍了Kelly公式的数学基础和投资界经典应用，创新地将其应用于申万一级和二级行业资产配置，成功将复杂的资产配置问题转化为了基于概率论的线性优化问题。

通过对23个行业胜率、盈亏比的系统估计，得出各行业的Kelly最佳投资比例，并结合现实数据进行了回测验证。实证结果显示：

• Kelly策略在一级行业应用中，年化超额收益超过30%，胜率70%以上，最大回撤5%，夏普比率2.4，表现稳健优异；

- 在二级行业中效果更佳，年化超额收益超过50%，胜率76.47%，最大回撤控制在9%以内，夏普提高到2.64，展现了更高收益和风险调整效率；

• 图1抛物线型曲线明确展示投资比例与复合增长率关系，强调不得超配的风险；

- 线性优化方法显著降低模型复杂度，使Kelly策略具备实际可操作性。

此外，报告提出了未来研究方向，重点探索如何精准预测胜率、解决资产间相关性问题、比较Kelly与均值方差模型，并深化其在配置基金和实际投资组合中的应用。

整体而言，该报告基于扎实的金融工程理论和丰富的实证数据，客观反映了Kelly公式在行业配置领域的实践价值，为量化投资提供了新的思路。投资者在采纳时仍需关注模型假设的局限及实际执行风险，建议配合其他量化工具及风险管理手段综合使用。

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图表列表

• 表1：申万23个一级行业Kelly投资比例及预期实际几何增长率对比，验证Kelly模型的理论有效性。[page::3]

- 图1：医药生物行业投资比例与预期几何增长率抛物线型关系，体现超配风险。[page::4]

• 图2及表2：一级行业Kelly策略净值曲线与统计指标，表现优异收益与风险控制。[page::4,5]

- 图3及表3：二级行业Kelly策略净值与统计指标，更高收益与夏普比率，略增波动与回撤。[page::5]

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术语解析

• Kelly 公式：确定最佳投注比例 \(f^\)，使长期资本的几何增长率最大化的数学公式。

- 几何增长率：投资资本复合增长的对数收益平均率，反映长期资金增长速度。

• 盈亏比 (W/L)：赢利时的涨幅与亏损时的跌幅之比，用于评估交易策略性价比。

- 夏普比率：风险调整收益指标，计算单位风险下获得的超额收益。

• 最大回撤：投资组合从峰值到低谷的最大跌幅，衡量潜在最大损失。

- VaR (风险价值) 与 ES (超额损失)：统计风险指标，分别反映在一定置信水平下可能的最大损失和损失的期望值。

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综上所述，国泰君安证券金融工程团队围绕Kelly公式进行了系统理论介绍、实证数据应用及策略构建，首次将该经典赌局资金配置理论成功嫁接于中国股票市场的行业配置领域，获得了显著的超额收益和风险控制效果，构成具有较高实用价值的量化投资模型。未来的跟踪研究将进一步丰富与完善该策略体系，值得投资者持续关注。[page::0-6]

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