• 离散时间建模创新与Bellman方程框架 [pidx::0][pidx::1][pidx::2][pidx::3]

- 传统做市策略多采用连续时间HJB方程，假设做市决策可在任意时刻进行，无法精确反映中国商品期货500毫秒离散行情的实际场景。
- 本报告采用基于离散时间的Bellman方程引入挂单状态变量（同时挂买卖单、只挂买单、只挂卖单及均不挂单），并结合队列长度和排名，模型总状态约160万种。
- 该框架允许偶联买卖挂单操作，更贴合实际，同时可体现交易延时效应，提升策略适用性。

• 关键状态变量和转移概率定义 [pidx::2][pidx::3][pidx::4]

- 状态变量包括库存q、挂单状态e、买卖队列长度l及排名r。
- 通过泊松分布模拟市价单量、挂单量和撤单量，计算限价单未成交、成交和队列击穿的转移概率，组合成整体状态转移概率。
- 使用克罗内克张量积将买卖单的转换概率耦合，简化Bellman方程求解。

• 最优策略求解及收敛性分析 [pidx::5]

- 最大库存限制Q=15，队列长度最大19，状态空间约1.64百万种。
- 迭代误差收敛迅速，约100步后误差趋稳，表明模型具备稳定的数值解。

• 挂单策略特征分析 [pidx::5][pidx::6][pidx::7]

- 库存为0时，倾向同时买卖双挂单，且买卖队列较长时保留。
- 库存靠近极限时，偏好撤去对库存不利方向的挂单，避免风险加剧。
- 队列长度和排名影响是否保留挂单，卖单队列太短会撤单以降低逆向选择风险。

• 策略回测表现对比 [pidx::8][pidx::9][pidx::10]

- 与无模型策略相比，Bellman模型策略虽然日均收益从5536元降至3925元，但交易手续费和成交量同时减少，手续费降低约10000元/日。
- 模型策略显著降低盘中最大亏损（最大亏损由-37200元降至-8450元），交易更稳健。
- 年化夏普率从9.5提升至17.6，风险调整后收益大幅提高。

• 量化策略构建总结 [pidx::0][pidx::1][pidx::2][pidx::5][pidx::8][pidx::9]

- 核心思想是在离散时间间隔（如500毫秒）内，根据当前库存、挂单状态及买卖限价单队列长度与排名，使用离散时间Bellman方程计算最优挂单策略。
- 策略考虑四种挂单状态（买卖双挂、只买、只卖、不挂），通过泊松分布模型估计限价单成交和击穿的概率，从而动态调整挂单以控制库存和逆向选择风险。
- 实际回测基于沪铜主力期货，体现策略对风险控制和收益稳定性提升的有效性。

基于离散时间的高频做市策略 — 详细分析报告

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1. 元数据与报告概览

• 标题： 基于离散时间的高频做市策略

- 作者及机构： 华泰期货有限公司研究院量化组，主要研究员包括罗剑、陈维嘉、杨子江、陈辰，高天越（联系人）

• 发布时间： 2019年，具体日期未标明

- 研究主题： 高频做市策略，特别是考虑中国商品期货市场中行情数据的离散时间特征，应用基于离散时间Bellman方程的最优挂单决策策略，旨在控制风险与提升做市效率。

• 核心论点与信息： 目前中国大部分商品或证券交易所提供的行情数据是离散截面数据（如500毫秒间隔），传统连续时间的HJB方程做市策略不能准确捕捉这一特性。该报告提出基于离散时间Bellman方程的策略，纳入买卖队列长度、挂单排名和挂单状态作为状态变量，更精细控制风险。应用沪铜期货验证，模型能降低盘中风险和回撤，显著提高夏普率。策略虽然盈利有所降低，但风险调整后的表现更优。

- 投资咨询资格及免责声明详见报告末。

总体上，报告试图纠正现有连续时间模型忽视行情数据离散性的不足，改为用离散时间模型，并考虑了限价单队列排名、挂单状态等实际交易特征，得出更有效且风险控制更好的做市策略。

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2. 逐节深度解读

2.1 研究背景

• 关键论点： 高频做市通过持买卖双方限价单获利，核心在资产价格波动触发买卖成交。大跳价资产（买卖价差为一个最小跳价），限价单数量大，市价单和限价单的订单流及限价单队列排名动态是成交的决定因素。

- 问题： 目前中国商品交易所行情为每500毫秒一个截面，资产中间价大部分时间不变，持续变的是限价单队列长度和排名，因此挂单和撤单决策只能在离散时点作出。

• 对比文献： 当前主流做法用连续时间HJB方程，默认做市商决策为连续，不考虑队列排名且成交概率设为1，导致实际适用性和扩展性不足。

- 创新点与逻辑： 报告借鉴Ait-Sahalia等提出的离散时间Bellman方程框架，加入挂单状态（四个状态：买卖双挂单、仅买单、仅卖单、无挂单），这些状态帮助更精准制定撤单策略（如买一单撤单后不立即补单等），符合实际交易逻辑。

• 进一步分析： 离散时间框架可将买一和卖一挂单操作偶联，允许非常低但非零的同时成交概率，较连续时间假设更贴近实际。模型可扩展模拟延时影响，但本报告暂未深入。

2.2 Bellman方程框架

• 状态定义（$\mathbb{S}$）： 时间点$tn$的状态由库存$q$，挂单状态$e$，买卖一档限价单队列长度（$l^{+}, l^{-}$）与排名（$r^{+}, r^{-}$）组成。

- 库存$q$在$[-Q, Q]$范围。
- 队列长度$l^{\pm}$ 在$[1, l{\max}^{\pm}, l{\infty}^{\pm}]$，其中$l{\infty}^{\pm}$代表无穷长队列（远场边界状态）。
- 排名$r^{\pm}$在$[1, l^{\pm}]$范围内。
- 挂单状态$e \in \{11, 10, 01, 00\}$分别表示同时买卖挂单、仅买挂单、仅卖挂单、无挂单。

• 交易场景假设： 大跳价资产，买卖一价差恒为1最小跳价。

- 状态转移概率：
- $PT^{\pm}$：限价单未成交且排名转移概率，账户排名变化反映队列动态。
- $PD^{\pm}$：成交概率，成交后队列依旧存在，做市商取得0.5跳价单位收益，库存变动。
- $PR^{\pm}$：击穿概率，队列被市价单完全吃掉，导致价格跳变，做市商发生逆向选择损失-0.5跳价，库存损失$q$个跳价。

• 策略空间$a \in A = \{11,10,01,00\}$对应挂单状态。

2.3 状态转移概率计算

• 成交与队列长度动态用市价单量$M^\pm$和挂单撤单量$L^\pm$描述，假设均服从泊松分布（挂单均值8手，撤单均值6手，市价单均值2），并通过泊松分布结合计算队列长度和排名变化的概率。

- 状态转换概率矩阵通过买卖单边概率的克罗内克乘积构造，处理两边行情偶联状态。

• 做市商效用函数$H$满足Bellman方程，考虑状态转换带来的效用加权期望和库存惩罚$-\phi q^2$，终止时库存价值和风险惩罚的边界条件。

- 挂单状态分离表示将效用函数拆分为四个对应挂单状态的子函数$h{11}, h{10}, h{01}, h{00}$，极大减少计算存储复杂度。

• 通过联立方程迭代求解最优策略。

2.4 做市策略分析

• 参数设置示例：库存惩罚$\phi=0$，最大库存$Q=15$，最大队列长度模拟$l{\max}^\pm=19$，共约164万状态。

- 迭代误差$\epsilon$收敛图显示，算法收敛稳定，在约100次迭代时达到较好稳定性，迭代速度快且误差值远小于状态空间规模，说明方法的数值可行。

• 策略表现与队列位置关系：

- 库存为0时，库存无压力，同时买卖挂单为优。
- 队列长（19手）时，无论排名都维持双挂单，因价格突破概率小，且持仓无风险。
- 卖单队列短时（<6手），只挂买单，避免卖单被击穿风险。

• 库存负14手时（接近极限），若卖单排名靠前且买单队列末尾，撤卖单保留买单以减少库存风险。

- 在库存为0且买单长度短(<5手)时，如果卖单排名靠前且买单排名靠后，撤买单避免价格被击穿。

• 总结各图表策略色彩代表挂单的状态，清晰展示在不同库存及队列排名条件下最优成交策略的变化规律。

2.5 做市策略回测

• 回测数据及方法： 采用天软高频数据，行情更新间隔非均匀，约2笔/秒。使用模拟排队法对成交进行判断，假设系统为市场最快，实际可能排名落后。

- 成交判定细则：
- 成交价低于挂单价判为成交（挂买单类似）。
- 成交价等于挂单价，依据队列排名与成交量比较决定成交。

• 策略比较：

- Bellman方程策略与无模型策略对比，无模型策略最高持仓限额10手，超过即停止同向挂单转反向报价，但无模型不考虑队列排名与挂单状态。

• 回测结果详解（图5-7及表1）:

- Bellman方程策略累计收益较无模型低，但收益曲线更平滑，波动和明显回撤少。
- Bellman模型手续费累计明显低于无模型，因减少不必要交易和逆向选择。
- 盘中最大亏损明显低于无模型，控制在约1万元以内，反映风险控制能力。
- 日均收益从无模型的5536元降到3925元，成交量减少约400手，手续费减少约1万元。
- 最大持仓上升至14手，表明策略容忍更多持仓却降低风险。
- 年化夏普率从9.5提升到17.6，风险调整收益翻倍。
- 返佣需求约93%，比无模型略高，反映更低收益但风险控制提升的权衡。

2.6 结果讨论与总结

• 报告通过建立富状态空间（约160万状态）离散时间做市框架，精细刻画库存、挂单状态及买卖队列长度与排名，制定四类挂单策略。

- 模型适应大跳价资产特性，最优策略基于状态动态调整，兼顾收益、风险与流动性。

• 回测验证策略显著降低了盘中亏损与日间波动，虽收益下降，但风险调整后表现更优，年化夏普率提高近2倍。

- 模型对运行计算要求较高，但收敛表现良好，迭代次数远小于状态空间维数，具备工业应用潜力。

• 模型尚未考虑更深位置挂单、延时等因素，未来研究方向明确。

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3. 图表深度解读

图1：Bellman方程的收敛性

• 展示状态空间规模约160万情况下，策略迭代误差$\epsilon$随迭代次数变化，纵轴为对数刻度。

- 初始快速下降，后中段平台期，200步左右再次下降，最终在100次左右震荡收敛。

• 说明算法有效且数值稳定，且收敛效率较高，符合报告中策略迭代求解的有效性需求。

图2：$q=0$时的最优限价单策略（双挂单与单买单）

• 横纵坐标为卖买队列排名。

- 左图：当同时买卖挂单（$e=11$）且队列长度均为19时，无论排名均保持双挂单，表现为整图土黄色。

• 右图：只买单时（$e=10$），当卖单队列长度较短（<6）时，仅维持买挂单（红色），队列较长时补挂卖单（土黄色），规避逆向风险。

图3：$q=-14$时最优策略

• 负库存接近限制时，左图显示在卖单排名靠前且买单排名靠后的区域，撤去卖单（红色），减少风险。

- 右图显示单买单时卖单队列长于12手时补卖单，控制逆向选择风险。

图4：$q=0$, $l^+=5$时最优策略

• 左图：双挂单时卖单排名靠前且买单排名靠后，撤买单（红色），避免低买单排名导致价格击穿。

- 右图：单买单时多补挂卖单，但卖单队列极短时，维持单买单，避免卖单被击穿。

图5：模型收益比较

• Bellman模型（红线）收益低于无模型（黑线），但回撤波动明显减小，表现更稳定。

图6：模型手续费比较

• Bellman模型手续费低于无模型，因减少交易次数及逆向选择。

图7：盘中最大亏损

• 散点图显示无模型策略多次出现超过1万元亏损，甚至接近4万元。

- Bellman模型最大亏损基本控制在1万元以下，显示优异的风险控制能力。

表格1：日均策略表现汇总

• 展现收益、手续费、成交量、撤单量、最大持仓、最大亏损、收益标准差、夏普率以及盈亏平衡返佣比例等指标对比。

- Bellman方程模型提升风险调整收益能力（夏普率17.6 vs 9.5），亏损显著降低，手续费和成交量均减少。

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4. 估值分析

报告并未涉及企业估值或金融资产价格估值，而是对高频做市策略的最优挂单策略进行了数学建模和策略回测，不适用传统金融估值框架。

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5. 风险因素评估

虽然未专门章节设立风险因素，但报告中隐含或明确体现以下风险因素：

• 队列模型和成交概率假设的准确性风险： 假设挂单、撤单和市价单均服从泊松分布，参数设定为固定平均数，实际可能存非泊松分布和动态参数风险。

- 离散时间假设误差： 实际行情更新及撮合不是完全离散且同步的，该模型忽略了撮合延迟和系统延时等因素，可能导致实际策略偏离理论预测。

• 最大库存限制及仓位风控假设： 模型设定最大仓位$Q=15$，仓位管理及风险释放机制简单，极端行情风险可能依旧高。

- 市场微结构变化风险： 未来交易所规则变更、交易机制更新可能使队列行为模式改变，削弱模型适用性。

• 策略参数和模型复杂度风险： 状态空间庞大，模型求解复杂度高，运行效率及实时性或受限，且模型参数设定敏感性不可忽略。

- 手续费及返佣变化风险： 返佣需达到较高水平保证盈亏平衡，费率变动影响策略长期表现。

• 模型仅考虑买卖一档限价单，未涵盖更深层挂单风险。

报告未明显给出针对这些风险的缓解方案，侧重于理论和实证验证，提示未来可通过模拟延迟、优化参数和市场适配等进一步研究。

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6. 批判性视角与细微差别

• 模型限制明确： 报告仅考虑买卖一档挂单，未建模更深档位挂单对队列及成交概率影响，可能低估实际风险和潜在收益机会。

- 泊松分布假设简化： 简化挂单、撤单为独立泊松过程，有助求解，但实际可能存在更复杂依赖和非平稳性，影响拟合度。

• 库存惩罚项参数选择影响策略性格，报告示例无惩罚（$\phi=0$）情景较多，实际策略可根据风险偏好调整。

- 回测采用"全市场最快"假设使策略排名理想化，现实交易延迟及竞价秩序可能导致表现打折。

• 策略收益较无模型有所下降，返佣要求高，表现优化主要聚焦于提升稳定性和风险控制，而非绝对收益最大化。

- 报告多次强调该模型适于大跳价资产，适用范围有限，小跳价或证券市场应用需要扩展。

• 尽管存在模型简化，报告整体结构清晰，数学表达严谨，实验充分，结论自洽。

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7. 结论性综合

报告创新性地提出了基于离散时间Bellman方程的高频做市策略模型，核心针对中国商品期货市场行情数据因限于500毫秒间隔的离散特性，解决了连续时间模型难以准确描述的挂单队列排名、挂单状态等实际交易细节，填补了算法理论与市场事实之间的鸿沟。

模型构建包括库存$Q$，挂单状态$e$，买卖一档限价单队列长度和排名等状态变量，状态空间庞大（约160万）。通过泊松分布模拟挂单、撤单及市价单流量，定义对应的转移与成交概率，并采用Bellman最优方程迭代求解状态策略映射，提供四类高频挂单策略。

数值算法具备良好收敛性，100多次迭代即可获得稳健最优策略。策略分析显示：当库存无压力时，倾向买卖双挂单，库存压力增加相关方向挂单减少；买卖队列长度和排名明显影响是否保留挂单，避免价格击穿与逆向选择损失；挂单状态含义清晰体现实际交易环节可执行决策逻辑。

实证回测基于天软沪铜高频数据，对比无模型策略，得出：

• Bellman模型策略收益略低（3925元 vs 5536元/日），但风险控制优秀，盘中最大亏损大幅降低（约8450元 vs 37200元）。

- 手续费与成交量双双减少，体现策略减少非必要交易和逆向选择，提升整体交易效率。

• 年化夏普率大幅提升（17.6 vs 9.5），显著提升收益波动比。

- 策略表现更稳健，波动与回撤明显减小，适合强调风险规避的市场参与者。

• 返佣要求较高（93%），反映策略收益或面临较大压力，需辅助费率优化。

综上，报告系统结合理论模型与实证应用，全面揭示离散时间做市策略的设计原理、实现路径及优势。该策略在当前中国商品期货大跳价市场具备良好适用价值，有较强实务推广潜力。未来工作应关注市场延时影响、深档挂单、多品种联合做市及手续费模型精化等方向。同时策略开发者需关注模型参数敏感性及实际交易环境变动。

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注：图表均取自报告原文，数据来源均为华泰期货研究院，支持图片详见对应页码说明。

报告