研究背景与问题提出 [page::1]

• 现代投资组合理论（MPT）在投资组合权重确定中依赖均值向量和协方差矩阵。

- 传统均值估计方法在小样本及参数动态变化时表现欠佳，致使权重波动性大，样本外夏普比率低。

• 本文聚焦均值向量估计，评估其不同收缩方法对投资组合性能的影响。

- 比较三种估计方法：经典传统估计、Jorion均值收缩和Ortiz多元回归加权最小均方误差收缩方法。

• 强调Ortiz方法将估计与优化结合，通过最小化权重均方误差实现最优收缩 [page::1][page::2].

三种均值向量估计方法解析与理论基础 [page::3][page::4]

• 传统方法：无偏最小方差估计，优点是大样本条件下稳定，缺点是小样本及动态市场中的低适应性。

- Jorion方法：基于James–Stein收缩估计，通过公式确定均值向量向总体均值的收缩程度，最小化估计误差。

• Ortiz方法：结合投资组合优化等价多元回归，收缩协方差矩阵，最小化投资组合权重的均方误差，提升估计稳定性和性能。

- Ortiz方法通过调节收缩参数δ，实现均方误差最小化，显示均方误差随δ变化呈凸函数，存在唯一最优收缩值。

样本外夏普比率实证对比 [page::6][page::7][page::8]

• 多个股票和行业组合数据集上实证验证，比较三种方法与1/n投资策略的样本外夏普比率。

- 结果显示，小样本区间内1/n规则表现突出，但随着样本容量增加，Ortiz方法取得最高夏普比率。

• Jorion方法优于传统方法但不及Ortiz方法，传统方法表现最差。

- 图示：30个工业行业组合样本外夏普比率对比

• 图示：按规模和账面市值排序组合夏普比率趋势

投资组合权重波动性比较及数值分析 [page::9][page::10][page::11][page::12][page::13][page::14]

• Ortiz方法显著降低投资组合权重波动性，权重标准差远低于传统和Jorion方法，意味着更稳健的组合构建。

- 代表数据：30工业行业组合的权重标准差（样本量150个月时）
| 方法 | 平均权重标准差 |
|------------|---------------|
| 传统方法 | 4.77 |
| Ortiz方法 | 0.16 |
| Jorion方法 | 0.73 |

• 对均值向量估计的标准差分析显示Ortiz估计更稳定，波动性比传统方法低约20%-40%。

- 该趋势在不同数据集间均保持一致， Ortiz方法在典型股票组合中均表现最佳。

• 图示：不同方法投资组合权重的标准差变化趋势

结论与启示 [page::15]

• 通过优化投资组合权重的均方误差实现均值向量收缩（Ortiz方法），使现代投资组合理论运行更稳定、有效，样本外表现更优。

- Ortiz方法相比传统估计及Jorion收缩方法，表现出更优的风险调整收益及权重稳定性。

• 该方法体现出同时估计与优化的优势，克服传统先估计后优化的缺陷。

- 未来研究方向包括均值与协方差矩阵联合收缩优化，以及最优样本量的确定。

【华安金工】马科维茨模型中均值的最优收缩 — 详尽分析报告

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一、元数据与报告概览

• 标题：《马科维茨模型中均值的最优收缩 学海拾珠 系列之二百三十七》

- 作者：华安证券金工团队

• 发布日期：2025年6月4日

- 发布机构：华安证券研究所

• 研究主题：探讨现代投资组合理论（MPT）框架下，均值向量估计的不同方法对投资组合性能的影响，重点介绍了传统方法、James–Stein（Jorion）方法和Ortiz方法，比较了三者样本外夏普比率和投资组合权重波动性。

- 核心论点：
1. 传统均值向量估计方法在小样本和参数动态变化环境下表现有限，导致权重波动性较大及样本外夏普比率下降。
2. 引入均值收缩方法，特别是Ortiz提出的结合多元线性回归的收缩投资组合优化方法，能显著提升样本外夏普比率并降低权重波动。
3. Ortiz方法优于传统和Jorion方法，因为它通过最小化投资组合权重的均方误差完成同时估计与优化，优化稳定性更好。

• 评级与目标价：无投资建议，纯研究总结性质。

- 主要信息传达：作者强调通过最小化投资组合权重均方误差的收缩方法在优化均值向量时表现优异，是改进现代投资组合理论稳定性和性能的有效路径。[page::0,1,2,15]

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二、逐节深度剖析

2.1 报告摘要及问题提出

报告关注MPT中参数估计的局限性，特别是均值向量的估计误差对投资组合权重及性能的影响。传统基于历史回报数据的均值估计易受样本规模限制及风险资产收益动态变化影响，导致权重估计偏离且样本外表现较差。

报告引入James–Stein类型的均值收缩（Jorion，1985，1986）及Ortiz（2023）方法，后者结合多元线性回归与优化的等价性，通过最小化投资组合权重均方误差实现均值收缩。文献指出，仅优化均值的收缩（Alexander等早期研究基础）无法有效兼顾权重稳定性，而Ortiz方法能显著提升权重稳定性和样本外夏普比率。[page::0,1,2]

2.2 三种均值估计方法详解

• 传统方法：无偏最小方差估计，直接用历史样本均值和协方差估计。优点在大样本下有效，但样本不足时表现欠佳，尤其是权重波动和超调现象明显，对市场变化适应性弱。
• Jorion方法（James–Stein均值收缩）：此方法将均值向量收缩到其总体均值（均值的均值），通过收缩参数δ调整收缩强度，理论基础为经验贝叶斯估计。其核心是降低估计偏差，但该方法最小化的是均值估计误差，而非直接针对组合权重波动，因此权重波动性仍可能较大。
• Ortiz方法：基于Britten-Jones（1999）提出的投资组合优化与多元线性回归的等价性，利用最小化投资组合权重均方误差作为收缩目标。具体实现为在普通最小二乘回归中，令解释变量为资产风险溢价，回归系数为组合权重。通过对协方差矩阵的收缩并计算均值收缩参数δ，使投资组合权重的方差极小化，导致投资组合权重变得更加稳定。

该方法不同于Jorion，后者针对均值误差最小化，Ortiz方法直接针对决策变量（组合权重）的稳定性提高，体现了估计与优化同步进行的优势。[page::2,3,4]

2.3 理论模型与数学框架

报告中模型参数为无风险利率rf、风险溢价向量π及协方差矩阵Σ。投资组合权重按Max夏普比率确定，即切线组合权重：

\[
\mathbf{w}^* = \frac{\Sigma^{-1} \pi}{\mathbf{1}^\top \Sigma^{-1}\pi}
\]

估计权重关键依赖于对$\pi$和$\Sigma$的估算。本报告重点改进$\pi$估计，采取三种方法，Σ协方差采用传统估计。

• Jorion方法的收缩参数计算公式为：

\[
\hat{\rho} = \frac{n+2}{(n+2) + (\hat{\pi} - \hat{\pi}0 \mathbf{1})^\top \hat{\Sigma}^{-1} T (\hat{\pi} - \hat{\pi}0 \mathbf{1})}
\]

其中$\hat{\pi}0$为均值的均值。

• Ortiz方法通过最小化组合权重均方误差定义收缩δ参数，利用最小二乘估计与权重方差的矩阵计算有效找到最优δ。报告用图表2形象展现均方误差（Mean Square Error）与δ之间的凸函数关系，可见最优δ使权重均方误差显著降低近50%。[page::3,4,5]

2.4 实证方法及评估指标

评估通过样本外测试，针对移动滚动窗口（样本大小m），逐步更新权重计算和预测下一期超额回报。

• 性能指标：

- 样本外夏普比率：平均实现超额回报的风险调整收益率。
- 投资组合权重标准差：权重的动态波动性，低波动代表组合调整幅度小，交易成本低且稳定。

• 数据集涵盖多种股票组合和工业行业投资组合，时间跨度涵盖1926年至2024年，美股市场为主。
• 结果明显示，1/n简单均权在小样本内表现更优，但随着样本规模增大，Ortiz方法的样本外夏普比率超过其他方法。Jorion方法在部分样本规模下表现仅次于Ortiz，传统方法最差。
• 投组合权重波动率方面，Ortiz方法远低于传统和Jorion方法，表明其稳定性更好。[page::5,6,7,8]

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三、图表深度解读

图表1 文章框架思维导图（page 1）

• 描述：展现了本文主要问题、三种方法、实验设计及结论。

- 解读：
- 明确指出传统均值估计局限及Jorion、Ortiz方法特点。
- 强调实证采用多组股票和行业数据集验证。
- 对比各方法优劣，突出Ortiz方法在样本外夏普比率和权重波动方面的优势。

• 联系文本：支持摘要中关于问题提出和方法对比的章节，框架清晰，逻辑严谨。[page::1]

图表2 多元均值估计的均方误差函数（page 5）

• 描述：展示均方误差随收缩参数δ变化的曲线。

- 解读：
- 曲线呈U型，初始无收缩（δ=0）误差较大，随着收缩增强误差降低，达到最小值后再次上升。
- 最优收缩约于δ=0.6处，误差较无收缩时减小约49%。

• 联系文本：说明Ortiz方法通过优化δ显著减少权重均方误差，提高投资组合稳定性。[page::5]

图表3-7 样本外夏普比率曲线（page 6~8）

• 描述：不同样本窗口下，各方法获得的样本外夏普比率随样本大小变化的曲线（多组数据集体现）。

- 解读：
- 1/n方法在样本较小时占优。
- 样本大小提升后，Ortiz方法显著超越其他方法，表明其对较大样本表现更稳定、优越。
- 传统方法通常最差。

• 联系文本：实证结果展现均值估计对组合性能的影响，支持结论中Ortiz方法优势论断。[page::6,7,8]

图表8-11 30个工业行业投资组合权重标准差（page 9~11）

• 描述：三种均值估计在不同时期样本大小下投资组合权重的标准差。

- 解读：
- 传统方法权重波动远大于后两者，存在极端权重情况。
- Jorion方法波动大，数值区间广泛。
- Ortiz方法权重波动显著降低，且随着样本大小扩展，波动大幅收敛。

• 联系文本：说明Ortiz方法能有效控制权重的剧烈波动，减少组合频繁调整导致的交易成本。[page::9,10,11]

图表12-20 各数据集估计均值波动 (标准差)（page 11~14）

• 描述：展示不同方法估计均值波动程度，验证均值估计的稳定性。

- 解读：
- Ortiz方法的均值估计波动最低，说明其估计更为稳定，同时兼顾投资组合稳定性。
- Jorion次之，传统方法波动稍大。

• 联系文本：均值估计稳定性高有助于投资组合权重的稳定，结果印证Ortiz方法优异。[page::11,12,13,14]

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四、估值分析

本报告非典型公司估值报告，无传统意义的估值模型应用。核心在于解释三种均值向量估计方式对现代投资组合权重计算和表现的影响。其"估值"对应投资组合优化中权重的稳定性和夏普比率，这里：

• 权重均方误差最小化可类比为优化目标函数提升组合表现。

- Ortiz方法的核心为双目标的优化，即同时估计均值向量参数并优化权重，基于预测-优化框架，体现了模型的进阶方法论。

因此，本报告在估值角度主要对组合权重的方差和投资组合绩效指标夏普比率进行“估价值”和稳定性的评价，偏向定量风险管理模型论证范畴。[page::2,4,15]

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五、风险因素评估

报告中的风险提示主要包括：

• 样本外性能基于历史数据和海外文献研究，具有局限性，不能视为具体投资建议。

- 参数估计误差及金融市场动态变化对均值和协方差估计的影响可能导致优化结果不稳定。

• 收缩方法虽然减少误差和波动，但无法完全解决均值估计不确定性带来的投资组合波动风险。

- 未同时收缩协方差矩阵和均值向量，未来研究有必要合并这两方面方法以进一步降低权重波动和改善性能。

• 均值估计误差依旧是MPT权重不稳定的主要来源之一。

该风险分析展示了研究的局限及挑战，且报告明确未将研究结果作为投资决策依据，提示使用者谨慎对待。[page::0,15]

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六、批判性视角与细微差别

• 报告的谨慎定位：研究强调历史数据和文献总结性质，不涉及实质性投资建议，体现专业谨慎态度。

- 方法的内涵与应用限制：Ortiz方法在理论和小样本数下表现优越，但实际中市场非正态性、多因子结构及交易成本可能产生影响，报告未深究实务操作障碍。

• 对协方差矩阵收缩的缺失：报告未在所有实验中同时收缩协方差矩阵与均值向量，可能未完全发挥参数收缩综合效果。

- 均值估计的不稳定性挑战仍存在：正如Palczewski和Palczewski（2014）分析，即使收缩均值误差依旧引发权重波动，报告虽部分缓解该点，但未完全消除。

• 样本外检验局限：部分样本窗口较小，样本外表现的稳定性和实用推广具有挑战性。

总体，报告逻辑严密、数据详实，方法创新突出，但仍需结合实际市场状态及更广泛参数调整认知局限，方能完善。[page::14,15]

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七、结论性综合

本文深刻探讨了现代投资组合理论中的均值向量估计方法，比较了传统无偏估计、James-Stein类型（Jorion）均值收缩以及Ortiz基于多元回归和权重均方误差最小化的收缩方法。研究结论和图表数据可以归纳如下：

• 传统估计方法因小样本、收益参数动态变化及市场不稳定，导致极端组合权重波动，增加交易成本且样本外表现不佳（夏普比率低）。
• Jorion方法通过均值收缩降低了均值估计误差，样本外夏普比率优于传统方法，但投资组合权重仍处于较高波动，导致操作复杂性依然较大。
• Ortiz方法创新性地将估计和优化统一，其中权重均方误差作为收缩参量的目标函数，实现均值向量向总体均值的最优收缩。结果显示：

- 投资组合权重波动显著降低，远小于传统和Jorion方法（权重波动降低数倍）。
- 样本外夏普比率显著提高，尤其在较大样本窗口条件下持续优于其他方法和1/n简单均权。
- 均值估计稳定性显著提升，表明此方法带来更可靠的参数估计。
- 研究结果突破了传统观点，即即使最优调整均值依旧造成权重不稳定，表明综合考虑权重均方误差的估计方法可实现更稳定、更优投资组合构建。

• 实证使用多种投资组合和广泛时间区间数据，验证结果稳健。图表1框架总结-图表20权重及均值波动对比详尽呈现。
• 报告明确方法局限与未来展望，建议结合协方差矩阵收缩进行联合优化，探讨资产组合优越性的深层原因以及样本规模确定的最优区间。

总结：本文立足于现代投资组合理论核心参数估计的挑战，提出并验证了基于最小化投资组合权重均方误差的均值收缩方法（Ortiz），显示该方法能有效提升组合稳定性和超额风险调整收益，推动了MPT理论的实务适用性和模型优化研究，是投资组合构建中参数估计和风险控制的前沿进展。

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参考图表精选展示

图表2：多变量均值估计的均方误差示例



该图明显显示随着均值收缩程度δ增加，均方误差先降后增，存在唯一最优点，确认了Ortiz方法寻优收缩的理论基础。

图表3：样本外夏普比率：30个等权重工业行业组合的风险溢价



显示在较大样本到达一定阈值后Ortiz曲线显著领先，证明其优越的样本外表现。

图表8与图表9：传统方法与Ortiz方法下的投资组合权重标准差对比（30个工业股票）

• 传统方法权重流动性极高，标准差多达投资额的十倍甚至数十倍。

- Ortiz方法下权重波动收敛于较低数值，体现稳定性。[page::9]

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结语

本文内容系统、丰富且技术性强，围绕“均值向量估计收缩”主题，结合现代投资组合理论，采用严谨的实证分析和理论推导，提出了一种优化实务中投资组合稳定性和性能的创新方法，具有一定的学术价值和应用前景。投资者与量化研究人员可依据本研究思路进一步探索多参数同步优化框架，提升投资组合的风险调整收益与稳定性。

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报告