NUFFT与COS方法结合原理介绍 [page::0][page::1][page::2]

• COS方法基于Fourier-Cosine级数展开计算欧式期权价格，依赖特征函数与一组系数计算。

- 将COS方法转换成非均匀离散傅里叶变换，利用Type-2 NUFFT加速批量不同执行价期权价格计算。

• 提出两种COS公式改写为NUFFT形式，实现高效并行价格计算。

数值实验：Variance Gamma模型性能测试 [page::3][page::4]

| Case | T | Parameters Summary | M | L | Max绝对误差阈值 |
|------|-----|-----------------------------|------|----|------------------|
| 1 | 1.0 | r=0.1，平滑PDF | 128 | 10 | 1e-4 |
| 2 | 0.1 | r=0.1，代数奇异点PDF |1024 | 10 | 1e-4 |
| 5 | 0.1 | r=0.02，Log奇异点PDF |1024 | 10 | 1e-4 |

• 经典COS方法与NUFFT-COS在不同执行价数量上的定价速度对比表明，NUFFT方法在超过100个执行价时显著优于经典方法。

- 小批量执行价时，经典方法因无NUFFT开销反而更快。

Heston模型实验和性能趋势 [page::4][page::5]

| M | 方法 | 执行价数量 | 定价周期选项数（每毫秒） | RMSE | MAE |
|------|----------|------------|--------------------------------------|-------------|-------------|
| 256 | Classic | 10–2500 | 147k–444k | 5.62e-06 | 1.31e-05 |
| | NUFFT | 10–2500 | 84k–11839k | 5.62e-06 | 1.31e-05 |
| 1024 | Classic | 10–2500 | 36k–102k | 3.07e-10 | 6.06e-10 |
| | NUFFT | 10–2500 | 31k–6071k | 3.16e-10 | 1.15e-09 |

• 速度优势阈值与特征函数计算成本相关，Heston模型特征函数较慢，NUFFT在更小规模执行价时即显优势。

- 图1展示NUFFT COS方法吞吐量随执行价数线性攀升，经典方法趋于饱和。

结论及应用前景 [page::5]

• 结合NUFFT显著提升COS方法在多执行价欧式期权批量定价中的效率。

- 为概率密度快速计算及模型校准提供新途径。

• 方法依赖于特征函数计算成本及级数项数，适用广泛。

金融研究报告详尽分析报告

报告标题与元数据概览

• 标题： NUFFT FOR THE FAST COS METHOD

- 作者： Fabien Le Floc’h

• 发布日期/出处： 未明确标明具体发布日期，引用大量近年来文献，最新文献为2024年，明显为近期工作

- 主题： 提高基于 Fourier Cosine（COS）方法下欧式期权定价速度的数值计算方法，利用非均匀快速傅里叶变换（NUFFT）进行优化，实现多个不同执行价（strike）期权的极速批量定价。

• 核心论点： 该报告在介绍COS方法及其在欧式期权定价中的经典应用基础上，提出了一种创新性的用NUFFT（非均匀快速傅里叶变换）重写COS公式的技术，显著提升在同一期权期限下多执行价期权批量定价的计算效率。NUFFT-COS实现方法与传统COS进行对比，展示了在大规模期权定价中NUFFT优于经典方法的明显优势。

逐节深度解读

1. 引言

• 核心内容：

报告从非均匀离散傅里叶变换（NUDFT）的三种类型（type-1、type-2、type-3）入手，阐释其与FFT（快速傅里叶变换）的联系及其计算优势，解释NUFFT（NUDFT的快速算法）如何通过插值重采样等技术高效计算NUDFT。然后回顾了Andersen和Lake（2022）采用NUFFT计算欧式期权价格的三种主要方式（Parseval、密度、累积分布函数方法），指出Parseval方法尤其高效，甚至优于经典COS法。报告主旨是将COS方法通过type-2 NUFFT实现，加速大量不同执行价的欧式期权计算，激发计算效率的巨大提升。

• 推理与背景：

文本详细说明NUFFT的数学定义和区别类型，强调在实际采样点非均匀时FFT不能直接操作，NUFFT弥补此不足，因而成为高效数值计算的关键工具。论述引用了现代权威文献，体现技术前沿基础。

• 意义：

为后续提出基于NUFFT优化COS方法奠定了数学和技术基础，点明此技术使得大量执行价期权的批量定价变得可行且高效，为机构和量化策略实现工业级高性能计算提供技术保障。

2. 经典COS公式回顾

• 关键内容：

COS方法基于概率密度函数的Fourier余弦展开，核心以特征函数（$\phi$）表达期权价格。对金融资产的对数转移变量（资产未来价格相对于现在的对数变换）进行区间截断 $[a,b]$ 处理，利用模型的累积率（cumulants）选择区间以保证截断误差很小。根据经典公式，PUT期权价格用一系列加权余弦函数展开表示，其中参数$Uk^{\mathrm{Put}}$包含PAYOFF的傅里叶系数。

• 公式关键点解释：

- $F(0,T)$为到期时的远期价格（贴现股价调整），$x=\ln(K/F(0,T))$为对数执行价。
- $M$为展开阶数，影响计算精度。
- 截断区间 $[a,b]$通过模型统计量（$c1,c2,c4$）计算获得，保证包含大部分概率质量从而提高准确度。
- 公式还强调通过Put-Call价差平价关系可计算CALL，灵活支持不同期权类型。

• 意义：

此章节为了解后续改写及优化提供公式基础，是整个方案设计的顶部框架；熟悉COS的公式结构是理解如何通过改写实现NUFFT加速的关键。

3. 利用NUFFT重写COS法

• 关键内容：

演示了如何将COS加权余弦级数展开转为符合type-2 NUFFT定义的形式，关键将变量变换与复指数表达式重写，使得一批不同执行价对应的对数价变量$xj$被定义在可接受NUFFT输入的区间内 $[-1/2,1/2)$，系数 $fk$ 则通过特征函数与权重计算得到。

• 推理依据：

通过调整指数的表达方式以适应NUFFT的定义，同时保证数值的稳定和精度，体现了作者对傅里叶分析和数值计算的深度理解。

• 关键数据与表达：

公式中系数的定义合理将零负指数项置0，充分利用傅里叶变换对称及周期性质，有效减少计算量。

• 意义：

这一重写允许利用高度优化的NUFFT库进行批量计算，能极大提高算法速度，显著优化批量定价的计算效率，尤其在执行价较多时优势突出。

4. 另一种COS改写及其NUFFT实现

• 内容简介：

介绍Le Floc’h (2020) 提供的COS方法的替代版本，涉及对价差项进行不同分解，使之在边界附近的期权价格计算更为准确。该版本的公式更复杂，包含额外的项 $Vk^{\mathrm{Put}}(x)$，需要对三角函数用指数表达式展开，系数 $fk$ 同样按正负方向分开计算。

• 推理说明：

该改写完整地包含了价格区间边缘情况，更加稳健适用，尤其当执行价接近区间边缘时表现更好，与第一种重写相比可能略复杂，但更精细。

• 意义与实用性：

提供一个替代路径，以保证数值精度和算法鲁棒性，同时保持利用NUFFT加速计算的优势。

5. 数值实验与性能测试

• 5.1 Variance Gamma模型：

- 参数设定如表1所示（不同期限和参数组合），与Andersen & Lake (2022)对比，但利率不同。
- 数值结果： 虽然有文献称部分案例难以处理，但本报告通过选择更宽的截断区间和更大$M$修正了该问题，实现了远超 $10^{-12}$ 的精度，证明COS方法本身精度无虞，也反映数值实现与参数设置的重要性。
- 速度表现（表2）： 随着执行价数目增加，NUFFT显著快于经典COS，尤其当$M$较大时优势更显著。小数量执行价时NUFFT开销较大，表现逊色。

• 5.2 Heston模型：

- 背景： Heston模型实际应用更广泛，特征函数计算成本高。
- 数值测试（表3）：
- NUFFT方法在执行价数量较多时速度优势明显，尽管特征函数昂贵，NUFFT的开销变得相对较低。
- 精度方面，默认数值误差稍大，降低容忍度后误差接近经典方法，但性能降低约20%。

• 图1解读：

- 图为Heston模型下，$M=256$时不同批量执行价数量对应两种方法的每毫秒期权定价量，可以看到随着执行价数量超过约100，NUFFT COS的定价速度指数级增长，远超经典COS趋于饱和的水平。

• 总结： 实验证明NUFFT COS特别适合大批量定价场景，且对模型复杂性（不同特征函数计算成本）适应良好。

6. 结论

• COS方法结合type-2 NUFFT可以大幅度加速多执行价欧式期权定价，尤当执行价数量上百时效果显著。

- NUFFT方法对特征函数计算时间敏感度低，特征函数计算越复杂，NUFFT优势越明显，且大级数计算下效果更优。

• NUFFT方法不仅限于期权定价，还可以快速密度计算，为校准与模拟等流程提供速度优势。

图表深度解读

表1（Variance Gamma模型参数）

• 列示了四个不同市场环境的参数组合，涵盖期限 $T$、模型参数 $\nu$、波动 $\sigma$、漂移 $\theta$ 、利率 $r$ 及密度起点值，演示了从平滑密度到代数或对数奇异等多种密度特性。

- 意义在于验证算法在不同极端模型参数下的普适性与鲁棒性。

表2（每秒定价期权数量）

• 对比了经典COS与NUFFT COS在不同案例与执行价数量（从10到2500）的性能，单位为每秒计算期权数量（k = 千）。

- 结果显示：
- 小执行价数如10时，经典COS略优（减少NUFFT启动开销）
- 超过约100个执行价，NUFFT COS性能优势破茧而出，执行价越多，速度越快，远超经典方法数倍甚至数十倍。
- 这一性能表现体现了NUFFT方法对大规模输入的高效处理能力，极大满足对多执行价批量定价需求。

表3（Heston模型下性能与误差）

• 展示了不同$M$值下，两种方法对不同执行价数量的单位时间价格期权数量和误差指标（RMSE，MAE）

- RMSE和MAE均极低，且两方法误差接近，说明NUFFT版保持了传统COS的高精度。

• 运行速度表现与VG模型相似，NUFFT在高执行价时优势明显，但具体阈值因特征函数复杂度有所不同。

图1

• 视觉呈现了表3数值结果的趋势，证实文中数值结论可视化，更为直观，表现出了NUFFT COS实现的指数级扩展优势。

估值与算法分析

• 虽未直接涉及估值模型的估值价格确定，但COS方法的设计思想基于Fourier余弦展开特征函数，自然隐含了模型定价的数学内核。

- 文中并未使用定价倍数等传统估值指标，重点在数值计算的优化。

• NUFFT的引入属于数值算法层面优化，通过变换采样点处理，提升了多点计算一致性和效率。

风险因素评估

• 文中未专门讨论风险因素，但根据报告内容推断：

- 截断区间选取风险：错误区间可能导致COS展开误差增大。文中通过模型累积率统计改善此风险。
- 特征函数计算误差／复杂度：特征函数评估效率直接影响NUFFT发挥，复杂模型特征函数会抬高计算门槛。
- 数值容错与误差容忍调整：NFFT tolerance设置影响精度与速度平衡，需要根据业务需求调节。

• 以上风险未系统展开，但除算法初步验证外，均有解决方案（区间自适应、容差调节等），报告通过数值实验证明方法稳定。

批判性视角

• 报告较为客观，重点在算法创新与性能验证，未明显夸大效果。

- 可能的不足：
- 对于非常小规模（执行价数低于几十），NUFFT开销较高，影响速度优势发挥，适用场景有限。
- 特征函数非常复杂时，NUFFT整体性能仍受限于特征函数调用，未完全消除这一瓶颈。
- 未深入探讨模型参数极端情况下截断区间选择对结果的影响细节，依赖已有文献方法。

• 这些细节对有深度数值研究者或特定市场的专业用户尤其重要。

结论性综合

本报告系统而深入地揭示了如何通过非均匀快速傅里叶变换（NUFFT）技术，实现经典COS欧式期权定价的重大加速。报告凭借数学严谨的公式改写，结合两个主流模型（Variance Gamma和Heston）进行全面的数值实验，具体展示了NUFFT COS在不同市场参数和模型复杂度条件下的普适适用性和高效性能。
报告中的表格详细对比了经典COS与NUFFT COS在百万次期权价格批量计算中的吞吐率，阐释了NUFFT COS方法在执行价数量超过约100时性能呈指数级提升，其精度与传统COS保持一致，且能容忍不同数值误差要求。尤其在金融市场实际应用中执行价大规模批量定价的需求日益增长，该方法具备显著的实用价值。
图1通过直观曲线示意，强化了NUFFT技术在大规模定价场景的高速优势，结合文本中的算法解读与数值测试，为研究者和实务人员提供了可操作性极强的技术路线。

综上，报告展示了将先进数值算法赋能经典金融定价模型的成功范例，NUFFT和COS的结合为期权定价领域的高效计算提供了创新解决方案，具有广泛的理论和应用意义。[page::0,1,2,3,4,5]

报告