Kelly公式及几何布朗运动假设构建 [page::1][page::2]

• 以几何布朗运动模型描述股票价格，定义组合的年化几何增长率；

- Kelly策略通过最大化组合对数增长率的期望，确定最优投资比例；

• 利用拉格朗日乘数方法精确求解Kelly最优权重，结合收益率和协方差矩阵。

Kelly组合与最小方差组合(MVP)理论比较 [page::3][page::4]

| 指标 | MVP组合 | Kelly组合 |
| -------------- | ------------- | ----------------------- |
| 投资权重 | B | Aμ + B |
| 预期漂移率 | μ'B | μ'Aμ + μ'B |
| 方差 | 1 | μ' A μ + 1/d |
| 几何增长率 | d | μ' (1/2 A μ + B) - 1/2d |

• Kelly组合的预期漂移率、方差及几何增长率均高于MVP组合；

- Kelly提高了收益的同时也增加了波动性，其夏普率仍大于1，有良好风险调整表现。

Kelly策略在一级行业资产配置的实证表现 [page::5]

• 使用2009年至今周数据，Kelly策略绝对收益达140%，跑赢沪深300超过70%；

- 对冲沪深300后年化收益61.29%，夏普率1.73，最大回撤23.87%，交易胜率62.62%。

Kelly策略在二级行业资产配置的实证表现 [page::5][page::6]

| 统计指标 | 数值 |
| -------------- | ---------- |
| 财富终值 | 2.32 |
| 交易胜率 | 56.07% |
| 年化收益率 | 48.14% |
| 年化波动率 | 30.88% |
| 夏普比率 | 1.33 |
| 最大回撤 | 18.40% |

• 二级行业策略收益略低于一级行业，波动与回撤有所下降，但风险调整收益依旧较优。

Kelly策略与MVP策略实证对比 [page::6][page::7]

| 统计指标 | Kelly策略 | MVP策略 |
| -------------- | ------------ | --------- |
| 财富终值 | 2.78 | 1.29 |
| 交易胜率 | 63.55% | 60.75% |
| 年化收益率 | 61.29% | 12.56% |
| 年化波动率 | 28.36% | 6.13% |
| 夏普比率 | 1.31 | 1.47 |
| 最大回撤 | 24.51% | 3.79% |

• Kelly策略收益和波动率显著高于MVP，夏普率虽稍低但仍维持较好风险调整水平；

- Kelly策略更适合于追求较高期望几何增长的投资者。

研究总结及后续展望 [page::7]

• Kelly公式最大化了几何增长率，等价于预期对数效用最大化；

- 实证验证Kelly策略优于MVP策略，适用一级与二级行业配置；

• 未来研究将尝试无分布假设条件下的Kelly投顾策略构建，进一步贴近实际市场。

报告分析：《Kelly 公式在行业配置中的应用二》

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一、元数据与概览

• 报告标题：《Kelly 公式在行业配置中的应用二》

- 作者及机构：国泰君安证券金融工程团队，主要分析师包括刘富兵、严佳炜、耿帅军等。

• 发布日期：文档中未明确具体发布日期，推断为2014年左右，因为引用的相关报告日期为2014年2月至3月。

- 研究主题：基于Kelly公式的投资组合优化及其在中国一级和二级行业配置中的应用，利用几何布朗运动假设对Kelly公式进行连续时间推导，结合实证数据验证策略表现。

• 核心论点：

- 通过假设股票价格服从几何布朗运动，推导得出Kelly最优投资组合比例，并运用于行业资产配置。
- Kelly策略相比传统的最小方差组合（MVP），在收益和预期几何增长率上表现更佳，尽管波动率较高。
- 实证测试显示，Kelly策略在过去两年在一级和二级行业均获得较高绝对收益和较强的超额收益能力，且夏普率较高（一级行业约1.7，二级行业约1.3）。
- 未来研究意图推翻概率分布假设，实现更为普适的Kelly策略。

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二、逐节深度解读

2.1 由贝努利分布到几何布朗运动的理论改进（第1页）

• 该章节对比了之前报告中使用的简单贝努利分布假设与现阶段采用的几何布朗运动假设。

- 主要数学模型：
- 股票价格的几何布朗运动模型公式：
\[
dSi = \mui Si dt + \sigmai Si dzt
\]
- 对数收益的期望和方差：
\[
Gi = E[\ln \frac{Si(t)}{Si(0)}] = (\mui - \frac{1}{2}\sigmai^2) t, \quad V = \sigmai^2 t
\]

• 说明了几何布朗运动能够更合理地模拟股票价格连续变化的现实市场机制。

- 利用Ito引理，得出对数收益率为正态分布，从而进行数学处理和优化。

• 强调Kelly准则即最大化投资组合的年化几何增长率，侧重长期复利收益最大化。

- 该理论基础为后续组合最优权重推导奠定了数理基础。[page::1]

2.2 Kelly最优投资比例的推导及数学表达（第2页）

• 介绍了Kelly投资组合优化问题的数学框架。

- 目标函数为：
\[
\max_{\mathbf{w}} \quad \mathbf{w}^\top \boldsymbol{\mu} - \frac{1}{2} \mathbf{w}^\top \Sigma \mathbf{w}
\]
其中，\(\mathbf{w}\)为投资权重向量，\(\boldsymbol{\mu}\)为期望收益率，\(\Sigma\)为协方差矩阵。
- 加入权重和为1的约束条件。

• 使用拉格朗日乘数方法求解最优权重，推导过程较为复杂，涉及矩阵运算和逆矩阵。

- 结果得到的最优权重公式为：
\[
\mathbf{w}^ = \Sigma^{-1} (\boldsymbol{\mu} - \lambda \mathbf{e})
\]
\(\lambda\)为拉格朗日乘数，\(\mathbf{e}\)为全1向量。

• 该方案保证满足投资权重之和为1，且最大化组合的长期几何增长率。

- 还表明，Kelly投资组合最大化投资者的对数效用函数，即“预期对数效用最大化”等价的金融经济学解释。[page::2]

2.3 Kelly组合的性质与MVP组合的对比（第3页）

• 进一步定义了Kelly组合的预期漂移率和方差，并得出组合几何增长率的数学表达式。

- MVP（最小方差投资组合）定义明确，对应优化目标是最小化组合方差同时满足权重和为1。

• 表格和文字描述了Kelly组合与MVP组合的关系与差异：

- Kelly组合权重为 \(\mathbf{w}^ = \mathbf{A} \boldsymbol{\mu} + \mathbf{B}\)，而MVP组合权重为\(\mathbf{B}\)。
- Kelly组合的预期收益率和波动率均高于MVP组合。
- 由于\(\mathbf{A}\)为半正定矩阵，Kelly组合比MVP组合的风险调整后收益更优。

• 该比较构成实证和理论基础支撑，验证为何Kelly组合能取得较高收益但同时承担较高风险。[page::3]

2.4 Kelly组合与MVP组合的风险收益前沿对比（第4页）

• 图1展示了Kelly组合与MVP组合在风险（方差）和收益（预期回报）上的关系。

- 曲线显示投资组合的有效前沿，Kelly组合所处位置收益率更高，但伴随更大方差。
- 图中的标记显示Kelly与MVP的不同投射结果，支持前述理论定量分析绑定。

• 该图形直观体现如何选择风险承受程度来权衡收益最大化。

- 支持Kelly组合在“高收益高波动”中的合理定位。[page::4]

3. Kelly公式在一级行业资产配置中的应用（第5页）

• 采用中信一级行业周数据（2009年至今）计算行业收益的几何增长率（周对数收益），估算期望收益率和协方差矩阵。

- 具体计算步骤中，年化收益率为周收益均值乘以５０周，方差协方差矩阵相应放大５０倍，符合年化处理规则。

• 实证结果：

- Kelly策略过去两年绝对收益达140%，超越沪深300指数170%以上。
- 对冲沪深300后年化收益超过60%，夏普率1.7，胜率超60%。
- 缺点为最大回撤较高，达到约24%。

• 图2展示了Kelly策略累计收益与沪深300指数累计收益对比，Kelly策略明显优于基准。

- 表2概览策略统计指标，进一步量化表现。
- 波动率约为28%。
- VaR和ES指标显示在市场极端情况下的潜在损失，合理范围内。[page::5]

3.2 Kelly公式在二级行业配置应用（第5-6页）

• 同样方法应用于更细分的二级行业数据。

- 结果显示，绝对收益100%，超过沪深300约130%。

• 对冲沪深300后年化收益48%，夏普率1.3，交易胜率56%。

- 最大回撤明显下降至18%，表现更稳健。

• 图3及表3支持上述结论，进一步证实Kelly策略在粒度更细资产配置中的适用性和竞争力。[page::5],[page::6]

3.3 Kelly策略与MVP策略的实证比较（第6-7页）

• MVP策略同样在一级行业数据中构建并测试。

- MVP策略得到的结果：
- 财富终值1.29（远低于Kelly的2.78）
- 交易胜率约60.75%
- 年化收益率仅12.56%
- 年化波动率6.13%（远低于Kelly）
- 夏普率1.47（略低于Kelly）
- 最大回撤及VaR明显低于Kelly。

• 图4展示MVP策略与沪深300及Kelly策略的累计收益对比，Kelly大幅领先。

- 结合表5及图5，作者强调Kelly策略收益更高的同时波动率和回撤也相对较大，但夏普率1.31说明单位风险下收益优势明显。

• 体现了Kelly策略追求高长期增长的理念和取舍，适合风险容忍度较高投资者。[page::6],[page::7]

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三、图表深度解读

图1 Kelly组合与 MVP组合的风险收益空间（第4页）

• 图表为有效边界曲线，显示收益率（纵轴）对方差（横轴）的关系。

- 红色标记为Kelly组合，位置在图中高收益高风险区间。

• 紫色标记为MVP组合，位于低风险低收益区间。

- 曲线中其他点代表不同投资组合的权重分布。

• 该图有力展示理论对比，Kelly组合承担更多风险换取更高收益，视觉辅助理解。

- 来源明确为国泰君安证券研究，数据可信。

图2 Kelly策略在一级行业配置累计收益表现（第5页）

• 上图：时间轴上的Kelly策略收益（红线）明显超过基准沪深300指数收益（蓝线）。

- 下图：Kelly策略的超额收益累积增长曲线持续向上，表现稳定优越。

• 体现了策略自2009年起，通过周频率调仓，持续跑赢市场。

- 对于投资者而言，该策略能够显著提升投资回报率。

• 结合表2统计指标，交易胜率达62.62%，表明策略择时能力较好。

图3 Kelly策略在二级行业配置累计收益表现（第5-6页）

• 与图2类似，红线Kelly策略收益显著高于沪深300蓝线。

- 累计超额收益同样逐步增加到约2.5的水平。

• 尽管收益略低于一级行业，整体表现依然稳健。

- 结合表3统计，交易胜率56.07%，波动率略高于一级行业，反映行业细分可能引入更多波动。

图4 MVP策略在一级行业配置累计收益表现（第6页）

• MVP策略（红线）表现虽优于沪深300蓝线，但幅度有限。

- 超额收益增长平缓，无明显突破，反映MVP策略偏保守。

• 表4数据显示年化收益仅12.56%，波动率较低，风险管理突出。

图5 Kelly策略与MVP策略收益对比（第7页）

• 红线Kelly策略累计收益显著高于黑线MVP策略，差距逐渐扩大。

- 蓝线沪深300则最低。

• 下图Kelly相对MVP的超额收益曲线持续上涨，说明Kelly策略的长期优势稳固。

- 较高夏普率进一步证实风险调整后Kelly胜出。

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四、估值分析

本报告并未涉及传统意义上的公司估值或资产价格估值方法（如DCF、市盈率等），而主要关注基于Kelly公式的资产组合最优权重以及组合表现评估。目的是使用宏观行业指数构建组合，最大化组合的长期几何增长率，而非对单一资产估值。分析重点为组合优化与策略表现衡量。

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五、风险因素评估

• 报告中提及，Kelly策略虽能带来高收益，但存在较大波动性和最大回撤：

- 一级行业最大回撤约24%。
- 二级行业最大回撤约18%。
- VaR（风险价值）和ES（预期损失）指标均显示策略存在显著风险敞口。

• 这些风险反映Kelly策略承担较大风险来争取高收益，适合风险偏好较强的投资者。

- 报告未显著展开如何缓解波动带来的潜在风险，暗示投资者应综合考量自身风险承受能力。

• 未来报告计划尝试在无概率分布假设下推导更普适的Kelly公式，潜在降低模型假设风险。

- 实际风险还包括模型假设不符合市场真实行为（如股票价格非严格几何布朗运动），系统性风险等。

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六、批判性视角与细微差别

• 假设合理性：

- 报告充分肯定几何布朗运动假设较贝努利分布更贴近市场，但也指出这仍然是理想化假设，真实市场价格过程更复杂。
- 并无深入讨论非正态收益、跳跃风险、波动率簇集等市场真实特征对Kelly策略的影响。

• 数据稳定性与样本问题：

- 实证期约两年，属于较短区间，可能并未涵盖全部市场环境周期。
- 高收益和胜率可能存在一定时期偶然性，后续跟踪验证必要。

• 策略波动和回撤较大：

- 投资者可能难以接受较大回撤（24%），报告未提供具体风险对冲或动态调整建议。

• 未来研究方向：

- 声明中提到将研究无概率假设下的Kelly推导，体现团队对模型完善的追求。

• 内部信息合理性：

- 各章节理论推导和实证分析逻辑严密，数据来源一致，内部无明显矛盾。

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七、结论性综合

本报告以严谨的数理金融框架为基础，成功将Kelly公式推广到连续时间的几何布朗运动模型下，推导出对应的最优投资组合权重。理论上确认Kelly准则即等价于最大化长期几何增长率，并且对应最大化预期对数效用。

实证部分利用中信一级及二级行业周数据，展示Kelly策略在行业配置中的卓越表现：过去两年实现一级行业140%绝对收益，二级行业100%绝对收益，对冲沪深300后依旧保持高年化收益率（一级60%以上，二级48%），且夏普率分别达到1.7和1.3，胜率均超55%以上。

Kelly策略与传统MVP策略比较，尽管理财波动与最大回撤显著较高，但高收益和超额收益波动率的权衡下，夏普率仍大于1，显示风险调整绩效优良。

图表强化了以上结论：

• 图1显示理论风险收益边界符合Kelly策略对应高收益高风险特点。

- 图2和图3分别说明Kelly策略在一级和二级行业的超额累计收益稳步增加。

• 图4和图5突出MVP策略与Kelly策略的收益和波动率差异，确认Kelly增长优势。

最后，报告坦诚指出几何布朗运动虽然贴近实际，但股票价格并非完全服从该模型，表达将继续完善理论、减少模型假设的研究期望，值得关注。

综上，本报告严谨阐述并验证了基于Kelly公式的行业资产配置策略，显示出其高效的长期收益潜力和合理的风险承担特征，适合风险承受能力较高的专业投资者参考。报告整体内容结构清晰，数据充分，理论与实证结合紧密，具有较高的学术价值与实务指导意义。[page::0,1,2,3,4,5,6,7]

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附：核心图表与统计摘要

• 图1：Kelly组合与MVP组合的风险收益路径对比，呈现高收益高风险策略特征。[page::4]

- 图2-3：Kelly策略在一级与二级行业资产配置中的累计收益与超额收益曲线，稳健跑赢市场标的。[page::5,6]

• 图4：MVP策略在一级行业的表现，收益较Kelly策略低，风险较小以对照显示。[page::6]

- 图5：Kelly策略与MVP策略累计收益对比及超额收益增幅，彰显Kelly策略的长期优势。[page::7]

• 关键统计指标表（2、3、4、5表）：显示财富终值、夏普率、回撤、VaR等全面测度，佐证策略表现。[page::5,6,7]

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此分析遵循报告内容与结构，力求详尽解读每个关键论点与数据，促进阅读者深入理解Kelly公式投资策略的价值与局限。

报告