• 报告背景及研究动机 [page::1]

- 养老金领域中共同承担寿命风险的方案日益受到关注，Riccati Tontine作为一种现代变体，兼顾监管要求及投资者意愿：投资者期望“平均”可回收本金。

• Riccati Tontine的数学模型与监管约束 [page::2][page::3][page::4][page::5]

- 基于几何布朗运动（GBM）假设基金投资增长，建模闭合投资池中$n$位投资者的财富及生存状况。
- 设计了时间依赖的回收率 $kt$ 和特殊终局策略 $\kappat$ 来满足监管要求：任何时刻因死亡或退场支付给投资者（或遗产）的期望不低于本金。
- Riccati Tontine 的核心是调节 $kt$ 使其满足一阶二次微分方程（Riccati方程）：

$$
kt' + (\mu + \lambdat) kt - \lambdat kt^2 = 0, \quad k0=1.
$$

- 无论投资池大小，$kt$ 不依赖于人数，便于计算且接近最优。

• 数值分析与回收率曲线 [page::6][page::20][page::21][page::23][page::24]

- 基于Gompertz-Makeham死亡率模型和预期年化投资回报率$\mu=7\%$，设计出一条递减的回收率曲线，20年期满时 $kT \approx 0.1436$。
- 对比不同投资池（$n=2$到$1000$）下终值和回收率，显示大的投资池促进了稳定收益，同时Riccati Tontine的性能优于或接近具有优化终局回收策略的其他方案。

| 投资池规模 (n) | 回收率 $kT$ (极端方案1) | 终值 $zT$ (极端方案1) | Riccati 回收率 $kT$ | 终值 $zT$ (Riccati) | 回收率 $kT$ (极端方案2) | 终值 $zT$ (极端方案2) |
|---------------|--------------------------|-----------------------|---------------------|---------------------|-------------------------|-----------------------|
| 2 | 0 | 5.78882 | 0.14363 | 5.33605 | 0.18882 | 5.29598 |
| 3-5 | 0 | 6.48671 | 0.14363 | 6.02782 | 0.16667 | 5.99979 |
| 10 | 0 | 6.92345 | 0.14363 | 6.64347 | 0.15073 | 6.63437 |
| 20 | 0.11737 | 6.96237 | 0.14363 | 6.93912 | 0.14412 | 6.93868 |
| 50 | 0.14363 | 6.96237 | 0.14363 | 6.96224 | 0.14363 | 6.96224 |

• 波动性与风险分析 [page::22]

- 在设定参数下，投资组合收益标准差随投资池规模变化，呈现先增长后趋稳的趋势，显示规模经济效应和风险分散效果。

| 投资池规模 | 收益标准差 (%) |
|------------|----------------|
| 2 | 6.215 |
| 3 | 7.209 |
| 5 | 8.123 |
| 10 | 8.332 |
| 20 | 8.004 |
| 50 | 7.812 |
| 100 | 7.758 |
| ... | ... |

• 离散支付频率对方案影响较小 [page::7][page::25]

- 按年度离散支付模型与连续支付的最优回收率曲线接近，说明操作简化带来的影响有限。

• 量化因子与策略分析：死亡率与资产收益率相关性建模及解析 [page::8][page::9][page::15][page::16]

- 建议投资于风险资产，其收益冲击与死亡率呈负相关，从而在高死亡率（如疫情）情况下，资产收益下降但投资者不亏损，起到天然对冲作用。
- 模型扩展至随机死亡率$\Lambdat$，假设资产收益与死亡率驱动过程相关联，利用小参数展开理论分析收益率和投资者效用对相关系数$\rho$的敏感性。
- 结果显示，风险厌恶度$\gamma$影响投资者对资产-死亡率相关性的偏好，较低风险厌恶更偏好正相关型资产（如殡葬服务类），较高风险厌恶者则偏好负相关型资产（如老年旅游等） [page::9][page::15][page::16]。

• 数学贡献与结论 [page::10]

- 证明了满足监管“平均回收本金”约束的最优回收率曲线系唯一解Riccati方程。
- 证实Riccati Tontine设计既满足监管要求，又最大化存活者终值期望，兼具理论及实际应用价值。
- 引导养老金产品设计与资本市场资产配置创新，推动现代寿命风险管理工具的发展。

详尽分析报告：《THE RICCATI TONTINE: HOW TO SATISFY REGULATORS ON AVERAGE》

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1. 元数据与概览（引言与报告概览）

• 报告标题：《THE RICCATI TONTINE: HOW TO SATISFY REGULATORS ON AVERAGE》

- 作者：Moshe A. Milevsky 和 Thomas S. Salisbury

• 发布机构：非公开明确（本文为学术论文，JEL分类显示为学术研究）

- 日期：发布年份未明确提及，文中最新引用2024年研究，推测为2024年左右

• 主题：寿命风险池化的现代金融产品——里卡提累积型养老互助基金（Riccati Tontine）

核心论点及主要信息：
本文提出了一个新型的、基于累积的现代养老金池化产品：里卡提互助基金（Riccati Tontine），该产品在保证参与者平均回收（即使不保证个别回报）其投资的同时，实现寿命风险的池化分摊。主要创新点有两个：

1. 参与者在死亡或基金到期时预期能取回部分或全部投资，设定了动态的“回收率”以满足监管要求。

2. 投资资产非典型，选取与随机死亡率呈负相关的风险资产，以在疫情等突发事件时实现对投资价值的对冲，保障基金收益。

论文的数学贡献是证明该产品的回收率满足一个含未知函数二次项的一阶常微分方程，即“里卡提方程”（Riccati equation），并给出计算和数值示范，保证监管平均返还要求得到满足且收益近似最优。[page::0,1,2]

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2. 逐节深度解读

2.1 引言与动机（章节1）

• 核心内容：

- 当代关于寿命风险共享池的研究增长迅速，相关产品称为“tontines”，包括多种类似概念如参与型寿险年金、寿命指数年金等。
- 传统tontine无保证支付，监管严格限制，最新趋势要求设计满足“参与者早退或死亡时，资金平均可取回”的条件以满足市场和监管接受度。
- 该设计虽然降低池化的死亡红利收益，但提供更具吸引力的产品特征，实现监管合规。
- 文章将基于此监管动力，探讨与设计满足该条件的最优回收率计划。

• 作者论证依据：

- 通过对历史文献及近代研究梳理，定位tontine的基本特征和市场监管需求。
- 强调现实监管世界对产品设计的约束和需求，呼应政策及产品创新的必要性。

• 关键信息点：

- 法规要求投资者逝世或退出时能够“平均收回本钱”。
- 现有研究不断透析池大小、支付稳定性和设计方案的影响。

2.2 Riccati tontine模型介绍（章节2）

• 模型设定：

- 投资资产价格服从几何布朗运动(GMB)：\( dSt = \mu St dt + \sigma St dBt \)，但资产回报不直接随死亡率调整，作为底层资产。
- 投资池闭合，初始有固定人数\(n\) 投入资金，每人投1单位，记账户价值为 \(Zt = \frac{Lt}{Nt}\)，分别为总资产和存活人数。
- 设有死亡率函数\(\lambdat\)，起初假设为确定性（后续考虑随机死亡率）。
- 设计动态解除惩罚机制，即回收率\(kt\)，使得早退或死亡时支付为\(kt Z{t-}\)（对于仅存一人时，有不同的\(\kappat\)回收率）。

• 监管约束：

- 要求对于任一时间，死亡者（或退出者）收益的期望要不低于最初投资1单位，即满足 \(E[Kt Z{t-} | \tau = t] \geq 1\)。

• 数学核心：

- 通过条件期望转换，将监管约束转为求解满足特定一阶非线性ODE的函数\(kt\)。
- 正是这个ODE的特殊形式，即Riccati方程，定义了核心回收率。

• 重要假设：

- 基金在最后存活1人时全额支付，无回收惩罚，保障极端情形。
- 懈怠（lapses）现象主要视为死亡，实际融入Makeham项处理。

• 意义：

这种设计折中调节了监管要求和死亡红利收益， 允许产品被市场和监管接受，同时保留部分风险与收益共享功能。[page::2,3,4]

2.3 Riccati回收率及模型性质（2.3节）

• 关键数学结果：

- Riccati回收率满足如下ODE：

\[
kt' + (\mu + \lambdat) kt - \lambdat kt^2 = 0, \quad k0=1
\]

- 方程不含风险项\(\sigma\)，令计算简洁。

• 重要定理：

- 对无限大池子（\(n=\infty\)），该回收率满足监管平均返还要求且是极值（或者说最优）。
- 对有限池子，存在\(\kappat \in [kt, 1]\)使得相应设计满足约束且近似最优。

• 公式与推导示例：

- \(Zt\)的表达式及其期望的公式清晰展现了动态回收率条件下的资金演化。
- 证明展示\(kt\)不依赖投资人数，计算便捷且逻辑自洽。

• 对监管者和设计者的意义：

- 产品充值计划可先固定\(kt\)，不需先了解池规模，简化计划制定。
- 回收率轨迹递减，体现随着存活者减少，早期退出对池子的冲击逐渐减弱。[page::5,6]

2.4 数值实例与变体设计（2.4节及第3节）

• 数值演示：

- 表1给出20年期限、65岁初始年龄假设下\(kt\)随时间递减的具体数值。
- 表2显示不同规模池子（2至50人）下最终回收率\(kT\)和最终账户价值\(zT=E[ZT]\)，说明池子规模对预期收益影响。
- 检验极限模型与有限\(n\)之间的差异趋小，产品稳定性优。
- 标准差（表3）显示资金分配波动随规模变化，给风险管理提供指标。

• 离散支付问题：

- 设计中考虑支付频率影响，将连续支付模型与周期（如年度）支付做了比较，发现差异甚微。
- 图3强调离散支付便于操作且对设计无实质负面影响。

• 监管约束其他形式：

- 探讨了多种满足“平均返还本金”定义的监管约束（针对不同时间或条件），均证明Riccati tontine设计适用且接近最优。

• 创新设计点：

- 对决策者提供了参数校准、规模选择和操作频率等设计建议。
- 强调灵活性及数学优雅度。[page::6,7]

2.5 随机死亡率及资产负相关（章节4）

• 问题背景：

- 现实中死亡率具随机性且可能与市场表现相关联，因此探讨资产选择如何基于死亡率行情调整。

• 模型设置：

- 将死亡率建模为随机过程 \(\Lambdat\)，同样服从扩散模型且带上界。
- 假设资产回报和死亡率噪声进行相关性建模，相关系数为\(\rho\)。

• 核心发现（渐近分析）：

- 通过以\(\epsilon\)为小参数，导出回收率及终收益的渐近展开，展示相关性对产品实用性的影响。
- 风险厌恶系数\(\gamma\)和相关系数\(\rho\)决定投资者偏好：
- 风险容忍者（\(\gamma < 1\)）偏好投资与死亡率正相关资产（如殡葬服务公司等），因对应场景（失去老年人口需求减弱）会造成资产贬值但死亡率升高，保障池内利益。
- 高风险厌恶者（\(\gamma > \gamma0 \approx 1.06\)）则更看重对冲效果，趋向负相关资产（如退休旅游公司）。
- 定量推算赋予实际参数示范了回报提升和风险偏好转换。

• 意义：

- 提供资产选择策略依据，基于相关性构建更加稳健的寿险基金。
- 论证了非传统资产配置在寿命风险产品中的价值创造。

• 开放问题：

- 需要标定真实市场和寿命相关系数。
- 该分析结合了经济场景与金融风险，深化产品风险管理内涵。[page::7,8,9]

2.6 结论（章节5）

• 总结：

- Riccati tontine结合寿命风险池化和投资风险管理，填补市场空白。
- 通过数学与经济双重理念，设计兼顾监管合规和投资者分红。
- 基金资产配置选择负相关资产对改善幸存者预期回报和风险管理至关重要。
- 数学工具：通过第一阶Riccati微分方程得出最优回收率策略，实现设计最优化。

• 实务及研究贡献：

- 强化寿命风险共享产品在监管环境下的可行性。
- 创新资产负相关概念，有助养老金融市场创新。
- 复杂数学模型转化为操作友好型设计方案。

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3. 图表深度解读

表1：回收率 \(kt\) 时间序列表（20年期限，初始年龄65岁）

| 时间（年） | \(kt\)回收率 |
|------------|-------------------------|
| 2 | 0.93147 |
| 3 | 0.86589 |
| 4 | 0.80327 |
| 5 | 0.74360 |
| 6 | 0.68686 |
| ... | ... |
| 14 | 0.36704 |

• 说明：该表展现回收率随时间递减趋势，早期退出给予更高比例返还，越接近终结期，返还比例越低，表现出动态惩罚机制。

- 意义：体现随着时间推移，死亡或早退导致对存活者的补偿性收益增强（惩罚增加），促进池内存续稳定。[page::20]

表2：不同池子规模下终期回收率和投资回报

| 池子规模 \(n\) | 极端回收率 \(\kappat=1\) | Riccati 回收率 | 极端回收率 \(\kappat = kt\) | 终期账户均值 \(zT\) |
|----------------|----------------------------|----------------|-------------------------------|-----------------------|
| 2 | 0 | 0.143629 | 0.188823 | 5.29598 |
| 3 | 0 | 0.143629 | 0.166672 | 5.99979 |
| 10 | 0 | 0.143629 | 0.150730 | 6.63437 |
| 20 | 0.117374 | 0.143629 | 0.144120 | 6.96238 |
| 50 | 0.143629 | 0.143629 | 0.143629 | 6.96237 |

• 说明：

- 随着池规模增加，终期账户均值趋近Riccati tontine数值（约7倍增值），说明大规模下风险分散效应明显。
- \(\kappat\)不同仅在少数幸存者时影响回收率，小池子时回收率可为0，表明“唯一生存者”效应显著，可获得更大收益。

• 意义：

- 大池子保证策略稳定性，利于设计通用回收计划而不需精准锁定人数。
- 设计在满足监管的同时实现最大化终期收益。[page::21]

表3：不同池子规模下收益波动率（标准差）

| 池子规模 \(n\) | 标准差 (Standard Deviation) |
|----------------|-----------------------------|
| 2 | 6.215 |
| 5 | 8.123 |
| 10 | 8.332 |
| 20 | 8.004 |
| 50 | 7.812 |
| 100 | 7.758 |
| 500 | 7.717 |

• 说明：

- 标准差大幅大于平均收益，显示产品含有显著的波动性风险。
- 随池规模增加，风险逐渐平稳，体现寿命风险和投资风险的双重风险池化效应。

• 意义：

- 规模效应体现风险分摊，产品设计须考虑参与者数量对风险偏好的影响。[page::22]

图1：不同投资收益假设下\(kt\)的变动曲线

• 左图：固定收益率 \(\mu=2\%\) 情形，\(kt\)缓慢递减。

- 右图：较高收益率 \(\mu=7\%\) 情形，\(kt\)较快下滑，回收率终期更低。

• 解读：

- 高收益资产允许更大的晚期惩罚比例，从而激励存活者获得更高的终期收益。
- 曲线平滑，突显Riccati方程的动态最优性质。[page::23]

图2：池大小对回收率的影响，\(n=3\)与\(n=10\)对比

• 显示极端回收率边界曲线与Riccati回收率的包络关系。

- \(n=3\)时不同曲线区分明显，小规模导致回收率显著波动。

• \(n=10\)时曲线趋于一致，Riccati回收率即为近似最优。

• 意义：

- 确认大池规模使得Riccati tontine策略更具普适性和稳定性。
- 小池规模用户需考虑生存者单独回收率对整体结果造成的偏离。[page::24]

图3：连续支付vs离散支付的回收率对比（池大小\(n=20\)）

• 曲线为连续Riccati解，点为年度离散支付估计。

- 两种方案十分接近，离散支付仅略微降低末期回收率。

• 解读：

- 离散支付方案实现简单，管理更方便，几乎不影响结果。
- 解决实际操作层面支付频率问题，提高产品实用性。[page::25]

---

4. 估值分析

• 核心估值依据为基于资产净值动态下的预期账户收益\(zt = E[Zt]\)，并结合回收率\(kt\)构造的寿命调节回收计划。

- 采用几何布朗运动设定资产收益，结合死亡率\(\lambdat\)构成整体资金动态。

• 约束满足监管理论上的“平均本金返还”，保证参与者权益。

- 数学上回收率符合Riccati微分方程，该方程是带有二次项的非线性一阶常微分方程，其解析表达提供了估值的闭式方案
\[
kt = \frac{1}{1 + \frac{\mu e^{\mu t}}{pt} \int0^t ps e^{-\mu s} ds}
\]
其中 \(pt = e^{-\int0^t \lambdas ds}\)为存活概率。

• 对有限及无限池子估值存在边界和收敛关系，数值结果验证模型的实用性。

- 估值同时考虑了波动率\(\sigma\)及死活相关资产的影响，通过实证模拟给出产品收益风险特征。

• 相关资产配置中加入了死亡率与资本市场回报相关性的探讨，进而影响估值体现。

---

5. 风险因素评估

• 寿命风险：

- 池内存活者数量波动大，可能导致收益波动。
- 小规模池中，末尾生存者获得不对称巨大收益，风险及激励结构失衡。

• 市场风险：

- 资产价格理论上服从GBM，但实际存在波动，可能低于期待收益，导致池内整体收益下降。

• 监管风险：

- 需保证早期退出或死亡的平均本金返还，否则产品不可获批。
- 监管政策变动可能要求更严格的资本要求或合规标准。

• 操作风险：

- 支付频率影响投资者感知，延迟支付产生行为偏好变异。

• 模型风险：

- 死亡率随机模型及其参数未必准确，相关性估计仍不确定。
- 微分方程求解依赖严苛假设，极端情况可能未充分涵盖。

• 缓解策略：

- 产品允许终极存活者全额领取，避免空壳风险。
- 数量众多时风险明显分散，理论上风险下降。
- 弹性设计回收率与资产配置以适应市场和寿命风险变动。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告基于平均返还原则，但对个别投资者而言，实际回收不具保障，仅具期望意义，存在风险转移问题。

- 资产负相关假设虽有经济合理性，却仍需实证数据支撑，实际市场可能不完全符合。

• 数学模型基于理想假设，现实运营中或有非理性行为、流动性冲击等变量影响结果。

- 最后幸存者规则虽解决极端情况，但仍存在道德风险。

• 注重池规模于模型稳健性，实际中规模受限时产品稳定性和公平性需密切监控。

- 对死亡率的随机建模和相关性处理虽创新，但模拟参数缺乏经验数据校准，可能限制适用范围或准确性。

• 结论以无穷大池为参考，有限池却有复杂波动，实际设计应用时需谨慎调整。

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7. 结论性综合

本文通过系统建立了现代Riccati tontine产品的理论框架，实现了基于寿命风险池化和投资回报的平衡，满足现代监管对早期退出和死亡时资本平均返还的严格要求。其核心是以Riccati方程刻画的动态回收率\(kt\)，通过控制退出时资金返还比例，实现投资者收益最大化和监管合规性的相互兼容。

数值分析表明，产品设计对不同池规模均适用，且池规模扩大能有效稀释收益及风险波动。资产回报随机性和死亡率随机性的相关性为产品改进提供了创新角度：负相关投资策略可作为对冲标的，降低寿命与市场风险耦合的不确定性，提升终期效用。风险分析明确指出了模型设定局限及实务操作风险，提醒设计者权衡均衡策略。

此外，讨论了回收率的不同定义、支付方式（连续/离散）及实际产品如GuardPath的启发，增强本理论的实用价值。图表深刻揭示了回收率动态模型、风险波动结构以及监管下产品灵敏度，具备较强的政策和产品创新指导意义。

综上，Riccati tontine为寿命风险池化市场带来了一种符合法规、可行且理论清晰的产品蓝图，在未来养老金融及退休设计领域具有重要参考和推广价值。[page::0-25]

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总结

• 作者提出的Riccati tontine作为储蓄和寿命风险池化产品，成功解决了监管要求的平均返还本金约束，并兼顾投资端的风险对冲。

- 基于流行的死亡率模型和资产价格模型，产品回收率策略用Riccati方程刻画，具有数学优雅性和运算简便的实用性。

• 通过大量数值模拟和渐近分析，作者验证了设计方案的最优性、稳定性及实际应用中对资产配置和池规模的依赖。

- 研究还创新地考虑了死亡率和资本市场的相关性，为寿命风险产品提供了风险管理新视角。

• 论文全面涵盖了监管背景、数学建模、数值分析、风险因素及产品设计变体，提供了一套完整且严谨的寿命风险池化理论和实践指导。

此文在养老、保险及资产管理领域具有较高的理论和应用价值，尤其适合关注监管合规下寿命风险创新产品设计的专业人士深入研究。[page::0-25]

附：关键图表Markdown插入范例

• 图1回收率曲线：

• 图2不同池规模的包络曲线：

• 图3连续与离散支付对比：

报告