模型目标及定义 [page::1]

• 以效用函数 $E(\overline{S}-S0) + \lambda V(\overline{S}-S0)$ 最小化为交易优化目标，衡量期望成交均价偏离到达价格的均值与方差，用于统一描述交易收益和风险。

- 定义交易过程为拆分大单成 $N$ 份小单，静态算法决策在交易开始时确定整个交易序列。

股票价格随机过程与冲击成本建模 [page::1][page::2]

• 基础股价为几何随机游走，考虑算法交易带来的永久冲击成本 $g(\cdot)$ 和暂时冲击成本 $h(\cdot)$，两者均假设线性函数。

- 成交均价受暂时冲击成本影响但非价格随机过程部分；永久冲击成本体现在价格动态中，引入市场冲击影响。

期望损失与方差公式推导 [page::3]

• 期望总损失 $E(x)$ 包括永久冲击引起的成本及暂时冲击成本加权，方差 $V(x)$ 取决于股票的波动率和持仓量平方和。

- 投资者风险厌恶系数 $\lambda$ 控制均值和方差的权衡，优化目标为 $E(x)+\lambda V(x)$。

两种极端交易策略与其特征 [page::4]

• 最小期望冲击成本策略为均匀拆单交易（VWAP策略），对应最低的期望损失但较高风险。

- 最小风险策略为全部交易集中于最初时段，成交价波动完全确定，方差为零，但期望冲击成本最大。

均值—方差有效边界与交易序列解析解 [page::5][page::6]

• 有效边界描绘所有有效交易序列的期望损失与方差组合，不存在其他序列在两个指标上都优于边界点。

- 通过偏导数求解得到解析形式的最优交易序列，函数为双曲正弦与双曲余弦函数的组合，受风险厌恶 $\lambda$ 等参数影响。

• 交易序列特点体现风险收益权衡，风险厌恶程度越高，交易越倾向前期快速完成。

交易模式启示与流动性影响 [page::6]

• VWAP策略非大多数风险厌恶投资者的最优策略。

- 流动性高（交易量大）时，冲击成本参数下降，投资者更关注减小风险，倾向快速完成交易。

• 流动性差时，投资者更注重降低期望冲击成本，更倾向均匀拆单。

算法模型扩展与实际应用示例 [page::7][page::8]

• 漂浮率及价格序列自相关可以纳入模型扩展，分别影响期望损失和方差结构。

- 实例参数输入后快速计算出最优拆单序列，呈现初期交易量较大后期递减的曲线，符合风险厌恶者预期。

• 交易测试计算时长不超过50毫秒，适合实战应用。

金融工程研报详尽分析报告——《算法交易—均值方差算法模型》

---

一、元数据与报告概览

报告标题：《算法交易—均值方差算法模型》
作者：倪蕴韬、刘道明
发布机构：光大证券股份有限公司研究所
发布日期：未具体标注日期，内容系光大证券内部专业研究报告
主题：算法交易模型研究，聚焦均值-方差优化框架在单股票交易拆单算法中的应用。

本报告围绕算法交易中的均值-方差最优化问题展开，基于经济学中的效用最大化原理，提出了一个涵盖期望损失与风险（即成交均价的波动）加权组合的优化模型。其核心论点是：传统算法聚焦于最小期望损失（成本）或最小风险（方差）可能并不符合大多数风险厌恶型投资者的最佳利益，而一个均值-方差权衡模型提供了更合理的交易拆单策略。报告深入分析算法模型的建立、最优解求解方法、有效边界特征与投资者风险偏好的关联，并展现了算法在实际交易中的应用效果。

---

二、逐节深度解读

1. 模型目标与相关定义

关键论点总结

• 本算法交易模型目标从传统的单纯“成交均价最贴近目标价”或“冲击成本最小”推广为均值-方差最优化问题

- 以交易的期望成交均价偏离“到达价格” $S0$ 的差值作为收益的负面指标，同时用成交均价的波动性（方差）作为风险指标

• 目标函数形式为 $E(\overline{S} - S0) + \lambda V(\overline{S} - S0)$ 最小化，$\lambda$为风险厌恶系数

- 交易被拆分为 $N$ 个时间段，股票卖出则序列满足 $x0 = X$（总量），$xN=0$（卖完）

推理依据

• 结合经济学效用最大化和现代资产组合理论中均值-方差框架，明确收益与风险的权衡

- 通过拆单过程定义，说明交易策略的静态（所有决策在初始已确定）特性，以便求解解析解

数据及定义阐释

• $xk$ 表示第 $k$ 个时间段剩余卖出股票数量

- $nk = xk - x{k-1}$ 为第 $k$ 段卖出的股数

• 交易频率和时间间隔通过 $\tau = T/N$ 控制

[page::1]

---

2. 算法模型建立

2.1 股票价格随机过程

• 假定基础股价服从几何随机游走，漂浮率 $\alpha$ 多为0，简化为传统布朗运动：

$$
Sk = S{k-1} + \sigma \sqrt{\tau} \xik
$$

• 其中 $\sigma$ 是波动率，$\xik$ 为独立标准正态分布

2.2 考虑交易冲击的价格模型

• 引入自己交易行为对价格的永久冲击和暂时冲击，修改股价模型：

$$
Sk = S{k-1} + \sigma \sqrt{\tau} \xik - \tau g\left(\frac{nk}{\tau}\right)
$$

• 永久冲击 $g(\cdot)$ 影响价格整体趋势；暂时冲击 $h(\cdot)$ 影响成交均价：

$$
\tilde{S}k = S{k-1} - h\left(\frac{nk}{\tau}\right)
$$

• 这里暂时冲击只影响交易当下成交价，不进入价格过程

2.3 成交均价与总成本定义

• 总成交价为 $\sum nk \tilde{S}k$，基准到达价格为 $S0$

- 计算总交易损失（shortfall），包含永久和暂时冲击成本

• 期望损失和方差分别写出表达式：

$$
E(x) = \sum \tau g\left(\frac{nk}{\tau}\right) xk + \sum h\left(\frac{nk}{\tau}\right) nk
$$

$$
V(x) = \sigma^2 \sum \tau xk^2
$$

这些表达式解释了损失的组成部分和波动造成风险的来源。

2.4 线性冲击成本假设及解析求解

• 假设永久和暂时冲击成本均线性：

$$
g\left(\frac{nk}{\tau}\right) = \gamma \frac{nk}{\tau}, \quad h\left(\frac{nk}{\tau}\right) = \eta \frac{nk}{\tau}
$$

• 得到期望损失简化式：

$$
E(x) = \frac{1}{2} \gamma X^2 + \left( \frac{\eta - \frac{1}{2} \gamma \tau}{\tau} \right) \sum nk^2
$$

[page::2][page::3]

---

3. 极端交易策略与均值-方差模型的有效边界

3.1 两种极端解

1. 最小期望冲击成本：

• 所有拆单量均相等，即 $nk = X/N$，持续匀速交易

- 对应期望损失和方差：

$$
\min E(x) = \frac{1}{2} \gamma X^2 + \left( \eta - \frac{1}{2} \gamma \tau \right) \frac{X^2}{T}
$$

$$
V(x) = \frac{1}{3} \sigma^2 X^2 T \left(1 - \frac{1}{N} \right)\left(1 - \frac{1}{2N} \right)
$$

• 风险随交易时间延长升高

1. 最小风险（方差）策略：

• 全部交易一次性完成，即全部卖出在第一个时间段内

- 方差为零，但期望损失最高：

$$
E(x) = \eta \frac{X^2 N}{T}, \quad V(x) = 0
$$

• 如果拆单时间间隔 $\tau$ 太短，期望冲击会趋于无穷大，体现了流动性限制

[page::4]

3.2 有效边界及其解释

• 把所有可能的交易序列 $(E(x), V(x))$ 点映射在二维坐标系中，构成均值-方差有效边界曲线

- 有效边界上的点是“无被支配”的最优解，即不存在另一解 $xj$ 在期望损失和风险均优于当前点

• 图1（图5页）显示有效边界示意，最低点对应最小期望冲击，最左边点对应最小风险

- 参数 $\lambda$ 为效用函数中风险惩罚因子，等于有效边界切线斜率，起调节折中权重作用



[page::5]

3.3 最优交易序列的解析表达式

• 通过凸优化原理和偏导数条件，满足以下差分方程得到最优解：

$$
\frac{\partial U}{\partial xk} = 2 \tau \left\{ \lambda \sigma^2 xk - \left( \eta - \frac{\gamma \tau}{2} \right) \frac{x{k-1} - 2xk + x{k+1}}{\tau^2} \right\} = 0
$$

• 在约束 $x0 = X$, $xN=0$ 下，解析解为：

$$
xk = \frac{\sinh \left( \kappa (T - k \tau) \right)}{\sinh(\kappa T)} X
$$

其中参数 $\kappa$ 满足：

$$
\cosh (\kappa \tau) = 1 + \frac{\tau^2 \lambda \sigma^2}{2 \eta - \gamma \tau}
$$

• 交易量 $nk$ 对应计算形式涉及双曲余弦函数，显示交易量随时间的非均匀分布特征

3.4 交易策略启示

• 最小期望冲击策略对应于均匀拆单，即 VWAP 策略

- 大多数投资者因风险厌恶 $\lambda > 0 $，会选择均值-方差权衡的非均匀拆单，前期交易量较大，后期递减——见算法最优解中的凸向原点形态

• 有效边界曲线在最小期望点附近斜率 $\lambda=0$，但短暂增加少许成本便可显著降低风险，说明纯VWAP下或突击成交均非最佳

- 流动性高的股票（成交量大）对应参数 $\gamma, \eta$ 较低，投资者为降低方差更倾向快速成交

• 流动性差股票冲击成本高，投资者则偏好拉长执行期分散风险[page::6]

---

4. 算法扩展与实际应用举例

4.1 扩展模型

• 加入漂浮率 $\alpha$ （趋势变化）：

$$
Sk = S{k-1} + \alpha \tau + \sigma \sqrt{\tau} \xik
$$

该假设使期望冲击增加偏向逆趋势交易。

• 引入价格序列自相关 $\rho$，使 $\xik$ 非独立，这影响风险计算但不变期望冲击
• 这些扩展已在算法模块实现，虽未详细展开，但可提高模型的实际拟合度

4.2 实际应用实例

• 虚拟股票参数设定：

| 参数 | 数值 | 说明 |
|---------------------|-----------------------|------------------------|
| 初始价格$S0$ | 50元 | 开盘价格 |
| 年化波动率 | 30% | 波动率 |
| 绝对波动率$\sigma$ | 0.95元/股/√天 | |
| 交易方向 | 卖出 | |
| 交易总量$X$ | 1,000,000股 | |
| 交易时长$T$ | 1天 | |
| 拆单段数$N$ | 48（5分钟一段） | |
| 漂浮率$\alpha$ | 0 | 无趋势假设 |
| 日均交易量$V$ | 50,000,000股 | 流动性指标 |
| 永久冲击系数$\gamma$ | 2.5×10⁻⁷元/股² | 冲击成本量化参数 |
| 暂时冲击系数$\eta$ | 2.5×10⁻⁶元/(股*天) | 冲击成本量化参数 |
| 风险厌恶系数$\lambda$| 10⁻⁴ /元 | 风险权重因子 |

• 依据以上参数运行算法，交易序列显示削峰填谷趋势，早期大规模交易加快完成，后期逐渐减缓

• 计算速度高效，单股票实测计算耗时小于50毫秒，适合实盘高频交易使用

[page::7][page::8]

---

三、图表深度解读

图1：有效边界示意图（第5页）

该图展示了算法交易在期望损失 $E(x)$ 与方差 $V(x)$ 空间中的可行解集合中的有效边界，呈现下述特征：

• 曲线左侧点对应最小风险方差 $V(x)$，右下角对应最小期望损失 $E(x)$。

- 有效边界的切线斜率表示风险厌恶系数 $\lambda$，数值从0（最低点）递增至无穷大（左侧点）。

• 通过调节 $\lambda$，投资者在加权效用中找到折中最优交易策略。

- 这条曲线直观表达了成本-风险的不可兼得性，提醒投资者针对风险容忍度调节执行速度。

图形具体显示，当期望损失最低时，方差较高；反之风险最低时，期望损失显著上升。该图支撑了报告中风险-收益权衡的核心逻辑，说明纯粹最小化成本或风险均非理想选择。

图2：实际算法输出（第8页）

该图展示了在参数化虚拟股票条件下，算法计算出的剩余股票卖出数量 $xk$ 与时间节点的关系：

• 可见剩余股票量呈指数或双曲正弦函数递减趋势，早期迅速抛售大部分持仓，后期速度放缓。

- 该形态符合理论上均值-方差权衡下最优解的凸向原点特征，显示投资人对风险的规避倾向。

• 结果直观反映了当风险厌恶系数较高，投资者更倾向提前卖出部分以规避市场价格波动风险。

- 该图示说明模型不仅理论有效，也具备实际应用价值，适合嵌入高频交易系统快速决策。

---

四、估值分析

本报告为方法论技术研究，并无企业估值或股票价格目标设定，因而无传统意义上的估值分析章节。主要聚焦于交易算法模型的数学构建与应用。

---

五、风险因素评估

虽然本报告主为模型介绍与算法研究，但金融工程模型和算法交易固有以下风险隐患：

• 模型假设风险：如永久和暂时冲击成本线性假设在极端市场波动下可能失真

- 市场流动性风险：流动性不足时短时间内大量交易导致期望冲击成本暴增，甚至无法成交

• 交易执行风险：实际交易中，价格跳动、滑点、成交延迟等均影响结果

- 外部市场风险：市场趋势变动、金融政策变化可能使模型假设失效，尤其漂浮率非零时需扩展模型

报告虽未明确展开缓解策略，但通过模型扩展（自相关、漂浮率）和快速计算已部分控制上述风险。

[page::9][page::10]

---

六、批判性视角与细微差别

• 本模型基于经典均值-方差框架，固然优点是数学清晰、易于解析求解，但经典均方风险度量在非正态分布金融资产中存在局限性，如尾部风险难以完全描述。

- 假设冲击成本为严格线性简化，实际市场冲击成本多为非线性及市场深度相关，该假设可能低估实际成本

• 风险厌恶系数 $\lambda$ 的选择对交易序列影响重大，如何准确映射真实投资者风险偏好仍需结合实际测试

- 模型为静态设定，未涉及动态调整策略，可能减小实际交易环境中的灵活应对能力

• 并行风险在于模型基于历史参数估计，而快速市场环境变化可能导致参数失效，报告未针对模型稳定性和鲁棒性加以讨论

结论中作者也指出，最小期望损失和最小风险点均非大多数投资者实际选择，客观认识权衡的重要性。

---

七、结论性综合

本报告系统性地阐述了基于均值-方差效用最大化视角的算法交易拆单模型，构建了一个整合永久和暂时冲击成本的价格随机过程框架，明确了交易过程拆分、期望损失与方差量化方法，以及风险厌恶权重 $\lambda$ 对最优交易序列的调节作用。通过解析求解和极端解对比，揭示了均匀拆单（VWAP）与短期突击交易的交易成本与风险对立关系，提出有效边界作为权衡风险成本的理论工具。

图1生动地展示了该风险-成本有效边界，强调纯粹最小化其中一项均不是最优策略。图2结合实际参数模拟了算法输出，印证了理论结果，其凸出性策略符合大多数投资者风险规避偏好。

算法扩展部分体现出模型的弹性和实战潜力，适配包括价格漂浮率和相关性等更复杂的市场假设。报告还详细披露了算法交易流程和系统实现，计算效率高、实时性能强。

整体上，本报告提供了一个严谨且具有实际应用价值的均值-方差算法交易模型，为投资机构进行大单拆解、优化实现提供了数学支持和思路指引。模型适用于流动性不同的股票资产，强调了风险厌恶程度在交易速度与成本权衡中的核心作用。

---

（全文引用页码：1-10）

---

参考图表列表

| 图表编号 | 描述 | 页码 |
|----------|---------------------------------------|-------|
| 图1 | 算法交易均值-方差有效边界示意图 | 第5页 |
| 图2 | 算法输出示例：剩余交易数量与时间关系曲线 | 第8页 |

---

此分析报告完整涵盖了该金融工程研究报告重要章节、数理模型、关键公式及图表解读，剖析其理论与实践关联，确保对算法交易领域的专业人士提供详尽且精准的理解。

报告