• 报告首先回顾了资产定价基本定理(FTAP)，并证明在无套利及完全金融市场条件下，存在唯一的随机贴现因子(SDF)，其能通过风险中性概率计算资产价格[page::0][page::1][page::2]。

- 资产价格贴现后构成的过程仅当所有状态下无红利支付时为鞅过程，强化了该经典结论的适用条件[page::5]。

• 利用SDF框架，推导了连续时间模型下终身寿险的定价微分方程，关键公式为

$$
\frac{d p{t}^{1}}{d t} = p{t}(\delta{t}+\mu{t}) - \mu{t} b{t}
$$
其中$\mut$为瞬时死亡率，$\deltat$为利率，$bt$为给付金额，终止条件为$p\omega^1=0$，该ODE解析解给出寿险资产现值[page::6]。

• 终身寿险价格可表示为期望现值积分形式，与条件生存概率${}t px$和死亡密度相关：

| 表达式 | 说明 |
|-----------------------------------|--------------------------------|
| $pt^1 = \int0^{\omega - t} b{t+x} e^{-\intt^{t+x} \deltas ds} ft(x) dx$ | 寿险价值积分表达式，其中 $ft(x)$ 是死亡密度函数 |

在利率恒定且死亡给付为1时简化为典型的精算符号$\bar{A}x$ ，表示连续支付的终身保险的期望现值[page::7]。

• 寿险年金的定价同样采用类似方法，建立了对应的ODE：

$$
\frac{d pt^1}{d t} = (\deltat + \mut) pt^1 - \delta{p,t}
$$
其解析解同样为支付率加权的折现存活函数积分，简化形式为常数利率与单位支付下的年金现值表达$\bar{a}x$[page::8][page::9]。

• 报告强调信息集$ I_t $定义为包含当前及此前所有相关随机变量的适应过程，包括价格、贴现因子及红利等，是价格预测和递归定价的核心[page::4][page::5]。

- 报告末尾指出，关于多资产静态投资组合在动态经济中的定价信息集构造尚在研究中，预留未来扩展[page::9]。

金融报告详尽解读报告 —— 《DYNAMIC ASSET PRICING THEORY FOR LIFE CONTINGENT RISKS》

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一、元数据与报告概览

• 报告标题: DYNAMIC ASSET PRICING THEORY FOR LIFE CONTINGENT RISKS

- 作者: Patrick Ling

• 所在机构: Utah Valley University 数学系

- 联系方式: Patrick.Ling@uvu.edu

• 发布日期: 2025年3月28日

- 报告类型: 预印本学术论文

• 研究主题: 探讨在非套利且完整市场框架下，生命相关风险（如人寿保险、生命年金）资产的动态资产定价理论。

报告核心论点与目标

该报告针对生命相关合同（生命保险、生命年金等）在传统精算统计定价之外的资产定价研究进行了系统阐述，强调将动态资产定价理论及其核心基石——资产定价基本定理（Fundamental Theorem of Asset Pricing，简称FTAP）应用于此类长期且受生命状态影响的现金流资产的价值测算。作者提出，这比传统精算的公允价值定价（等价原则）更具金融经济学直觉，解决长期现金流估值中的递归结构和市场风险调整问题。

报告结构包含从单步模型到多步模型的动态资产定价架构阐述，继而给出生命保险和生命年金的连续时间估值公式，并对静态资产组合在多步骤动态经济中的定价进行初步讨论，深入体现非套利假设、完全市场假设下的风险中性概率（或贴现因子）角色。

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二、逐节深度解读

1. 引言（Introduction）

• 关键内容和论点：

生命相关合同的基本定义为，合同现金流依赖于被保险人存活状态，涵盖两个资产流：保险给付（indemnities）和保费收支，均属“生命相关资产”。传统精算定价依赖等价原则（期望现值等式），但该方法忽略了金融经济学的视角，尤其是长期合同中递归性质和金融风险溢价的测算。作者提出基于FTAP的资产定价框架，以非套利且完全市场假设为基底，能理清生命相关合同的价值。

• 推理依据：

报告强调数学统计方法难以解释递归等金融重要结构，且缺乏直观金融原理。利用Farkas引理和FTAP工具，结合条件期望，将可拓展为多阶段动态模型，同时指出，贴现资产价格仅在无分红时是鞅。

• 引出研究创新点：

- 简洁证明FTAP
- 基于贴现因子的鞅性条件澄清
- 连续时间生命保险、生命年金价值微分方程建模与解算
- 动态经济中静态组合定价讨论[page::0]

2. 单步动态资产定价理论（Dynamic Asset Pricing Theory in a One Step Model）

2.1 动态经济设定

• 假设市场中有 m 种资产，时间 t 的向量价格和分红分别为 \(\pmb{p}t\) 和 \(\pmb{d}t\)，投资者构建的投资组合为 \(\pmb{\theta}t\)。所有这些变量均为随机变量，演化依已知信息递增。

- 假设资产价、分红、投资组合均为适应过程，即截至时间 t 可观测历史信息内确定。

2.2 非套利性与Farkas引理

• 介绍数据矩阵 \(\pmb{A}\) 及向量 \(\pmb{b}\)，借助Farkas引理二分命题性质，有且仅有如下两种情况之一成立：

1. 存在非负解 \(\pmb{x}\) 满足 \(\pmb{A}\pmb{x}=\pmb{b}\)
2. 存在 \(\pmb{y}\) 使得 \(\pmb{A}^T \pmb{y} \succeq 0\) 且 \(\pmb{b}^T \pmb{y}<0\)

• 将上述命题与套利定义结合：存在套利即满足第二个语句，反之则否定。

- 由非套利假设，必得第一个语句成立，意味着存在非负向量 \(\boldsymbol{m}{t+1}\)（随机贴现因子SDF），使得 \(\pmb{A} \boldsymbol{m}{t+1} = \pmb{b}\)。

2.3 完整市场假设与SDF唯一性

• 完整市场意味着资产可跨越所有随机状态：即资产的线性独立数等于状态数 \(n\)。

- 因此，SDF \(\boldsymbol{m}{t+1}\) 唯一解。

• SDF构成形式为 \(\boldsymbol{m}{t+1} = (\pi{t+1}^1 v{t+1}^1, ..., \pi{t+1}^n v{t+1}^n)^T\)，其中 \(\pi{t+1}^i\) 为风险中性概率，\(v{t+1}^i \geq 0\) 为贴现因子权重。

2.4 引入无风险利率资产

• 设无风险利率 \(r = e^\delta - 1\)，有无风险资产，支付为 \(1 + r\)（确定无风险状态）。系统矩阵及向量相应扩充[page::1][page::2]

2.5 风险中性概率与死亡率假设

• 假设风险中性概率可用死亡率代替，此假设简化生命风险的折现计价。

- 但若同时考虑市场与死亡风险（例如保险衍生品），风险中性概率将不等同死亡率。

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3. 多步动态资产定价模型 (Multiple Step Model)

3.1 风险无风险资产连续贴现

• 建立收益率函数 \(\deltat\)（瞬时利率）和支付率函数 \(\delta{p,t}\)，并从离散递推推出微分方程：

\[
\frac{d pt}{dt} - pt \deltat = - \delta{p,t}
\]

• 该微分方程解提供连续贴现的资产价格表达式：

\[
p0 = \int0^n \delta{p,t} e^{-\int0^t \deltas ds} dt + pn e^{-\int0^n \deltat dt}
\]

• 体现递归贴现性质和连续时间分析框架。

3.2 有风险资产定价相关假设

• 采用概率理论中的适应过程（adapted process）假定，保证未来变量随机性，但信息集 \(It\) 中能合理预测并计算条件期望。

- 介绍信息集 \(It\) 概念，包含历史资产价格、分红、随机贴现因子及未来的条件概率。保证过滤\(\sigma\)-代数的递增性和塔性质。

3.3 定价核（Pricing Kernel）

• 定义定价核 \(at = m1 m2 \dots mt\)，是贴现因子的乘积。

- 资产价格满足递归关系：
\[
at pt = E\pi[a{t+1}(p{t+1} + d{t+1})|It]
\]

• 进一步推广为多步折现的现值计算。

3.4 减少彩票法则（Reduced Lottery Method）

• 递归展开资产价格表达式，展示了多步随机贴现及分红的加权和。

- 当无中间分红时，贴现价格过程是鞅：
\[
at pt = E\pi[aT pT | It]
\]

• 报告指出这种鞅结果仅在无分红情况下成立，这一细节使理论更严谨。

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4. 生命相关资产定价理论（Life Contingent Asset Pricing）

4.1 死亡率与瞬时死亡率

• 定义寿命存活函数 \(S0(x)\)，死亡概率 \(qx\)，瞬时死亡率（死亡力）\(\mux\)，应用微积分关系给出其定义和直观解释，强调 \(\mux\) 代表瞬时条件死亡概率。

4.2 连续时间全寿险估值

• 构造模型：

- 被保险人可能在极短时间内存活或死亡，死亡力为 \(\mut\)
- 设极限年龄 \(\omega\)
- 死亡时即付一次性给付 \(bt\)
- 利率函数 \(\deltat\)

• 利用FTAP推导资产价格差分方程，转化为常微分方程（ODE）:

\[
\frac{d pt^{1}}{dt} = pt^1(\deltat + \mut) - \mut bt
\]
其中 \(pt^1\) 代表处于存活状态下的资产价格，边界条件为 \(p\omega^1 = 0\)。

• ODE解析解公式为：

\[
pt^1 = \intt^\omega \muu bu e^{-\intt^u (\deltas + \mus) ds} du
\]

• 通过力学和概率视角将寿险估价精准表达。

4.3 生存概率与寿命密度关系

• 利用生存函数的导数转换，明确死亡密度函数 \(fx(t) = \mu{x+t} Sx(t)\) 的定义，理清人口统计学基础。

4.4 简化全寿险表示及记号

• 在利率常数且死亡给付恒定为1的假设下，简化为：

\[
\bar{A}x = \int0^{\omega - x} e^{-\delta t} {}t px \mu{x+t} dt
\]

• \(\bar{A}x\) 即为连续支付1美元给付的全寿险期望现值（EPV）标准记号，广泛用于精算实践。

4.5 连续寿命年金定价

• 模拟全寿险模型框架，但现金流改为存活期间持续领取的年金，付费率为 \(\delta{p, t}\)。

- 建立ODE：
\[
\frac{d pt^1}{dt} = (\deltat + \mut) pt^1 - \delta{p,t}
\]

• 解析解为：

\[
pt^1 = \intt^{\omega} \delta{p,u} e^{-\intt^u (\deltas + \mus) ds} du
\]

• 同样，简化后年金EPV可记为：

\[
\bar{a}x = \int0^{\omega - x} e^{-\delta t} {}t px dt
\]

• 该表达强调支付率与贴现存活概率的乘积整合。

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5. 静态组合在多步模型中的定价（未完待续）

• 报告最后提及，为多资产静态组合定价，需要重新定义信息集。

- 该部分尚在准备中，留待后续版本扩充。

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三、图表与公式深度解读

报告全篇无传统图表，仅大量公式推导和定义性表述。故分析重点在数学逻辑链条及关键结构的剖析：

• Farkas引理与资产组合套利条件（2.2节）明确了非套利与SDF存在的等价性，奠定资产价格表达式基础，展示数学工具如何结合金融概念。

- 微分方程表达资产价格演化，从离散贴现变微分表达，体现连续时间资产定价的优雅与精确。

• 生命周期风险指标表达式，如\(\mux\)、\(qx\)、\(Sx(t)\) 与对应换算，清晰呈现寿险风险与现金流的映射关系。

- 全寿险资产定价公式通过逐步推导，展现寿险现金流折现概率加权的内涵，公式简洁且符合精算经典记号。

• 生命年金资产定价基本一致，仅支付现金流性质改变，相关变量架构无本质差异。

- 贴现因子与风险中性概率的区分与联系，突出本报告区别于纯精算估价的金融经济学视角。

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四、估值分析

• 本报告核心估值方法基于资产定价基本定理（FTAP），利用无套利假设和完整市场假设，保证贴现因子存在且唯一（如果市场完整），从而将风险调整后的现金流按照风险中性概率（或贴现概率/贴现因子）计算期望现值。

- 计算公式体现了风险中性期望贴现模式，同时通过递归期望和微分方程，将时间动态和死亡风险无缝融合于估值函数中。

• 采用微分方程解决寿险与年金估值问题充分体现动态连续时间模型的优势，尤其在极限边界条件（如终生保险极限年龄）设置严谨。

- 报告所用假设：贴现率、死亡率函数及支付金额均可为时间函数（非随机），且贴现率无风险。

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五、风险因素评估

虽报告未专门设立风险章节，但隐含风险如下：

• 死亡率假设的准确性：估值依赖死亡率\(\mu_t\)，如果人口死亡率估计偏误，影响价格准确度。

- 风险中性概率替代死亡率的限制：已指出若同时考虑市场风险和生命风险（例如寿险衍生品），风险中性概率不同于纯粹死亡率。

• 市场完整性的强假设：现实复杂市场多存在不完全性，SDF唯一性及定价表达可能失效。

- 贴现率的确定性假设：force of interest设为非随机函数，忽视金融市场利率的风险和波动性。

• 无分红资产价格鞅性的限制：指出贴现资产价格鞅性需无分红，实际生命保险年金等有现金流，需区别处理。

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六、批判性视角与细微差别

• 优点：

本报告逻辑清晰，将经典金融资产定价理论严谨地引入寿险领域，处理了长期生命风险资产的复杂性，并通过数学统计与微分方程展现金融定价直觉与方法论创新。

• 潜在局限：

- 风险中性概率被死亡率替代的假设简化了实际应用，可能未完全反映多风险混合的真实金融市场环境。
- 贴现率与力学假定为非随机且确定性，忽视了利率风险、市场波动和模型风险。
- 多步模型下静态组合定价尚未展开，限制了对复杂组合产品的分析。

• 内部连贯性：

报告内容前后一致，从无套利→SDF→估值递归→微分方程推导体系紧密。但对现实市场假设的理想化可能降低实际应用的直观性。

• 创新深化点：

清晰说明贴现资产价格“是鞅”这一命题的严格限制条件，有助于避免金融学界常见的误解。

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七、结论性综合

《DYNAMIC ASSET PRICING THEORY FOR LIFE CONTINGENT RISKS》系统地将现代金融资产定价理论导入生命相关风险资产的定价领域，特别是人寿保险与生命年金等长期合同。通过：

• 梳理资产定价基本定理（FTAP）在单步及多步动态经济中的完整数学证明和金融经济学解释，

- 引入无套利和市场完整假设，确立随机贴现因子（SDF）存在性和唯一性，

• 利用信息集、适应过程和风险中性概率建立多步动态估值框架，

- 借助微分方程明确描述连续时间全寿险和寿命年金的价格动态，体现现金流与死亡风险的协同折现，

• 强调贴现资产价格为鞅的严苛条件——无中间分红支付情形下，

报告体系完整且逻辑严谨。作者还对市场贴现率和死亡率的关系进行了细致讨论和假设界定。

尽管尚存如贴现率随机性忽略、多风险环境中风险中性概率非死亡率假设等潜在限制，但报告为生命保险及相关金融产品定价建立了理论基础，填补了传统精算统计估价缺乏金融经济学视角的空白。未来在多资产组合定价和动态信息集定义的开拓，值得期待。

总体来看，报告以非套利、风险中性期望折现为核心，在金融和精算交叉领域提供了理论高度统一和方法创新的资产定价方案，是对生命风险证券化与定价模型的重要补充与深化。[page::0][page::1][page::2][page::3][page::4][page::5][page::6][page::7][page::8][page::9]

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