• 产品创新与模型改进 [page::0][page::3]

- 提出GLWB-LTC产品，允许动态提款策略包括全额退保选项，优于固定提款比例的传统产品。
- 采用Cox-Ingersoll-Ross (CIR)过程描述随机利率，结合几何布朗运动模型构建资产价格动力学。
- 定价采用改进的双维树模型（Tree-LTC），实现对American型期权性质（如退保权）的高效数值解。

• 健康状态与长期护理模型 [page::4][page::5]

- 采用7状态的健康状态马尔可夫模型，包含健康、IADL障碍、不同程度ADL障碍、机构照护和死亡状态。
- 转移概率和强度矩阵基于Pritchard (2006)的实证参数，支持任意年龄和跨期健康状态转换。

• 保险合同现金流与动态机制 [page::6][page::7][page::8]

- 账户价值A和保证基数B动态演化，考虑费用扣减、长期护理补助和提款决策等影响。
- 动态提款策略通过参数γ控制提款比例，范围[0,2]，0对应不提款并获得基数奖励，2对应全额退保。
- LTC补助按保证基数乘以固定比率和通胀指数支付，且提款超过保证额部分需支付罚金。

• 价格计算与策略优化 [page::9][page::10][page::11][page::12]

- 价值函数取决于A、B、利率r和健康状态M，采用风险中性度量进行贴现现金流的期望计算。
- 设计了静态、混合、动态、全动态4种提款策略，动态策略通过求解最优控制问题确定提款最优决策。
- 应用相似性归约简化计算，固定保证基数为初始值，利于提升数值效率。
- 由双向带相关性的树模型离散利率和账户价值过程，保证离散过程弱收敛。

• 数值验证与结果分析 [page::18][page::19][page::20][page::23][page::24][page::27]

- 在Black-Scholes无随机利率环境下，Tree-LTC方法定价稳定且显著快于传统蒙特卡洛方法，且结果与控制变量蒙特卡洛方法一致。
- 年龄越大时，保险费率α公平值变化规律清晰，嵌入LTC保障使费用增加不过百点基数。
- 允许动态提款策略的保险费率最高，表明灵活性带来额外定价价值，最高不超2.5%。
- 引入随机利率（BS-CIR模型）后，Tree-LTC依然表现优异，且利率波动率和资金波动率对费率影响显著。
- 费率α随利率波动率的变化呈非线性趋势，受利率与股票负相关性的影响，定价对配置资产相关性敏感。
- 最优提款策略（动态）体现出账户价值、利率、健康状态和时间多个维度的复杂行为，显示考虑健康状态后动态提款更具灵活优化价值。

• 量化策略与算法优势 [page::12][page::15][page::16][page::17]

- Tree-LTC算法基于改进型Nelson-Ramaswamy二叉树，针对利率和账户价值联合过程设计概率匹配。
- 该算法处理账户价值跳跃及利率波动，支持动态且灵活的提款决策，极大提升计算效率与稳定性。
- 适用广泛的动态提款控制框架，能快速定位最优解，满足风险中性定价要求。

《The Life Care Annuity: enhancing product features and refining pricing methods》详尽分析报告

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1. 元数据与概览

• 报告标题：The Life Care Annuity: enhancing product features and refining pricing methods

- 作者与机构：Giovanna Apicella、Marcellino Gaudenzi、Andrea Molent，均隶属意大利乌迪内大学经济与统计系（Department of Economics and Statistics, University of Udine）。

• 发布日期：未明确指出具体日期，报告近似为2023至2024年间工作，结合最新引用文献2024年。

- 研究主题：寿险年金产品中的长期护理（Long-Term Care, LTC）赔付与保证终身多次提取权（Guaranteed Lifelong Withdrawal Benefits, GLWB）结合保险产品的创新设计及其精细化定价。

• 核心论点：

- 本文针对已有的LCA-GLWB（Life Care Annuity with GLWB）产品进行创新，提出更为灵活和广泛的产品特征，命名为GLWB-LTC。
- 产品允许动态提取策略与退保选项，采用包含随机利率（CIR模型）的模型，同时引入一种改进的基于树形方法的定价算法（Tree-LTC），替代传统蒙特卡洛方法，计算出更为稳定和有效的产品公平价值。
- 数值实验揭示提取策略随投保人健康状态、年龄和市场条件变化的动态特征，具有显著提升政策吸引力和保护灵活性的优势。

本报告旨在全面介绍基于风险中性测度下，结合健康状态变化和经济环境不确定性的动态年金定价新方法与产品设计，同时对比多种数值计算方法的性能和定价结果。[page::0,1,3,4]

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2. 逐节深度解读

2.1 引言

• 关键观点：全球人口老龄化趋势明显，预计到2050年，60岁及以上人口比例将近翻倍（由12%升至22%）。人口老龄化直接推动长期护理需求激增，这不仅体现为身体及认知功能损害带来的生活活动能力下降（ADLs/IADLs），也含盖COVID-19后长期健康影响。

- 现状与问题：长期护理公共支出庞大，私营保险市场渗透率低（OECD数据表明）。高昂保费、信息不对称以及投保人对风险的认知不足（Brown & Finkelstein，2009）限制了私营长期护理保险的发展。

• 学术研究背景：

- 基于Markov及半Markov过程的多状态模型被广泛应用于医疗与寿险风险建模（Pitacco，1995等）。
- 既有产品尝试将长期护理与年金等产品捆绑，形成联合风险覆盖（Getzen，1988；Webb，2009），以缓解逆向选择和提升产品吸引度。
- 近年来，含有长期护理赔付及保证终身提款权的变量寿险年金（如LCA-GLWB）成为研究热点（Hsieh et al., 2018），但存在产品设计及计价方法局限性，例如只允许固定位数提取，采用单一利率模型，且只能用蒙特卡洛法计价。

• 研究动机：本论文基于上述不足，提出更普适且灵活的GLWB-LTC产品定义，提升利率建模及提取策略灵活性，同时改进数值计价方法，提高精度及效率。[page::1,2]

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2.2 产品与模型规范

2.2.1 健康状态模型

• 产品需考虑投保人复杂的健康与死亡状态转移，采用7状态Markov多状态模型，涵盖：健康、IADL受损、1-2 ADLs受损、3-4 ADLs受损、5-6 ADLs受损、机构化状态（institutionalized）、死亡（7状态）。

- 利用Pritchard（2006）基于美国国家长期护理研究（NLTCS）数据估计的参数和转移矩阵（详见附录A表12）进行转移率计算。

• 该模型允许根据投保人起始年龄动态计算健康转移概率，无上限年龄限制，但产品中人为限制最大寿命122岁。[page::4,5]

2.2.2 经济金融模型

• 基于风险中性测度$\mathbb{Q}$，基金价值$Ft$和短期利率$rt$的动态如下：

- $dFt = rt Ft dt + \sigmaF Ft dWt^1$
- $drt = kr (\theta - rt)dt + \sigmar \sqrt{rt} dWt^2$

• 利率过程服从Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型，能够防止负利率（在基本形式下），允许考虑金融市场利率的随机波动性和均值回归，并让股票价格波动和利率之间存负相关$\rho$。

- 融合BS模型的股价动态和CIR模型的随机短利率特性，形成BS-CIR联合模型。[page::6]

2.2.3 GLWB-LTC产品结构

• 投保人在$t=0$时一次性支付保费$P$，同时确定账户余额$A$和利益基数$B$，初始均为$P$。

- 账户价值$A$决定可提取最大金额和死亡赔付，利益基数$B$决定合同保证付款和最低可提取额度。

• 合同期内账户价值$A$随基金收益动态调整，利益基数$B$在连续周年内保持不变，年度提取和费用在周年调整。

- 收费参数$\alpha$（账户比例）与$\beta$（利益基数比例）分别扣除账户和利益基数费用。

• LTC付款$Ln(Mn)$在健康状态达严重残疾（Mn ∈ {4,5,6}）时，按利益基数一定比例支付，且随通胀调整。

- 提取策略允许动态调整，参数$\gamman\in[0,2]$ 控制实际提取比例，0表示不提取，有奖励机制$b$；1表示最低保证提取；>1表示提前部分或全部退保（$\gamma=2$为完全退保）。

• 退保时账户和利益基数清零，合同终止；死亡也导致合同终止，遗产得到一定金额。

- 提取超额部分缴纳罚金$\kappan$，罚金随时间递减至零。[page::6-9]

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2.3 计价方法

2.3.1 提取策略定义

• 讨论四种提取策略：

1. 静态（Static）：每年固定最低保证提取$\gamma=1$，利益基数不变。
2. 混合（Mixed）：维持最低提取，允许合同期内一次性完全退保（$\gamma=2$），退保时间用动态规划确定。
3. 动态（Dynamic）：允许每年任意合理提取比例$\gamman\in[0,2]$，选取使合同当期物有所值最大化的策略。
4. 全动态（Full Dynamic）：允许合同期任何时间（非周年）退保，退保作为美式期权，价值为账户价值减去罚金。

• 计价依据为风险中性期望最大化的合同价值，策略选择满足“bang bang”性质，即最优策略仅为$\gamma=0,1,2$三选一（不提取、最低提取、全部退保），无需考虑中间值复杂计算。

- 计价简化利用比例不变性：合同价值对账户/基数比例呈线性同质性，固定计算$B=P$即可，降低维度。[page::9-11]

2.3.2 Tree-LTC数值方法

• 选用改进的二维树形结构（利率树与账户值树结合），分步构建二项式树匹配利率过程的均值和方差，保证CIR过程的弱收敛。

- 利率树节点优化：只保留可能被访问的节点，剔除重复零节点与不可达的高位节点，显著提高效率（详见附录B与图3）。

• 账户树采用固定格点空间的对数等距网格，边界处用线性外推处理，允许账户由于提取导致的跳跃，保证数值稳定。

- 组合两个过程节点转移以满足联合一阶与二阶矩匹配，同时匹配两过程间的相关性$\rho$。

• 采用动态规划逆向递推，结合生日历、健康状态马尔可夫链转移，实现非线性筛选最优提取策略，计算合同理论价值。

- 迭代法确定费率$\alpha$使合同公平（价值等于初期保费）。[page::12-17]

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3. 数值实验

3.1 参数设置与模型验证

• 主要参数包括初始保费$P=100$，基金波动率$\sigmaF=0.20$，利率波动$\sigmar=0.10$，均值回复速度$kr=0.5$，长期利率均值$\theta=0.05$，相关性$\rho=-0.25$。

- 提取保证率$g$根据年龄线性递增（60岁为3%，每增加一岁增加0.1%）。

• 费用$\beta=0.003$，提取罚金$\kappan$随时间递减，奖金$b$初始化较高奖励无提取行为。

- 评估模型包括Black-Scholes固定利率与BS-CIR随机利率两种框架。

• 数值稳定性及计算效率优于传统蒙特卡洛和控制变量法，尤其能有效处理动态及全动态提取策略。[page::18-19]

3.2 Black-Scholes模型结果

• 结果稳定且与蒙特卡洛估计一致，树形方法计算时间显著缩短。

- LTC覆盖提高费率$\alpha$约10-120个基点（取决于参数），但整体冲击有限。

• 年龄越大，费率逐渐下降，符合生存率下降的风险特征。

- 多样提取策略使得费率增加，但幅度有限，最高不超过250个基点。

• 合同价格随策略及是否含LTC特征略有增加，体现了保费与保险保障的权衡关系。[page::20-21]

3.3 BS-CIR模型结果

• 模型更接近现实市场，展示随机利率对定价的影响。

- 树形方法相较标准蒙特卡洛更迅速且稳定。

• 随机利率波动增加时，费率$\alpha$先小幅下降后上升，体现负相关$\rho=-0.25$的市场特征。

- 提取策略动态范围越大，费率越高，且较高基金波动$\sigmaF$加剧该趋势。

• 利率波动$\sigmar$很小时，费率接近BS模型结果，波动增大时，费率浮动显著提升。

- 相关系数$\rho$对费率影响显著，负相关有助于降低初期费率，正相关导致持续上升（见图1）。

• 最优提取策略随账户价值、利率、健康状态和时间动态调整（图2展示），体现了灵活提取策略对保护残疾状态的重要价值。[page::22-27]

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4. 图表深度解读

表1：参数设定

• 清晰列出各参数符号含义及默认值，涵盖市场变量（基金与利率波动）、合同条款（费用比例、提取率、罚金、奖金）和投保人特征（起始年龄、初始健康）。

- 使后续数值实验基于统一且透明的参数体系进行。

表3-6（BS模型）

• 支持Tree-LTC方法在计算费率$\alpha$的有效性和准确性，符合蒙特卡洛和MC-CV结果，但时间成本得以降低。

- 表4显示因年龄增长$\alpha$费率缓步下降趋势，含LTC方案费率高于传统方案，但差异有限。

• 表5体现不同提取策略间的费率差距，动态提取增加保险成本，但数值上相对合理。

- 表6展示初始合同价值变化，基本反映费率调整的影响，含LTC的产品价值普遍更高但可控。

表7-11（BS-CIR模型）

• 表7-8验证Tree-LTC在包括随机利率情况下的稳定与准确性。

- 表9-11深入探讨基于不同年龄、基金及利率波动和提取策略的期望费率，揭示市场风险与设计复杂性的交互影响。

• 费率对市场参数和策略敏感，尤其基金波动和利率波动显著影响定价，显示模型能反映现实金融风险。

图1

• 曲线表明随着利率波动率$\sigma_r$的增加，费率$\alpha$在不同相关系数$\rho$下的非线性变化。

- 负相关曲线起初费率下降后反弹，正相关则单调上升。

• 该图说明选择负相关资产组合可降低保险成本。

图2

• 多子图展示不同健康状态与时间节点下的最优提取策略分区。

- 绿区（不提取）、白区（最低提取）、橙区（退出合同）清晰划分，随账户和利率变动动态调整。

• 显示灵活的动态管理策略对长期护理结合年金产品十分关键。

图3（附录）

• 利率树节点结构示例，红点为有效节点，明显剔除此区外无效无意义节点，提高了树模型效率和稳定性。

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5. 估值分析

• 基于风险中性概率，价值计算考虑账户价值、利益基数、健康状态和当前市场利率四维状态变量。

- 采用动态规划，结合美式早期行权选项（退保权），精确计算合同未来现金流现值。

• 价值允许缩减维度，利用合同价值对账户/基数比例的线性齐次性，将利益基数固定为初始保费$P$，仅计算账户价值比例对应价值。

- 数值基于扩展的双树模型，通过精确匹配随机过程一阶和二阶矩及相关性构造概率转移矩阵，从根本上克服了蒙特卡洛方法的收敛慢和噪声高问题。

• 支持多种提取策略的公平费率反复迭代计算，展现极强灵活性和高效数值性能。

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6. 风险因素评估

• 保险风险：

- 健康状态转移的不确定性，模型基于历史数据构建，存在估计误差风险。
- 人口老龄化带来的长期护理需求升高风险。

• 市场风险：

- 基金资产波动率较高，直接影响账户价值及合同支付能力。
- 利率随机波动趋势及其与基金的相关性，影响贴现因子和策略选择。

• 契约风险：

- 退保权（surrender option）引入提前行权风险，影响现金流时机。
- 提取灵活性增加计算复杂性与不确定性。

• 模型风险：

- CIR模型对利率为非负假设及参数估计的不确定性。
- Markov多状态健康模型简化实际健康演进，忽略投保人异质性及行为因素。

• 缓解措施：

- 模型多参数敏感性分析，保证对不同市场情景的稳健性。
- 采用更准确的风险中性定价，假定死亡与伤残风险可分散。
- 保持模型灵活性和可扩展性，适应未来政策和市场变化。

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7. 批判性视角与细微差别

• 论文采用风险中性测度下的均值最大化标准计算策略，忽略了消费者可能的风险厌恶和行为偏差，真实行为或偏离最优提取策略（作者也在Remark 4中提及，表明模型有扩展空间）。

- 阻止考虑健康风险的非非系统性风险分散假设对价格影响，可能低估风险溢价。

• 利用历史数据估计的状态转移概率，可能未能准确反映未来医疗技术和社会政策演变影响；特别是在COVID相关长期影响方面存在不确定性。

- 动态提取策略虽灵活，但优化过程复杂，实际投保人是否完全理性优化尚存疑。

• CIR模型固有先验假设可能无法完全适应复杂利率环境，尤其负利率及极端市场条件下。

- 数值方法依赖较细时分辨率与节点设置，虽有优化，但计算负担仍较大，实际应用可能受限。

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8. 结论性综合

本论文提出的GLWB-LTC变量寿险年金产品在现有LCA-GLWB合同基础上进行了重要创新：

• 动态提取策略的灵活性允许投保人根据健康状况和市场变化调整提取金额，包括不提取、最低保证提取及退保三种最优策略选择，极大提升合同设计的用户吸引力和契约经济效益。

- 引入随机利率CIR模型，更全面捕捉经济环境的不确定性，反映长期保险合同利率风险对合同价值的影响。

• Tree-LTC二维树模型数值方法，通过联合的账面账户与利率状态离散建模，以及相关性考虑，解决了传统蒙特卡洛方法效率低、收敛慢等不足，实现了更快速且稳定的定价。

- 数值结果显示，动态提取与退保策略会提升保险费用$\alpha$，但提升幅度合理；利率波动率与其与基金的相关性显著影响费率，市场机制与合同设计中需予以重点考虑。

• 健康状态模型基于7状态Markov过程，有效捕获残疾等级转移，符合Solvency II风险管控要求，同时与现有文献保持连贯有效。

- 合同设计兼顾保障长期护理风险与寿险年金支付，价格适中，预示该类产品有望在私营保险市场填补公共长期护理保险覆盖不足，提升市场渗透率。

• 图表（特别是图1与图2）直观体现出利率风险特征对费率的非线性影响及动态提取策略在不同年龄和健康状态下的优化区域，为产品定价和风险管理提供了直接依据。

综上，本文系统整合寿险、长期护理和金融市场风险，提出了一种先进的动态风险管理保险产品定价框架及有效的数值算法，填补了变额年金产品计价与设计的研究空白，对现实保险产品开发与风险定价具有重要理论与实践价值。[page::0-27,28]

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详细图表列表

| 图表编号 | 内容描述 | 主要洞见 | 数据解读 |
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| 表1 | 参数符号与赋值 | 明确合同及模型参数基础，涵盖资金、利率、费用、年龄及健康状态 | 参数合理，反映保险市场实际 |
| 表3 | BS模型不同数值方法下费率公平价对比 | Tree-LTC准确高效，优于MC和MC-CV | Tree-LTC计算时间极短；结果稳定 |
| 表4 | BS模型下不同年龄费率 | 随年龄增大，费率降低；LTC组件增加费率 | LTC荣获市场认可，费率上升有限 |
| 表5 | BS模型不同策略费率对比 | 动态策略使费用提高，但增加可控 | 灵活策略增加保费成本，稳健结果 |
| 表6 | BS模型合同初始价格 | LTC案例价略高，策略多样性增值有限 | LTC保障可吸引客户，价格适中 |
| 表7 | BS-CIR模型数值方法参数设定 | 类似BS模型，参数匹配型 | |
| 表8 | BS-CIR模型不同数值方法费率 | Tree-LTC方法依然稳定快速，MC更慢 | 模型改进带来效率优势 |
| 表9 | BS-CIR模型不同起始年龄费率 | 与BS模型趋势一致 | 加入随机利率后误差小 |
| 表10 | BS-CIR不同策略及基金波动费率 | 费率随规则更灵活和基金波动增加 | 市场波动性影响显著 |
| 表11 | BS-CIR不同利率波动情境下费率 | 费率对利率波动响应复杂，受相关性影响 | 低波动时接近BS模型，高波动加剧风险 |
| 图1 | 利率波动与费率及相关性关系图 | 负相关利率初期费率下降后反弹，正相关持续增长 | 指导资产选择，实现费率优化 |
| 图2 | 动态提取策略区域图 | 绿色不提取，白色最低提取，橘色退保 | 策略随账户价值和利率环境动态选择 |
| 图3 | 利率树构建示意图 | 有效节点与不可达节点区分，提供计算效率示例 | 优化节点处理，降低计算消耗 |

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关键术语解析

• GLWB（Guaranteed Lifelong Withdrawal Benefits）：保险合同保障投保人终身定期提款的权利，提取金额通常基于一定基数。

- LTC（Long-Term Care）：长期护理赔付，针对投保人因健康原因导致的残疾或生活自理能力降低的经济支持。

• CIR模型（Cox-Ingersoll-Ross）：一种均值回复的随机利率模型，确保利率非负。

- 风险中性测度：用于理论定价的概率测度，风险溢价被消除，利率与资产价格的增长速率为无风险利率。

• 动态规划：处理多阶段决策问题的方法，通过递归地计算最优决策序列。

- 美式期权：允许持有人在到期之前任何时间行权的期权，退保权被视作此类期权。

• 模拟方差缩减（Control Variates）：统计方法，通过引入相关变量减少估计方差，提高模拟效率。

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综上，本文系统提出了一个包含长期护理赔付和终生多次动态提款权的新型寿险年金产品GLWB-LTC，基于随机利率和动态控制下的递归评估框架，采用高效的树形数值算法，显著提升了产品定价的精度和效率，凸显了灵活提取策略对保障与吸引力的双重贡献。此研究具备重要学术及行业推广价值，对于金融保险产品创新、风险管理及政策制定均有积极启示意义。[page::0-37]

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