研究背景与问题定义 [page::0][page::1][page::6]

• LSP允许ETH质押同时保有流动性，LST作为衍生代币可用来借贷、再质押及AMM做市。

- 文章聚焦投资者在LSP与AMM之间的初始资产分配和最优退出时机两大决策问题。

• 投资者资产形式：未质押ETH、通过LSP质押获取LST、以及作为AMM流动性提供者的LP份额。

投资者的最优资产配置及流动性提供条件 [page::7][page::8][page::9][page::11]

| 参数 | 说明 |
|----------------|-------------------|
| $a$ | 直持ETH比例 |
| $1 - a$ | 质押ETH比例 |
| $x$ | 提供给AMM的LST数量 |
| $y$ | 提供给AMM的ETH数量 |

• AMM采用恒定乘积做市商（CPMM）模型，保证池内价格与外部市场价格一致，成交不影响边际汇率。

- 流动性提供条件为供给的LST和ETH价值需等同，即满足比例 $y/x = P_0$。

• 最优解为等风险分配策略，质押与AMM流动性均分，且AMM手续费需满足一定下限才能激励流动性供给，手续费机制显著影响参与意愿。

最优退出时机建模与分析 [page::13][page::14][page::16][page::17]

• 退出决策通过最优停时问题刻画，构造自由边界问题，采用拉普拉斯变换寻找固定价格阈值的停时策略。

- 在无手续费情况下，投资者收益分解为不可避免的非永久性损失（impermanent loss）和机会成本，两者表现截然不同：
- 非永久性损失始终为负，即流动性提供必然遭受相对损失。
- 机会成本对价格下跌时转化为“机会收益”，正向补偿非永久性损失。

• 数值分析表明，止损策略（当价格跌破下限时退出）能实现正收益，优于止赢策略。

交易手续费对退出策略的影响 [page::18][page::19][page::20][page::21]

• 手续费累积随时间及价格变化呈指数增长，显著提升投资者持仓价值，进一步强化止损策略的有效性。

- 手续费积累的强不对称性导致投资者更倾向于延迟退出，以获取更高的交易费用收入。

• 价格触及上界的概率远低于下界，费率结构及概率因素共同促成止损为优策略。

数值实验与参数敏感分析 [page::21][page::22][page::23]

| 参数 | 变量范围 | 出参示例 |
|----------------|----------------|-----------------------------------|
| 质押奖励 $r$ | 0.12 - 0.20 | 退出阈值 $c^*$ 随 $r$ 变化显著下降 |
| 价格增长 $g$ | 0.12 - 0.14 | 退出阈值随 $g$ 增加而略微升高 |
| 手续费上限 $K$ | 2 - 6 | 退出价格趋近于0，投资者持仓至手续费上限 |

• 交易手续费降低最优价格阈值，说明有手续费时投资者愿意持有更久，增强流动性激励。

- 模型参数变化对投资者退出决策产生一致影响，体现收益与贴现率差异的重要性。

• 数值结果与理论一致，验证模型的有效性和实用性。

关键定理与机制设计结论 [page::11][page::12]

• 投资者参与AMM流动性提供的充分必要条件为累计贴现手续费超过由非永久性损失和机会成本构成的函数 $\Phi(t)$。

- 明确给出交易费率的解析形式，实现最低水平的激励费机制设计。

• 该机制对LSP和AMM开发者提供有指导意义，可调节费用以优化市场参与率。

金融研究报告详尽分析报告

报告标题：《Optimal Decisions for Liquid Staking: Allocation and Exit Timing》
作者： Ruofei Ma, Zhebiao Cai, Wenpin Tang, David Yao
发表机构： 哥伦比亚大学工业工程与运筹研究系
报告日期： 2025年（原文内容体现时序至2025年）
研究主题： 液态质押协议（Liquid Staking Protocol, LSP）与自动做市商（Automated Market Maker, AMM）中投资者的最优资产配置及退出时机决策。主要聚焦于以以太坊生态下的液态质押及其由此衍生的流动性提供决策问题。

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一、元数据与报告概览

本报告旨在深入研究投资者在结合液态质押协议（LSP）及基于其衍生资产的自动做市商（AMM）中所面临的关键决策：初始资产分配及退出时机。作者构建了一个理论框架，从投资者视角分析其最优策略，并提出对协议设计者具有指南意义的机制设计建议。

具体核心内容包括：

• 优化初始资产的三部分配置：未质押ETH、液态质押获得的LST（流动性质押代币）、基于LST和ETH双边的AMM流动性提供份额。

- 条件分析显示存在临界交易费用阈值，超过该阈值投资者才有激励参与AMM流动性提供。

• 利用随机微分方程、拉普拉斯变换与自由边界技术，形式化并解析退出决策问题，推导投资者收益、最优退出门槛及其与费用结构的关系。

- 理论与数值并重，提供了明确的经济机制和策略建议。

本报告在流动性、风险、激励机制设计三方面对以太坊PoS生态下的新型DeFi行为进行了系统研究，贡献独到，兼顾理论严谨与实操指导意义。[page::0,2,3]

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二、逐章深度解读

2.1 引言与背景（Introduction）

报告背景源自DeFi快速发展及以太坊向PoS主网转型，液态质押协议（LSP）成为锁定ETH获得收益同时保持流动性的重要创新。LSP允许用户质押ETH，并获得流动性质押代币（LST），该代币可在其他DeFi应用中自由使用，包括借贷、交易、再质押及提供AMM流动性。本文聚焦于使用LST在AMM中提供流动性策略。[page::0]

LST代表对质押ETH及其收益的权利，有rebasing（重基准）型和reward-bearing（奖励累积）型两种。以Lido发行的stETH为例采用rebasing机制，RocketPool发行的rETH为奖励价值上升型。[page::5]

初步数据显示，液态质押市值激增，例如stETH的市值从2021年初的2000万美元增至2023年中150亿美元，占全网质押总额的30%以上，体现该市场巨大活力和影响力。[page::1]

2.2 投资者的两大决策问题

本文聚焦两大最优决策：

1. 最优资产分配问题： 如何在未质押ETH、LSP质押获得的LST、以及LST与ETH在AMM池中提供的流动性三者之间进行最佳比例配置。

2. 最优退出时机问题： 在AMM流动性提供后，何时退出以最大化预期收益？

同时，报告通过建立价格动态为几何布朗运动模型，考虑现实中交易费用和退出折现成本，深化此问题。[page::6]

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3. 最优资产分配（Optimal Allocation）

3.1 Constant Product Market Maker （CPMM）模型及其公平性

选用当前市占率最高、结构成熟的CPMM（如Uniswap）模型，池内两种资产的资金量满足 $UV=L$ 常数积不变。投资者持有的流动性份额可按比例分解，且其资产价值无因其他流动性提供者变化而变化，体现投资公平性。此外，CPMM池内价格由外部市场价格驱动（套利保证内外价一致）。这一特征保证了流动性提供者能公平获得其份额收益。[page::7-8]

3.2 流动性提供条件

流动性提供必须满足：

$$
\frac{y}{x} = P0,
$$

即投资者投放到AMM的LST和ETH价值相等，保证不影响池内的边际兑换率，维护AMM内外价格一致性。这是AMM设计的重要经济约束[page::9]。

3.3 优化问题建模

投资者在时点$t$退出时，资产总值由以下部分构成：

• 提供流动性的资产（重平衡后价值，具体为$2\sqrt{x y Dt Pt}$）

- 未放入AMM的LST及未质押的ETH持仓

• 质押收益

- 交易费用收益（视具体交易费用率的积分累计）

投资者贴现率$\rho$纳入考虑，形成整体期望现值最大化问题，约束条件包括资金量限制、流动性提供比例和比例之间的关系[page::10-11]。

3.4 最优解及交易费用临界阈值

求解显示：

• 当交易费用累计超过某一函数$\Phi(t)$，投资者最优策略是将其未质押ETH全部投入AMM，配置为$50\%$ ETH质押，$50\%$ AMM流动性提供。即

$$
x^{\star} = \frac{1}{2P0}, \quad a^{\star} = \frac{1}{2}.
$$

• 该临界费用$\Phi(t)$由AMM提供的交易费用需覆盖两部分成本：不完全资金质押导致的机会成本和因价格变动的永久损失（impermanent loss）。这使设计者明确需设置的最低交易费用水平，保障投资者参与意愿。

- 对不同LST类型（rebasing与奖励累积）均给出了相应费用函数的显式表达式，供AMM设计者参考制定合理费率。[page::11-12]

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4. 最优退出时机（Optimal Exit Time）

4.1 自由边界问题（Free Boundary Problem）形式化

基于第三章最优分配结果，投资者持有$50\%$ ETH质押及$50\%$ AMM流动性，目标函数为投资者所能获得的净超额收益。定义价值函数为投资者在停时策略下最大化该函数的期望收益。

该动态决策问题被转化为自由边界问题，其价值函数满足带边界约束的偏微分方程。然而，由于时间依赖边界存在计算复杂性，本文限制停时规则为穿越固定阈值的形式，便于实际执行。[page::13-14]

4.2 固定阈值停时的拉普拉斯变换表达

定义退出临界价格水平$L$对应变量$c=\frac{1}{\sigma}\ln \frac{L}{P0}$，通过拉普拉斯变换方法，获得离散停时的期望收益具体表达式，并分正负阈值两种情形进行深入分析。[page::14-16]

4.3 无交易费用情形分析

• 投资者净收益分解为两部分：

- Impermanent Loss（流动性永久损失）：因AMM双资产价格变动导致的资产价值下降，永为负。
- Opportunity Cost（机会成本）：仅质押半数ETH可能导致错失全额质押收益。

• 有趣的是，当退出阈值$c<0$（即价格下降触发退出）时，机会成本转为正值，这来自于未质押的ETH不受价格下跌的影响，抵消了部分流动性亏损，甚至整体收益为正。

- 相反，当$c>0$时，机会成本及流动性亏损均为负，总收益必然为负。说明投资者理应采用止损策略，在价格跌至一定下限时退出。

• 理论结果经数值验证，证明了止损策略在无费用环境下的理性性。[page::16-18]

4.4 有交易费用情况

交易费用带来额外收益，并在累积到设定上限$K$时停止增长。研究表明：

• 交易费用期望在上下两个阈值区间均为正，对于$c<0$的下行阈值，费用的几何增长特性使得投资者收益进一步提高。

- 因此，有费用情况下，投资者更倾向于延迟退出，止损阈值变得更低，停留时间更长。

• 交易费用的存在强化了止损策略的合理性，并推动投资者利用此策略以最大化收益。[page::18-19]

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5. 数值分析与深入洞察

5.1 目标函数三组成分分解

数值实验分别对$c>0$（止盈策略）和$c<0$（止损策略）两情况分析发现：

• 止盈策略下，机会成本及永久损失是亏损的主因，交易费用收入无法弥补，整体负收益明显（图3）。

- 止损策略下，机会收益可以抵消部分甚至超过永久损失，交易费用快速累积大幅提升净收益，整体收益正向（图4）。

这反映出价格方向性对流动性提供回报的深远影响，止损策略对投资者更有利。[page::20-21]

5.2 交易费用结构对策略的影响

交易费用表达式包含多个呈指数函数形式的项，且设有上限$K$，当$c<0$时呈指数膨胀，表明投资者在价格下行空间内能积累大量费用补偿损失。结合停时发生概率的差异（$c<0$几乎必然发生，$c>0$概率递减），形成厚重的收益“左尾”。因此，交易费用机制显著影响停时策略偏好，并促使投资者延长持仓时间。[page::21]

5.3 最优退出阈值特征

目标函数在$c>0$时单调负，非最优区域；在$c<0$时呈现凹型，有唯一内点极大值$c^<0$，对应最优退出阈值$L^=P0 e^{\sigma c^}$。该阈值代表投资者理应在价格跌至该水平时退出，以权衡流动性损失与费用收入的收益最大化。此策略体现理性止损行为且带有费用累积收益的积极动因。[page::22]

5.4 参量敏感性分析

表格1、2及附录表格4-7展示了不同模型参数（质押奖励$r$、价格增长率$g$、折现率$\rho$、退出折现$m$、交易费用上限$K$）下最优阈值的变化趋势：

• 交易费用存在时，最优退出阈值$c^$明显更负，意味着投资者愿意承受更低的价格才退出，停留时间更长。

- 随着$r,g$（奖励收益相关项）降低，或$\rho,m$（贴现与退出折现）升高，差值$r+g-\rho-m$减小，投资者更倾向延长流动性提供期限，从而阈值呈降趋势。

• 投资者停留时间受奖励率和折现率的平衡强烈影响，反映费率设计与经济环境对流动性策略的关键作用。

- 费用上限$K$限制了最大累计费用，对策略凸显边界效应。[page::23-35]

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三、图表深度解读

图1（液态质押代币的典型用例）

展示LST从LSP到投资者手中后，可流动进入四大DeFi用途中（借贷、流动性提供、交易和再质押），本研究聚焦“流动性提供”这一用例。视觉清晰呈现LST的多元应用场景。[page::1]

图2（液态质押与流动性提供流程）

详细示意1 ETH初始资金如何拆分为未质押部分$a$ 和质押部分$1-a$，质押后换取LST，并在AMM中用LST与ETH配对提供流动性。图中公式清晰展示了奖励的累计方式以及后续流动性提供的变量分配(x,y)。直观反映资金流动与收益结构。[page::7]

图3（$c>0$时的目标函数分解）

左图（无交易费）和右图（含交易费）均显示，机会成本和永久损失导致整体价值明显为负，费用收入虽有正贡献但无法弥补亏损，强调止盈策略不优。[page::20]

图4（$c<0$时的目标函数分解）

左图（无交易费）与右图（含交易费）均显示机会成本变正，费用高度累积时整体收益转正，验证止损策略下投资者能获得正期望收益，费用是关键价值推动力。[page::20]

图5（目标函数整体形态）

对比无费用和有费用情况下，目标函数在$c<0$区间呈现单峰凹形，且有费用时峰值更明显且峰值更负，说明费用促使投资者接受更低价格做出退出决策。$c>0$区间均为负值，说明不建议采用止盈策略退出。[page::22]

多张表格（1-7及附录）

涵盖对关键参数的敏感性分析。数据展示最优退出阈值$c^$与相应价格$L^$，以及最大目标函数值$V^*$，从数量值量化了费用与参数对退出时机的影响机制，支持理论结论的实证验证。[page::23-35]

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四、估值分析与经济含义

本报告中的估值分析主要体现在：

• 资产价值基于全景风险贴现模型及流动性提供后资产重构价值。

- 采用几何布朗运动描述LST价格动态，结合收益贴现与流动期限折现。

• 利用常数积函数市场制造者（CPMM）不变式确定LP资产价值，体现内外价格均衡。

- 对退出问题构建自由边界与停时模型，利用最优停时理论和拉普拉斯变换精确刻画退出时机最大化期望收益的边界。

• 交易费用分布式累积模型细化了收益结构，将费用与损失并列形成综合收益指标，帮助阐释投资行为。[page::7-14,27-32]

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五、风险因素评估

本报告未明确给出独立风险章节，但通过模型与假设可见涉及的风险主要包括：

• 价格波动性风险： LST价格的高波动使流动性提供带来潜在损失，具体表现为impermanent loss。

- 退出延迟与流动性风险： LSP退出时存在的赎回延迟和排队机制，影响资产套现时的折现率$m$，降低即时流动性。

• 费用波动与激励不足风险： 交易费用需达到临界阈值才激励投资者参与流动性提供，费用设计不当可能导致流动性不足。

- 模型假设风险： 例如几何布朗运动对价格的拟合、交易费用率随时间变化的假设可能与实际市场偏离。

• 市场参与者行为风险： 模型假设投资者理性权衡风险收益，实际行为可能受情绪、信息不对称等因素影响。

报告局部假设了经济环境和参数合理性，折现率和波动率等约束条件也体现了防范极端风险的意图。[page::15,23-24]

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六、批判性视角与细微差别

• 报告整体假设严格且建立在理性经济人和数理模型基础上，可能忽略现实中行为金融、流动性挤兑、市场操纵等复杂因素。

- 费用函数设计虽提供理论上可达成的最低费用机制，但现实协议中费用结构更为复杂，需结合协议治理和市场反馈调整。

• 优化解的“50%质押，50%流动性”策略受到CPMM结构限制，但实际交易者可能因手续费、滑点、持币成本偏好不同而调整。

- 出口时间模型限制为固定阈值简化，忽略了时间依赖边界的路径依赖及动态调整，实际操作可能更复杂。

• 报告虽多用数学符号与高阶工具，但部分重要理论假设（如价格动态的泊松跳跃风险等）未被纳入模型，可能影响结果泛化。

- 交易费用为主导激励机制的观点契合当前市场事实，但忽略了协议激励（如流动性挖矿等）对流动性提供的贡献。

综合来看，报告在理论层面极其严谨，但离实际市场存在一定距离，尤其在费用设计多样化和行为复杂性方面，后续研究可进一步加强。[page::11,13,18,23]

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七、结论性综合

本文构建了一个结合液态质押与基于其的AMM流动性提供的综合模型，系统探讨投资者在三种资产形态（未质押ETH、质押得LST、AMM流动性份额）之间的最优配置及流动性退出时机。理论成果及数值模拟汇总如下：

• 投资者配置策略受到交易费用的强烈影响，存在较为明确的费用临界阈值，确保投资者参与AMM流动性提供的正向激励。

- CPMM模型公平原则指导投资者资产配置呈现$50\%$ LST与ETH对等配对的特殊结构，此结构源于价格机制与池内价值均衡。

• 投资者应采取止损型退出策略，即设置下限阈值，当LST价格跌至该阈值时退出流动性池。在无费用情况下，机会成本正收益可覆盖部分流动性损失，验证止损策略合理性。

- 交易费用存在时，投资者更倾向延迟退出，通过积累交易费用实现整体收益最大化，导致止损阈值更低，停留时间更长，从经济学角度解读交易费用促使市场流动性稳定。

• 数值研究证实理论结论，且揭示退出阈值与质押奖励率、价格增长率、折现率等参数的敏感关系，具备指导 AMM协议费率设计及用户策略选择的实践价值。

整体来看，作者结合数学物理方法、随机控制及最优停时理论，有效解释了液态质押生态下投资者面临的复杂决策。报告所揭示的费率设计门槛及止损退出行为为DeFi协议设计及投资策略提供了理论与实证基础，具有高度的学术价值和应用前景。

核心图表示意总结

• 流动性质押生态多元应用构成（图1）；

- 投资者资金流程及资产分配结构（图2）；

• 目标函数及收益构成的正负区间及交易费用影响（图3、4、5）；

- 退出阈值的定量数值分析（表1-7）全面展示了模型的经济解释力与实操指导价值。[page::1,7,20,22,23-35]

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八、总结

报告《Optimal Decisions for Liquid Staking: Allocation and Exit Timing》全面系统探讨了以以太坊生态下液态质押与AMM流动性提供为核心的投资者资产配置和退出优化问题，结合先进的数学经济模型及丰富数值实验，明确了：

• 优化配置策略需交易费用支持，存在最低费用阈值；

- 投资者利用止损退出策略抵御价格风险，实现收益最大化；

• 交易费用可延长持仓时间，促进市场流动性稳定；

- 经济参数对策略选择有显著影响，建议协议设计者结合用户行为与参数制定合理激励机制。

该研究成果为DeFi协议设计、流动性风险评估及投资行为预测提供了宝贵的理论工具和实践指导，是当前数字资产金融研究领域的重要参考文献。

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附注

本文分析严格依据报告原文内容，对公式表达、理论模型、图表数据均做详尽解读，遵守规范附加引用页码，确保内容可追溯与精确，避开非报告内容的主观臆断。【完】[page::0-36]

报告