树状模型概述与分类 [page::0][page::1]

• 树状模型通过构建标的资产价格的离散树，逐步回推计算期权价格。

- 包括一般期权定价树状模型和隐含波动率树状模型，后者能反映市场波动率微笑特征。

• 模型基于理想市场假设，使用历史数据，存在一定的实际风险偏差。

一般期权定价树状模型及主要类型 [page::3][page::4][page::5][page::8]

• CRR二叉树模型：经典二叉树模型，收敛于BS价格，但收敛过程震荡较大。

- Leisen-Reimer（LR）模型：改进参数，采用奇数步数划分，确保收敛曲线光滑且速度快。

• Edgeworth（EW）模型：引入峰度和偏度，考虑更真实的资产分布，但震荡仍存在。

- Flexible（Flex）模型：增加倾斜系数λ，调整树的中心节点趋势，实现收敛曲线平滑。

• 多模型收敛性图表对比展示：Flex、LR和AMM模型收敛效果及效率优于CRR和EW。

三叉树及AMM三叉树模型解析 [page::9][page::10][page::11]

• 三叉树模型引入三种状态（上、不变、下），贴合对数正态分布，参数基于匹配期望和方差确定。

- AMM模型在行权价附近细化划分，更准确刻画奇异关口期权价格，收敛性更佳但计算复杂度较高。

• AMM模型收敛性优于传统三叉树模型。

隐含波动率二叉树模型构建与优势 [page::12][page::13][page::15]

• 隐含波动率树状模型基于市场实际波动率曲面，利用标的资产价格、期权价格等数据反推出局部隐含波动率和风险中性概率。

- 模型考虑波动率随时间和价格的异质性，体现波动率微笑特征，弥补传统BS模型假设不足。

• 实证展示了该模型的期权定价与局部隐含波动率的树状结构，揭示其价格差异和市场信息融合的优势。

- 细化了概率调整逻辑，规避概率超界（负值或大于1）现象。

隐含波动率三叉树模型综合分析 [page::15][page::16][page::17][page::18]

• 基于三叉树节点，结合看涨和看跌期权价格、Arrow-Debreu价格等信息估算价格跳跃的概率参数。

- 在确保无套利条件下优化概率结构，修正了概率异常问题，进一步提升模型精度。

• 模型表现为更细致的隐含波动率曲面，符合复杂市场环境。

- 通过详细局部波动率矩阵展示波动率随时间和价格的动态变化。

量化模型比较总结 [page::12]

• 总体来看，LR模型计算效率最高且收敛稳定，AMM模型精度较高适合复杂标的。

- CRR和EW模型稳健但震荡明显，Flexible模型平滑性较好适合实务调整。

• 隐含波动率树状模型（包括二叉和三叉）通过引入波动率曲面有效提升定价准确度，但计算复杂度较高，需做概率调整避免机会套利。

风险提示 [page::0][page::18]

• 报告基于历史数据和一定假设，存在模型误差与未来实际偏差风险。

- 市场实际环境复杂，投资需谨慎，独立决策为宜。

期权定价树状模型报告详尽解析

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一、元数据与报告概览

• 报告标题：期权定价树状模型（期权笔记系列之二）

- 作者：俞文冰，及广发证券发展研究中心金融工程研究小组成员

• 发布日期：未明确具体发布日期，信息基于2014年前后数据统计和分析

- 发布机构：广发证券发展研究中心

• 主题：深入探讨现有各类期权定价树状模型，包含传统的CRR及其改进模型，以及具有市场隐含信息的隐含波动率树状模型。

- 核心论点与目标：
本报告致力于分析和比较多种期权定价树状模型的结构、假设、优缺点及其实际定价表现。特别强调传统模型存在的波动和不稳定性，并介绍隐含波动率树状模型以捕捉市场“波动率微笑”和“波动率期限结构”的优势。通过理论推导与实际数据（50ETF期权）对比，呈现各模型的收敛性与准确性差异。

报告并非单一推荐某个模型，而是作为期权定价工具的系统性总结，揭示每种方法在实务中适用场景和潜在局限，帮助研究者和从业者理清各模型的定价逻辑和效果。

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二、逐章深度解读

1. 报告摘要与模型分类介绍

• 关键论点：

- 树状模型是期权定价的离散近似工具，通过划分期限与状态节点，构建标的资产价格的价格树。
- 无套利定价原则通过倒推计算节点期权价格，最终获得期权的初始价。
- 树状模型分为“一般期权定价树状模型”（如CRR、Leisen-Reimer、Edgeworth、Flexible、三叉树和AMM等）和“隐含波动率树状模型”，后者融合隐含市场信息，能够反映波动率曲面。

• 假设风险：

报告提醒模型均基于历史数据和一系列理想化假设，有一定的局限性，不能完全反映市场实际，对未来预测存在偏差风险。

该部分为整体框架奠定基础，并标明不同树状模型发展的逻辑和研究视角。[page::0]

2. 期权定价树状模型特点速览（表1与描述）

• 总结：

- CRR模型优点是结构简单，容易理解，但存在收敛时价格波动幅度较大的缺点，原因是模型节点可能包含行权价，导致到期收益不连续。
- Leisen-Reimer（LR）模型通过参数调整，保证奇数区间划分，避免标的价格位于行权价，提升收敛平滑度和加快收敛速度。
- Edgeworth（EW）模型加入峰度与偏度的修正，更真实刻画资产价格分布，但仍有收敛波动大问题。
- Flexible（FLEX）模型通过添加倾斜系数 λ 调节树形结构，使得收敛曲线光滑。
- 三叉树模型及其Adaptive Mesh Method (AMM) 改进版增强了节点的灵活性和精细度，尤其适合行权价附近价格精准计算。
- 隐含波动率树状模型更精细地反映波动率曲面，融入了市场期权价格和箭头-德布鲁价，极具市场现实指导意义，但计算复杂度大，速度慢。

• 逻辑与假设：

各模型均基于无套利和风险中性定价框架，但在模型参数及节点设计上做了不同的调节以增强精度和市场反映程度。

• 数据点：

表格列明各模型优缺点，有助于对比选择适合不同场景的定价方法。[page::3]

3. 具体模型详解

3.1 CRR二叉树模型

• 核心论点：

- 利用二叉树结构模拟标的资产价格，价格在每个区间向上或向下移动固定比例 $u$ 和 $d$。
- 通过风险中性概率 $p$ 计算期权价格，欧式期权定价公式明确列出。
- 美式期权通过比较持有和行权价值，应用最大值原则反向递推完成定价。
- 随着划分步数 $n$ 增大，价格趋于布莱克-斯科尔斯（BS）公式，但收敛过程波动较大因节点包含行权价导致收益不连续。

• 数学公式解释：

- 上升幅度$u = e^{\sigma \sqrt{dt}}$，下降幅度$d = \frac{1}{u}$。
- 期权价值用二项分布权重组合价格的最大值表达，看涨看跌公式清晰。
- 美式期权由于可提前行权，价值递推中加入比较操作。

• 假设：

- 标的资产价格运动符合几何布朗运动，波动率$\sigma$和利率$r$为常数。

• 意义：

CRR模型为基础的树状模型，但收敛波动限制了其实用性。[page::4,5]

3.2 Leisen-Reimer（LR）二叉树模型

• 改良点：

- 保持二叉树结构但调整参数 $u, d, p$，使区间数为奇数保证树节点不会包含行权价。
- 使用了Peizer-Pratt方法计算参数 $g(z)$ 提升模型收敛速度和平滑性。

• 技术细节：

- $d1$，$d2$对应BS模型中$d1$，$d2$变量形式，调整概率映射促进更稳定的概率分布。

• 图1分析：

- 展示50ETF购7月1.50期权定价随计算步数的变化，蓝色线为CRR，红色为LR模型。
- LR模型定价曲线平滑收敛，波动较小；CRR曲线波动明显，尤其步数较小时。
- 体现LR模型提升收敛稳定性和准确性的效果。

• 结论：

LR模型较CRR更优，尤其在实际计算效率与稳定性方面。[page::5,6]

3.3 Edgeworth（EW）二叉树模型

• 核心逻辑：

- 针对CRR模型假设标的资产对数收益为正态分布忽视峰度与偏度的问题，采用Edgeworth展开修正概率分布，补偿偏度 $\xi$ 和峰度 $\kappa$。

• 模型构造步骤：

- 计算不同末端节点的概率$fj$，标准化后$Pj$确保概率和为1。
- 利用条件概率递推中间节点价格，组建标的资产的二叉树。
- 通过标的资产均值、方差的校正保证风险中性预期。

• 数据应用：

- 计算中50ETF的峰度5.73和偏度1.98，体现分布非对称性，作为参数应用该模型定价。

• 图2分析：

- EW模型价格曲线（红线）明显低于CRR（蓝线），说明考虑峰度与偏度模型的定价更谨慎。
- 收敛过程中两者均有波动，但EW模型价格整体更为稳定下降。

• 结论：

EW模型为复杂分布条件下的修正方案，但依然面临收敛波动问题。[page::6,7,8]

3.4 Flexible（FLEX）二叉树模型

• 创新点：

- 引入倾斜因子 $\lambda$ 调整上升与下降幅度，调控树的形态，使期权价格收敛曲线平滑。
- 当 $\lambda=0$ 恢复CRR模型， $\lambda>0$ 曲线随时间升， $\lambda<0$ 下降。

• 公式说明：

- 通过条件选择 $\lambda$ 保证收敛曲线光滑，避免震荡。

• 图3分析：

- Flex模型价格（红线）低于CRR（蓝线），但收敛更平稳。
- 早期波动较大，但快速趋稳。

• 优势：

- 灵活调节模型形态，改善价格震荡，提高计算效率。

• 适配性：

- 对日常期权定价In practical use可能较适合。[page::8,9]

3.5 三叉树模型

• 原理：

- 保留CRR模型的核心思想，但每步扩展为三个状态——资产价格上涨、不变、下跌，概率 $p1, p2, p_3$。
- 参数通过匹配概率和、期望和方差求解。

• 参数设定：

- 采用Boyle方案，设定$u d=1$ 和 $u = e^{\lambda\sigma\sqrt{\Delta t}}$，尤其推荐 $\lambda=\sqrt{2}$ 以获得良好收敛效果。

• 挑战：

- 时间划分需满足概率非负约束。
- 美式期权定价思路类似CRR。

• AMM三叉树模型改进：

- 在行权价附近增加更细分节点，提升价格计算精度。
- 虽然计算复杂度上升，但收敛更好，尤其适合行权价附近复杂结构期权定价。

• 图4分析：

- AMM模型曲线（红）较传统三叉树模型（蓝）更平滑，早期稳定性更好。

• 图5收敛性汇总分析：

- 汇总六种一般树状模型，均在步数较多时收敛于BS价格。
- CRR与EW收敛波动较大。
- AMM，传统三叉树和LR表现最佳，收敛快且稳定。
- FLEX曲线平滑但收敛稍慢。

• 结论：

- 三叉树和其改进模型在精细度和计算效率间取得了较好平衡。

• 重要性：

- 说明了多状态模型的潜力和灵活性，特别在美式期权定价中极具实用意义。[page::9,10,11,12]

4. 隐含波动率树状模型

4.1 隐含波动率二叉树模型

• 关键创新：

- 波动率$\sigma$不再假设为常数，而是函数$\sigma(S,t)$依赖价格和时间，反映波动率微笑和期限结构。
- 结合标的资产价格、远期价格、Arrow-Debreu价格及市场期权价格构造树，进而反推节点局部隐含波动率。

• 模型复杂度：

- 参数远超一般模型，每步需解大量未知数。
- 复杂计算中概率可能出现负值或超出[0,1]区间，要求执行概率调整避免套利机会。
- 计算速度慢，灵活度和市场信息捕捉能力强。

• 图6分析：

- 50ETF期权隐含波动率二叉树模型价格随着区间数增加有所波动，定价高于传统二叉树模型，反映波动率曲面结构的影响。

• 表2局部波动率示例数据：

- 局部波动率在不同时间步和节点处变化，体现波动率曲面的结构，从0.29至0.02左右不等。

• 经济解释：

- 反映市场的波动率微笑，避免传统常数波动率假设带来的估值误差。

• 计算方法：

- 利用期权价格反解标的价格树和概率分布，保证无套利基础上更符合市场实况。

4.2 隐含波动率三叉树模型

• 进一步细化：

- 三叉树结构增加状态数，更加精细描述资产价格变动和波动率微笑。
- 需要解决 $4m+2$ 个未知参数（上升和下降概率），通过市场看涨看跌期权价格、远期价和Arrow-Debreu价格联合求解。

• 概率调整：

- 避免概率为负，通过特定调整公式保证无风险套利条件。

• 波动率计算公式：

- 局部波动率通过加权资产价格离差平方和计算，体现节点间不同状态的波动。

• 图7分析：

- 模型期权价格形式收敛，区间数越多，价格稳定，体现更高的精确度。

• 表3局部隐含波动率树：

- 显示10步隐含波动率的详细分布，最高达到0.32，最低约0.29，反映出波动率曲面复杂结构。

• 总结：

- 隐含波动率树状模型与传统模型相比，更加符合真实市场结构，适合捕获复杂的波动率曲面，但计算繁琐。

• 风险提示：

- 与所有模型一致，实际市场的不确定性和历史数据局限可能对模型结果产生偏差。[page::12-18]

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三、图表深度解读

• 图1（LR vs CRR收敛性比较）：

- 说明LR模型收敛更快更平稳，避免行权价节点导致的价格波动。

• 图2（EW模型与CRR模型收敛性）：

- EW模型更低的定价显示峰度和偏度对价格的影响，体现更现实分布。

• 图3（Flexible与CRR比较）：

- Flexible模型显示更光滑的收敛且价格略低于CRR，帮助避免震荡。

• 图4（AMM与传统三叉树对比）：

- AMM模型在细分计算下期权价格更精确、更稳定。

• 图5（综合比较）：

- 显示不同模型总体趋势，确认波动和收敛速度的差异。

• 图6 & 图7（隐含波动率二叉树和三叉树定价）：

- 显示模型价格随区间步数变化，体现波动率微笑影响。

• 表2 & 表3（局部隐含波动率数值）：

- 展示隐含波动率分布的具体数值，有助于理解波动率曲面在时点和价格维度的变化。

图表整体有效支持了文本论述，直观展示各模型在计算稳定性、收敛速度及价格表现的差异。[page::6-18]

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四、估值分析

本报告的估值焦点在于期权定价，通过不同树状模型求得不同算法下的期权定价。

• 方法论：

- 主要基于风险中性定价原理，构建标的资产价格树。
- 通过递归反向归纳期权价值，考虑美式期权提前行权可能性。
- 隐含波动率模型将市场隐含信息嵌入到价格变动概率及波动率参数中。

• 关键输入与假设：

- 基本参数：波动率$\sigma$，无风险利率$r$，标的资产初始价格$S$，行权价$K$。
- 时间划分数量$n$影响定价精度与收敛速率。
- 各模型对节点概率机制的调整和波动率假设细节。

• 敏感性与比较：

- CRR对参数和分步数敏感，波动较大。
- LR及Flexible在参数调控下显著改善波动，提升效率。
- 隐含波动率模型由于结合市场数据，理论上更为准确但需排除概率异常。

该部分体现了理论与实证的结合，同时突显各模型的适用场景。[page::4-18]

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五、风险因素评估

• 假设和数据局限：

- 采用历史价格数据估计波动率和峰偏度，未来市场行为可能与历史不符。
- 模型假设如风险中性定价、无套利原则在真实市场中可能受交易成本、流动性等因素影响。
- 隐含波动率模型中概率可能异常（<0或>1），需要算法调整，增加计算复杂度及不确定性。

• 模型结构风险：

- CRR等基本模型在接近行权价产生波动，可能误导定价。
- Edgeworth等复杂分布引入模型难以保证有效概率归一与稳定。
- 隐含波动率模型虽然考虑更多市场信息，但模型结构更加复杂，计算稳定性差。

• 市场风险：

- 不同市场环境（波动率极端变化、突发事件）会削弱模型预测能力。

• 报告风险声明：

- 明确指出模型和结果存在现实偏差，提醒投资者谨慎使用，风险由投资者自行承担。

整体风险分析诚实披露了模型局限性和实操中可能遇到的问题，强调谨慎理解与使用。[page::0,18]

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六、批判性视角与细微差别

• 潜在偏见：

- 报告虽客观比较多种模型，但在部分段落对LR、AMM等模型的优越性表达较为肯定，暗示其优先选择价值，可能存在偏重改进模型的倾向。

• 数据和假设约束：

- 所有模型登陆的市场参数均基于历史数据，未来波动特性不确定，模型鲁棒性受限。
- 隐含波动率模型依赖市场期权价格完整性及无套利假设，实际交易受摩擦影响较大。

• 计算复杂度与实用性权衡：

- 报告重点强调了隐含波动率树模型准确但计算慢、参数多，缺乏对实际应用中计算效率和稳定性的深入分析。

• 模型间矛盾：

- 随着模型复杂度提升（如三叉树、隐含波动率树），部分计算步骤涉及迭代和概率调整，可能引入数值不稳定，却未深入讨论。

综上，报告整体严谨且内容丰富，但对部分实操难题及计算挑战关注不足，模型应用效果存在理想化倾向。[page::0-18]

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七、结论性综合

本报告系统梳理了期权定价中常见的多种树状模型，从最基础的CRR二叉树模型，到各类改进二叉树模型（LR、EW、Flexible），再到贡献更大地反映市场信息的隐含波动率二叉树及三叉树模型。具体发现包括：

• 收敛性与稳定性：

- CRR和EW模型均存在较大收敛波动。
- LR、Flexible和AMM模型因参数调整及局部分细，在计算步数较少时即可快速、稳定收敛，其价格更贴近理论BS定价。

• 模型设计与创新：

- LR模型通过保证节点不包含行权价，解决了收益不连续问题。
- Edgeworth模型对标的资产分布进行高阶校正，合理引入偏度和峰度。
- Flexible模型通过倾斜参数调节树结构，带来更光滑收敛曲线。
- 三叉树结构提供更多状态机率选项，更真实模拟价格过程。
- AMM三叉树在行权价附近提供更精细定价，适合关卡期权定价场景。

• 隐含波动率模型：

- 显著突破常数波动率假设，兼顾市场波动率微笑与期限结构，通过融合市场行情信息导出局部波动率，定价更贴合市场实际。
- 但计算复杂，且概率不符合约束时需调整，影响计算效率。

• 图表验证：

- 多幅图显示不同模型的定价随计算步数变化的趋势，支撑文本结论。
- 表2、表3系统呈现隐含波动率的空间时间分布，体现波动率曲面的复杂变化。

• 应用与展望：

- 根据不同期权特征和市场需求，选择合适的模型尤为重要。
- 一般二叉树模型适合教学及简单定价，改进模型适合实务应用，隐含波动率模型适合高精度需求和市场导数定价，但需更多计算资源。

• 风险须知：

- 所有模型基于多项假设和历史数据，市场未来变化存在不确定性。
- 模型输出应作为判断参考之一，投资决策需谨慎。

综上所述，广发证券关于期权定价树状模型的研究细致全面，系统整合了现有经典方法和最新改进技术，结合具体市场数据验证，极大丰富了中国证券市场期权建模理论与实操工具库。

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参考文献页码

本分析严格基于报告内信息，引用涉及的页码如下：

• [page::0], [page::3], [page::4,5], [page::5,6], [page::6,7,8], [page::8,9], [page::9,10,11,12], [page::12-18], [page::18]

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总结

本文对广发证券《期权定价树状模型》报告做了深入详尽的解读，不仅覆盖了其涵盖的所有树状模型的理论基础、数学结构，还重视了模型的优劣比较和计算性能，并详细分析了每幅图表、每个表格的含义和启示。整体分析展示了期权定价树状模型的发展脉络与实务应用价值，为学术研究和金融工程实务提供了重要参考。

报告