• 论文针对无摩擦市场中等价局部鞅测度(ELMM)缺失且存在套利的情形，建立了一种局部无自由午餐(NFLVR)条件下的定价与对冲新框架，并引入一般的交易约束（交易策略取值于凸锥） [page::0][page::2][page::3]。

- 对于美国期权，定义了一种广义的超额对冲策略，其中卖方允许在买方行权后继续交易，利用套利机会降低对冲成本，较传统卖方停止交易模型具有更强实用性 [page::1][page::4][page::9]。

• 采用乘积空间结构与弱*拓扑，证明了超额对冲相关集合的闭性，利用Hahn-Banach定理构造新的定价系统，推广了资产定价基本定理（FTAP），并提出了(D × Θ)-定价系统用于美式期权定价，Θ为行权时间集合 [page::5][page::6][page::17][page::20]。

- 新的定价系统以测度密度家族（非负过程向量）形式表达，对应不同时刻和局部化序列，满足特定的超鞅性质，系统地涵盖了价格过程的交易约束以及行权时间间的动态条件 [page::6][page::7][page::8]。

• 推导美国期权的超额对冲对偶定理（Theorem 3.14），即美式期权超额对冲价格等于其在新定价系统下的期望上确界，且卖方策略允许持有负财富，超额对冲问题等价于扩展空间欧式期权超额对冲问题 [page::9][page::22]。

- 对欧式期权，同样证明了在局部NFLVR条件和交易约束下的超额对冲对偶性，理论可规约为基于等价局部鞅贴现因子的表达，价格考虑了信用约束影响，套利存在时期权价格可能低于经典定价 [page::10][page::11][page::12]。

• 通过严谨的函数分析方法，替代传统选项分解和重标度技术，适用于包括负财富过程、交易约束、分红和流动性成本等复杂市场因素，拓宽了数学金融对冲理论的适用范围 [page::4][page::9][page::22]。

研究报告详尽分析报告

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1. 元数据与概览

• 标题：A general framework for pricing and hedging under local viability

- 作者：Huy N. Chau (曼彻斯特大学数学系)，Miklós Rásonyi (Alfréd Rényi 数学研究所及 Eötvös Loránd 大学)

• 日期：2024年12月2日

- 主题：提出局部可行性条件下无摩擦金融市场衍生品定价与对冲的通用框架。重点研究在等价局部鞅测度（Equivalent Local Martingale Measure, ELMM）不存在的情况下，尤其是局部无自由午条件（NFLVR）仅在局部成立时对美国期权的定价和对冲。

核心论点及贡献：

• 提出一种新的定价和对冲框架，适用于局部 NFLVR 成立但不一定全球成立的市场，解决了ELMM不存在模型中的诸多问题。

- 针对美国期权，建立了新的超额对冲对偶性，该对偶性适用于投资组合可为负且交易策略受到凸锥约束的情况，这解答了Fernholz, Karatzas和Kardaras提出的开放性问题。

• 引入针对美国期权的“广义策略”概念，允许期权卖方在买方行权后继续交易以利用市场套利机会，降低对冲成本。

- 对欧洲期权定价给出了基于等价局部鞅折现因子（ELMD）的新对偶定价结果，支持负投资组合和交易约束。

总体而言，作者突破了以往在ELMM不存在情况下美国期权定价缺乏卖方对冲论证的瓶颈，赋予了美国期权更广泛的适用性和理论支撑。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要与引言（第0-1页）

• 关键论点：FTAP将无套利条件与可存在等价局部鞅测度联系起来（引用早期关键文献[15],[18]等）。然而，NFLVR条件过于严格，实际中局部会出现套利机会（如三维贝塞尔过程模型[17]、随机组合理论[24]）。

- 现有替代方案：基准法（benchmark approach）和弱无套利概念NUPBR（No Unbounded Profit with Bounded Risk）为此类市场提供理解工具。

• 针对美国期权的挑战：大多数文献假设ELMM存在。缺乏ELMM时，美国期权的最优行权时刻和卖方对冲目标不明确，[3],[34]有少量探讨。

- 作者贡献点：
- 建立局部NFLVR条件（仅在停止时间序列范围内成立）框架。
- 引入允许卖方在行权后继续交易的广义策略以降低对冲成本。
- 建立超额对冲对偶性理论，不依赖数值度量变换，适用负资产组合和交易约束。

2.2 模型设定（第2-3页）

• 设定为一组合适的概率空间，含$d$种局部有界半鞅资产价格$S=(S^{i})$和无风险资产。

- 交易策略与约束：
- 策略$H$受凸锥约束，$Ht(\omega) \in \mathfrak{C}$。
- $x$-可接受策略定义为：策略产生的财富过程下界为$-x$。

• 无套利条件：

- $NA\mathfrak{C}$：无确定无风险盈利策略。
- 局部$NA\mathfrak{C}$根据局部化停止时间序列$Tk$定义，仅在每个$[0,T\wedge Tk]$内无套利。

• NUPBR与NFLVR的定义及关联：

- 明确NUPBR和NFLVR条件以及其局部版本的定义。
- 说明局部NA不一定推广至全局NA，因此局部NFLVR允许套利。

• 核心定理（2.7）：无交易约束下（$\mathfrak{C}=\mathbb{R}^d$），NFLVR等价于存在相当测度$Q$令$S$是局部鞅。

- 等价局部鞅折现因子（ELMD）定义与其与NUPBR等价关系，指出以往研究仅关注非负财富过程，本文拓展至允许负财富及约束策略。

2.3 美国期权定价与对冲（第4-9页）

• 美国期权定义为一族停止时间的支付流程，欧洲和Bermudan期权为特例。

- 主要假设（3.1）：
- $S$满足局部NFLVR。
- 权益流$\Phi$右连续下半连续。

• 超额对冲价格定义：

- 引入了广义策略集$\widetilde{\mathcal{A}}^{\mathbb{T}}$，策略由行权前策略$H$和行权后策略$H(\tau)$组成，允许卖方行权后继续调整部位。
- 超额对冲价$\pix^A(\Phi)$定义为存在策略$\widetilde{H}$和初始资金$z$使得最终财富覆盖任意行权时间支付。

• 运用产品空间和$\mathbf{w}^$-拓扑，克服无穷多个停止时间及策略维度增加的分析难点。

- 局部NFLVR条件等价于约束空间超额对冲集合闭合性（命题3.2、定理3.3）。

• 定义新定价系统：

- 在产品空间下形成概率测度向量$\mathbf{Z}$满足分段超鞅性质（条件(18)，(19)），适配局部时间和停止时间之间的价格过程表现。

• 与传统ELMM对比示例（例3.6），强调更广泛的适用性和设计灵活度。

- 价格系统支持美国期权资产组合过程的超鞅结构（命题3.9），适用不等同性价或有无短仓约束。

• 版本的第一基本定理（推论3.12）：

- 局部NFLVR、定价系统存在性等价。

• 美国期权超额对冲关联条件与产品空间上的欧洲期权超额对冲问题等价（命题3.13）。

- 核心定理3.14：
- 给定适当信用约束，存在策略能对冲美国期权支付等价于初始资本超过新定价系统下期望最大值，实现了超额对冲对偶关系。

2.4 欧洲期权定价（第10页开始）

• 继承美国期权框架下简单化的欧洲期权；

- 超额对冲定价可利用ELMD产生的测度集合表达，定价简洁且涵盖信用约束影响（定理4.1，命题4.2）。

• 价格随局部停止时间序列极限存在，金融上解释为卖方可利用信用约束及套利机会降低价格。

- 未来扩展讨论：
- 考虑不局部有界资产和更多交易摩擦。
- 应用到含多次行权、冲击、对冲交易摩擦的复杂衍生品和大市场。

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3. 图表与产品空间结构深度解读

本报告以数学定理和定义为核心，主要通过抽象产品空间与金融策略集的关系呈现新框架，无传统图表。以下通过理论结构解析：

3.1 产品空间及其拓扑

• 定义：

- 产品空间$\mathbf{L}{t}^{\infty,D\times\Gamma} = \prod{k\in D, \theta \in \Gamma} L^\infty(\mathcal{F}{t\wedge Tk},P)$，采用弱拓扑；
- $\mathbf{L}{t}^{\infty,D\times\Gamma,b}$是上下界有限的子空间，关键用于保证Fatou闭合性质和对称空间拓扑条件下分离定理的应用。

• 意义：

- 产品空间允许合并不同停止时间及局部市场对策略财富的分析，将美国期权多个可能行权时刻转换为欧洲期权问题，使用拓扑和范数封闭性为定价和对冲成立提供数学基础。

3.2 广义策略集合$\widetilde{\mathcal{A}}{x}^{\mathbb{T}}$及超额对冲集合$\widetilde{\mathbf{C}}^{D\times\Gamma}$

• 结构：

- $\widetilde{H} = (H, (H(\tau)){\tau \in \mathbb{T}})$，行权前后策略拆分结合，允许灵活调整。
- 终端财富向量$\left(\widetilde{W}T^{k,\theta}(\widetilde{H})\right){k,\theta}$组成对应超额对冲集合$\widetilde{\mathbf{K}}x^{D\times\Gamma}$。

• Fatou闭包和$\mathbf{w}^*$闭包：

- 关键定理3.3建立了该超额对冲集合在合适拓扑下闭合，为双对偶定价理论提供了数学必备前提。
- 证明依赖于策略集和财富过程的半鞅收敛性质，以及测度的适当选择和拓扑空间紧性。

3.3 新型定价系统$\mathcal{Z}^A$

• 由一组$Z^{k,\theta}$组成的局部测度向量，满足分段超鞅条件(18),(19)；

- 能够体现卖方在买方行权后继续交易收益流的超额风险调整价，由分段加权局部马尔可夫性质加强价格解释；

• 本质上是ELMM的推广，适用于无全局ELMM存在但局部局部无套利的复杂市场。

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4. 估值分析

• 主要估值采用超额对冲定价方法，基于合适策略集合的最低初始资本。

- 通过分离定理与双对偶关系，推广了经典用于欧洲期权的ELMM等价准则至美国期权及信用约束下的情况。

• 对美国期权，定价系统$\mathcal{Z}^A$对应所有可能行权时间和局部市场态，价差体现在优化问题的期望上。

- 对欧洲期权，收敛序列对应不同的局部停止时间市场，极限对应整体交易期，单一ELMD可表示定价因子。

• 信用约束$x$显著影响定价表达式，确保负财富下的对冲安全性，体现更贴近实际交易限制。

- 估值结果展示定价不仅是风险中性期望，也是逼近无套利区间的极限，洪流交易策略集合的拓扑性质保障了估值的数学合理性。

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5. 风险因素评估

• 套利机会局部存在，局部NFLVR允许全局套利，金融环境下潜在激励卖方调仓获利，故卖方必须调整策略，风险管理复杂。

- 负财富可接受性带来的信用风险，对冲时需设置下界$x$，体现资本缓冲需求。

• 交易约束及凸锥限制导致策略选择受限，影响能否实现无套利对冲，风险为策略执行失败。

- 模型内核依赖局部停时序列，实际执行中对停时的估计偏差可能导致原假设失效。

• 报告未明确缓解策略，但结构性构建允许在模型框架内适应，结果为风险严格反映。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告极力推广局部无套利的宽泛性，但潜在风险是市场全局无套利缺失可能难以用传统风险衡量方法解释实际表现。

- 广义策略框架增加了数学难度和策略空间的复杂性，实际金融市场中实施可能受信息不对称和交易延迟影响。

• 定价系统的理论存在依赖测度选择与产品空间拓扑的抽象层面，具有较高的模型复杂度，难以直接用于计算实现。

- 局部NFLVR虽建构了理论基础，但未详述在全局NFLVR失败情况下的策略稳定性或多期均衡。

• 文本中多处假设带有理想化色彩（例如局部有界性，信用约束的固定性），未来研究需逐步放开这些条件。

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7. 结论性综合

本文构建了一个创新的局部可行性框架，实现了在无全局ELMM存在且NFLVR仅局部成立的严苛市场条件下，对美国及欧洲期权的定价和对冲。通过引入广义策略和产品空间，优化买卖双方权利与义务的时间轴协同，获得了：

• 全新的超额对冲对偶理论：将美国期权复杂的行权时间不确定性转化产品空间上的欧洲期权问题，实现了策略与价格的完全刻画。

- 价格系统推广ELMM：设计了满足分段超鞅性质的定价测度向量，兼顾了负投资组合和凸锥交易约束。

• 闭包性质与拓扑技术保证理论严密性：证明了超额对冲集合在关键拓扑下的闭合性，为对偶性和分离定理应用奠定基础。

- 信用约束对价格的影响明确：引入信用约束参数$x$，在非负约束放宽的环境下，保证卖方对冲可行性，且价格反映真实市场条件。

• 理论联系与文献比较：相较文献[34]，允许行权后卖方继续交易，更现实并具更低价格，同时理论基础更广泛且不依赖转换技巧。

- 欧洲期权估值结果规范且更易计算：在局部NFLVR且负投资组合允许的假设下，仍可用ELMD集合实现超额对冲定价。

综上，本文显著推进了衍生品定价理论，尤其是美国期权无全局无套利假设下的卖方对冲理论。该创新框架为理论及实务中的不完善市场提供了可行数学工具和逻辑基础，具有重要的理论与应用价值，是数学金融领域的一项突破。

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参考标注

• NFLVR与ELMM基础理论见[p.0][p.1][p.2][p.3]

- 广义策略与产品空间定义与拓扑结构详见[p.4][p.5][p.6]

• 定价系统定义与示例及其金融解释详见[p.6][p.7][p.8]

- 超额对冲闭包性质与基于Fatou收敛的论证见[p.12][p.13][p.14][p.15][p.16]

• 第一基本定理与定价系统等价性证明见[p.20]

- 超额对冲定价对偶关系详见[p.21][p.22][p.23]

• 函数分析与凸紧性基础见附录[p.23][p.24]

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总结

本文在极其严苛的市场模型假设下，突破传统ELMM依赖，建立了产品空间上的局部定价与对冲新体系，成功解决了美国期权卖方对冲不足的长期悬念，奠定了新的理论高地。核心的技术与观点在于适用负资产组合、局部无套利与凸锥约束的无摩擦市场，辅以拓扑闭包技术和广义策略设计，彰显了金融数学与泛函分析的深度融合和创新。

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