研究背景与模型创新 [page::0][page::1]

• 研究联合股权和利率动态，针对混合衍生品定价，对波动率和利率均采用高斯Volterra过程建模，兼顾马尔科夫和非马尔科夫特性。

- 传统模型难以准确捕捉利率Cap隐含波动率驼峰形期限结构和标普500隐含波动率ATM偏度的复杂期限结构，提出Volterra Stein-Stein模型结合随机利率，提升拟合能力。

利率定价与期权定价解析结果 [page::2][page::3][page::5]

• 利用Volterra核的Resolvent定义，推导零息债价格显式表达式及其随机微分动态。

- 基于零息债券的期权定价，得到零息债券看涨/看跌期权闭式公式及利率Cap和Floor定价公式。

• 该方法适用于任意Volterra核，支持模型对利率期权市场数据的精准拟合。

指数衍生品定价与特征函数表达式 [page::6][page::7][page::8]

• 引入远期风险中性测度及远期指数定义，将复杂风险中性定价转化成远期测度下的期权定价问题。

- 推导log远期指数的特征函数的半显式表达式，包含Fredholm算子和对应的线性算子\(\Psit^u\)。

• 利用该特征函数，基于Fourier方法实现指数及其期权的快速定价，并提出数值算子离散化近似方案。

数值方法与Fourier定价稳定性 [page::9][page::10][page::11]

• 提出Fredholm算子离散化方案，将算子近似为有限维矩阵，并利用Fredholm行列式计算特征函数中的核迹项，提升计算效率与精度。

- 实施Lewis（2001）基于Gauss-Laguerre正交的数值积分定价方法，实现指数期权价的高效数值计算。

• 通过实证比较展示离散点数N对误差收敛性以及数值积分权重L对定价精度影响，保证回测的数值稳定性。

模型校准及实证 [page::12][page::13][page::14][page::15][page::16][page::17][page::18]

• 利用2022年8月25日的USD 3M Libor及Cap隐含波动率数据校准利率模型参数，成功重现驼峰型隐含波动率期限结构，特征为Hurst指数>0.5体现长程依赖。

- 使用S&P500期权隐含波动率数据，分别用分数核和移位分数核标定波动率及相关性，发现移位分数核模型拟合优于纯分数核，能够捕捉期权隐含波动率ATM偏度的对数对数凹形期限结构。

• 估计相关性参数显示利率与指数呈显著负相关，历史数据的180日滚动相关结构验证此假设合理性。

模型数学结构与Riccati方程连接 [page::18][page::19][page::20][page::21]

• 建立了特征函数半显式表达式与带核Riccati方程的等价关系。

- 针对完全单调Volterra核，提出基于核的拉普拉斯表示的无穷维Riccati方程体系，提供解析进一步简化与多因子近似方案。

• 对于标记为完全单调的和指数类型的Volterra核（马尔科夫情形），推导相应有限维线性/二次Riccati方程系统，恢复经典模型格式。

- 提出多因子近似法通过Laplace分解构造有限加权指数核，证明其在算子核范数下收敛性，实证比较多因子法与算子离散法的收敛速度和计算效率差异。

模型应用总结 [page::13][page::18]

• 该Volterra Stein-Stein随机利率模型融合了历史统计特征与市场误差，更加契合实证波动率与利率市场数据。

- 可有效价量化混合衍生品定价，为风险管理提供精确工具。

• 数值方法完善，结合Fourier积分快速计算，具备市场实际应用潜力。

量化方法与算子特征函数总结 [page::8][page::9]

• 利用高斯Volterra过程与算子理论构造特征函数，定义了算子\(\Psit^u\)，并基于其Fredholm行列式来计算特征函数的trace部分。

- 采用算子离散化技术，转化为有限矩阵运算，保证计算中Fredholm行列式与积分实现高效。

• 利用算子特征函数实现Lewis傅里叶定价框架，通过Gauss-Laguerre积分稳健数值计算指数期权价格。

- 介绍了多因子近似法，利用Volterra核的Laplace表示进行有限因子分解，构造精确Riccati方程系统，保证数值收敛性。

模型校准结果 [page::14][page::15][page::16][page::17][page::18]

《The Volterra Stein-Stein model with stochastic interest rates》报告详尽分析报告

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1. 元数据与总体概览

报告信息

• 标题：《The Volterra Stein-Stein model with stochastic interest rates》

- 作者：Eduardo Abi Jaber, Donatien Hainaut, Edouard Motte

• 机构：

- Eduardo Abi Jaber：法国Ecole Polytechnique，CMAP
- Donatien Hainaut及Edouard Motte：比利时Université Catholique de Louvain，LIDAM-ISBA

• 日期：2025年7月17日

- 研究主题：提出并分析带有随机利率的Volterra Stein-Stein模型，将随机波动率与利率通过相关的Gaussian Volterra过程统一描述。

核心论点与研究目标

该报告提出一个新颖的带随机利率的Volterra Stein-Stein模型框架，其中波动率和利率均由相关的Gaussian Volterra过程驱动。该框架：

• 统一了多种Markov和非Markov模型。

- 保持了定价和对冲的解析可行性。

• 推导出零息债券及利率cap/floor定价的显式公式。

- 推出了对数远期指数的特征函数（半显式），可利用Fredholm可逆子和行列式表达。

• 通过傅里叶方法快速高效地实现衍生品定价和参数校准。

- 结合市场数据校准显示该模型能够捕捉重要市场现象，如cap期权隐含波动率的驼峰状期限结构及S&P 500期权的隐含波动率斜率的对数-对数刻画的凹性期限结构。

• 连接了特征函数表达式和无限维Riccati方程，使其与传统线性-二次模型建立联系。

关键词包含Gaussian Volterra过程、波动率、利率、记忆、Fredholm可逆子、傅里叶定价及Riccati方程。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（第0-1页）

• 关键论点：

- 联合建模股权与利率动态对于定价和对冲混合衍生品至关重要。
- 必须刻画两个因素的持久记忆效应与相关结构。
- 实证数据显示利率及资产波动率的自相关缓慢衰减，且隐含波动率期限结构表现为特定形状：利率cap/floor隐含波动率呈驼峰状、股票指数ATM隐含波动率skew展现对数-对数刻画的凹形期限结构。

• 支撑依据：

- 引用Cont (2001)、Dai and Singleton(2003)、McCarthy et al. (2004)等文献说明记忆效应。
- 说明市场数据中不仅历史表现出现记忆效应，隐含波动率的期限结构也显现特定有规律的形态。
- 现有模型（Heston等延展、Stein-Stein与Hull-White多因素等）虽然解析，但因Markov限制无法捕捉此类复杂期限结构，比如不能生成带有明显驼峰的隐含波动率曲线，隐含波动率skew的减速衰减过程也不合理[page::0,1]。

2.2 模型构建与贡献（第1页）

• 模式创新：

- 建立一个Volterra过程驱动的随机利率与波动率框架。
- 该模型既能包含传统Markovian模型，也能支持非Markovian（带路径依赖和长记忆）模型。
- 设计上将Volterra Stein-Stein模型延伸至随机利率环境。

• 技术突破：

- 对零息债券及其期权Derivatives给出显式定价（Propositions 2.1，2.2）。
- 利用Fredholm resolvents及行列式得出半显式特征函数（Theorem 3.1）。
- 参数校准显示该模型对ATM cap隐含波动率驼峰结构和S&P 500 ATM skew的对数-对数凹性期限结构具有很好的拟合能力（见Figures 4，9）。
- 揭示模型参数估计能产生利率与指数的负相关，贴合历史统计（因利率和股票价格往往负相关）。
- 还首次将该特征函数与无限维Riccati方程联系，和线性-二次模型架构相呼应。

• 对比发现：

- 验证粗糙波动率模型表现不如非粗糙Volterra模型，支持Abi Jaber和Li (2024)等研究结论[page::1]。

2.3 模型定义与结构（第2-3页）

• 数学框架：

- 在风险中性测度$\mathbb{Q}$下，指数$It$满足
$$
dIt = rt It dt + \nut It dWI^{\mathbb{Q}}(t),
$$
其中利率$rt$和波动率$\nut$均由相关的Gaussian Volterra过程驱动：
$$
rt = r0(t) + \int0^t Gr(t,s)\kappar rs ds + \int0^t Gr(t,s) \etar dWr^{\mathbb{Q}}(s),
$$
$$
\nut = g0(t) + \int0^t G\nu(t,s)\kappa\nu \nus ds + \int0^t G\nu(t,s)\eta\nu dW\nu^{\mathbb{Q}}(s).
$$
- 三个Brownian运动相互相关，建立完整的相关结构$\rho{lk}$。

• Volterra核定义：

- 核$G$满足连续有界的Volterra核定义，针对核的正则性提出明确数学条件。
- 多种Kernel示例：
- 常数核$G=1{s - 指数核带有衰减性，仍属Markovian。
- 分数核$(t-s)^{H-1/2}$，含非Markov性和记忆效应，$H<1/2$对应粗糙波动率，$H>1/2$对应长记忆。
- 移位分数核，消除分数核在$t\to s$处的奇异性，允许更快衰减。

• 存在性定理：在此结构下，存在唯一强解，满足有界矩阵的高阶矩[page::2,3]。

2.4 定价公式推导（第3-5页）

• 零息债券定价：

- 利用核的可逆子（resolvent，Definition 2.2）定义并计算，推出债券定价的解析表达（Proposition 2.1）：
$$
P(t,T) = A(t,T)\exp\Big(-\intt^T ft(s) ds\Big),
$$
- 其中函数$A(t,T)$和$ft(s)$均依赖于resolvent及初始曲线$r0$。

• 利率期权定价：

- 零息债券期权价格满足Black公式结构（Proposition 2.2），明确了Black-Scholes风格$ d1, d2$的表达，并指出其方差$ v^2(t,T,S)$和$B{Gr}(t,T)$函数关系。

• 扩展到Cap和Floor：

- 通过零息债券期权叠加，Cap和Floor可定价，并可利用本框架做市场校准。

• 指标期权定价：

- 定价指数衍生品时，引入$T$-远期测度$\mathbb{Q}^T$，简化贴现和测度转换。
- 定义$T$-远期指数：
$$
It^T = \frac{It}{P(t,T)},
$$
并给出其测度下的动态（2.12），其中波动率和利率波动影响耦合[page::3,4,5,6]。

2.5 特征函数表达及数值实现（第7-11页）

• 理论工具：

- 引入$L^2[0,T]$空间上的紧致积分算子和Fredholm理论。
- 定义关键算子$\Psit^u$，并基于核及其resolvent组装特征函数的表达式。

• 特征函数半显式表达式（Theorem 3.1）：

$$
\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T}\Big[\exp\big(u\log\frac{IT^T}{It^T}\big) \Big| \mathcal{F}t \Big] = \exp\Big(\phit^u + \chit^u + \langle ht^u, \Psit^u ht^u \rangle{L^2}\Big),
$$
其中$\phit^u$和$\chit^u$涉及Fredholm行列式与积分。

• 数值近似方法：

- 对$\Psit^u$在$L^2$空间做离散化，转化为有限矩阵$\Psit^{u;N}$，方便数值计算。
- 特定核（如分数核、移位分数核）下，矩阵元素可显式函数形式给出。
- 利用Fredholm行列式计算$\phit^u$，提升了计算效率。
- 利用Lewis (2001)傅里叶定价公式与高斯-拉盖尔积分规则计算期权价格，给出对应算法（Algorithm 1）。

• 评价数值性能：

- 通过数值测试，验证当离散点$N$增大时，特征函数和值的近似误差迅速减少。
- 伴随图片（Figure 1和Figure 2）对不同$H\nu$值下的隐含波动率曲线及收敛性进行展示[page::7,8,9,10,11,12,13]。

2.6 校准实证（第13-18页）

• 数据集：

- 使用2022年8月25日的USD 3M Libor利率曲线、Cap隐含波动率及S&P500期权隐含波动率数据。

• 利率部分校准：

- 利用分数核$Gr$，仅三个参数拟合利率曲线与ATM Cap隐含波动率期限结构（Figure 3和4），获得$\hat{H}r=0.9845>1/2$，说明了长记忆行为。
- 进一步比较生成的样本路径及自相关函数（Figure 5），与实际市场数据吻合，充分体现该模型能反映美元Libor的长期依赖性。

• 波动率及关联参数校准：

- 同样使用分数核和移位分数核校准S&P500隐含波动率。
- 移位分数核效果更好，尤其能准确拟合ATM Skew的对数-对数期限曲线，实现RMSE分别为0.4602%和0.5321%（Figures 6-9）。
- 校验$\rho{I r}$拟合结果与实际市场滚动相关匹配，均为显著负相关（Figure 10）。

• 整体表现：

- 模型架构简洁且高度解析，能捕捉隐含波动率市场的核心特征和期限结构，有力支持了理论建模上的创新及应用价值[page::13,14,15,16,17,18]。

2.7 与经典线性-二次模型关联（第19-22页）

• Riccati方程联系：

- 解析表达的特征函数与无穷维Riccati算子方程紧密关联（Proposition 5.1），将Volterra模型引入经典的线性-二次框架中。

• 完全单调核的Riccati简化：

- 进一步假设核为完全单调（Laplace表达式）（Definition 5.1），导出相应的Riccati系统（Proposition 5.2）。
- 该系统为积分方程组，涉及$\Thetat^u,\Lambdat^u,\Gammat^u$。

• Markov示例：

- 特殊情况下，明确截断为有限因子形式(Proposition 5.3)，核为指数或指数加权叠加，转换为有限维Riccati微分方程组。
- 给出单因子的显式演化（Corollary 5.1），可直接用于计算，且对应于已知文献结果（van Haastrecht et al.，2009）。

• 多因子近似方案：

- 提出通过Laplace表示，将完全单调核近似为有限加权指数核（Lemma 5.1及Proposition 5.4）。
- 该近似方案保证$L^2$收敛，并对特征函数的近似收敛给出理论保障。

• 数值方案比较：

- “operator discretization”方法收敛更快且实现较为简单，
- “multi-factor”方法理论完备但计算负担较大（Figures 11和12展示对比）。

• 总体而言，将Volterra模型与经典线性-二次模型架构完美结合，更易理解与计算，丰富了金融模型理论[page::19,20,21,22,23,24].

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3. 图表深度解读

• 表1（第3页）：列举三类特别的Volterra核例子及其对应的resolvent核与积分，其中包括常数核、指数核和更一般的完全单调核。该表辅助说明具体核如何关联对应的可逆子，从而实现零息债券和相关利率模型的显式求解。
• Figures 1 & 2（第12-13页）：展示了操作符离散化方法随着离散因素数$N$上升时，隐含波动率拟合的收敛行为。相比$N=5$时拟合偏差较大，高$N$下拟合快速稳定于解析解。Figure 2以Monte Carlo模拟的置信区间验证了数值方法的精度。
• Figures 3-5（第14-15页）：

- Figure 3：USD 3M Libor利率曲线的市场实测数据，代表初始利率结构校准的基准。
- Figure 4：分数核建模Cap期权ATM隐含波动率期限结构，曲线与市场数据吻合度极高（RMSE约0.3663%），并附带模型参数（$\kappar$、$\etar$、$Hr$）标定。
- Figure 5：生成的利率样本路径及其理论和实证自相关比较，明显长记忆性质符合市场特征。

• Figures 6-10（第16-18页）：

- Figures 6 & 7：波动率模型使用分数核和移位分数核对S&P 500隐含波动率的拟合效果。两者均能较好拟合隐含波动率曲面，移位分数核性能优于分数核。
- Figures 8 & 9：汇总ATM隐含波动率与skew期限结构拟合，显示移位分数核更好复刻实际凸凹形态及下降速率。
- Figure 10：S&P 500与USD 3M Libor利率间的180日滚动相关性，以实测数据佐证模型校准出的相关性为负且合理。

• Figures 11-12（第24页）：对比多因子Riccati近似法与操作符离散化器法。示意图显示两者均有收敛性且都能拟合隐含波动率，但操作符离散化方法计算速度和收敛速度更快。
• Figures 13-16（第34-36页）：Lewis定价公式数值积分中积分核与期权价格随截断权重调整效果，验证数值积分稳定收敛，保证傅里叶定价程序的实用性。
• Figures 17-18（第36-37页）：展示基于操作符离散化得到的隐含波动率拟合与Monte Carlo模拟置信区间的契合，验证模型近似充足且稳定[page::3,12-18,24,34-37]。

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4. 估值分析

• 估值方法：

- 以风险中性测度下的期望及零息债券贴现为基础的无套利定价框架。
- 利用Volterra过程构造标的、利率和波动率动态，保护过程非Markov非半鞅性质。
- 利用Fredholm理论从紧致积分算子角度构造特征函数表达，进而通过傅里叶变换法计算欧式期权价格（Lewis定价公式）。
- 采用核的resolvent定义表现零息债券及相关期权隐含的均值和方差，保持定价解析性。

• 数值近似：

- 将连续核的积分算子通过离散化转化为有限维矩阵，应用线性代数方法计算特征函数。
- 利用行列式的Fredholm定义加速计算。
- 对完全单调核，提出基于Laplace表示的多因子近似，转化为多维Riccati微分方程组求解，从而获得特征函数半闭式形式，且这个多因子方法收敛于真模型。

• Riccati方程应用：

- 证明并展示了Riccati算子方程如何表示特征函数的重要组成部分。
- 对Markov内核（指数加权和）给出明确且可解的Riccati方程。
- 该结构有助于信用、债券、期权的估值及风险管理。

• 工具选择：

- 相比transitional概率密度方法，傅里叶/Laplace方法因特征函数显式/半显式更适合非Markov长记忆模型[page::3,7-11,19-23]。

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5. 风险因素分析

尽管报告未专门设立风险章节，但从模型结构和实证校准确可提炼主要风险点：

• 模型风险：

- Volterra核选取是否恰当，尤其对市场拟合和计算稳定性影响显著。
- Gaussian Volterra过程假设可能忽略跳跃或极端风险。

• 参数估计风险：

- 参考利率和波动率历史数据时潜在样本外偏差和非平稳影响。
- 相关矩阵参数的估计误差可能影响联合模型定价。

• 数值风险：

- 离散化数量$N$不足会降低估值精度，$N$过大导致计算资源密集。
- 多因子Riccati解法存在高维方程组求解稳定性考虑。

• 市场适用性风险：

- 尽管模型可捕捉多种期限结构，但对某些市场极端状态或结构性变化是否鲁棒未论证。
- 跨市场（如货币、信用）应用时关联结构可能失效。

• 缓解措施/实证测试：

- 通过市场数据校准（特别是Ramse，打分统计）检验模型有效性。
- 采用操作符离散化加速计算，监控数值误差。
- 引入多因子近似验证鲁棒性和理论收敛。
- 后续研究可能考虑跳跃过程与非Gaussian扰动以增强模型稳健[page::1,10,23]。

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6. 批判性视角与细微差别

• 模型假设聚焦于Gauss Volterra过程，尚未考虑跳跃过程或非高斯驱动，限制了极端风险捕捉能力。

- 参数估计与模型校准依赖纯粹二阶统计特征，可能忽略更高阶统计量对波动率动态的影响。

• 特征函数表达虽解析，但算子性质和Fredholm理论要求背景分析复杂，对非专家门槛较高。

- 数值实现中操作符离散化方法虽收敛较快，但未给出严格的理论收敛速度或者误差上下界。

• 多因子近似解法维度较高，计算成本大，实际应用中权衡精度与速度需重点考虑。

- 校准数据集中于美债Libor与S&P 500，其他资产类别或市场状态下的通用性尚待验证。

• 理论体系围绕无套利且平衡市场假设，现实市场中存在交易摩擦、流动性风险未涵盖。

- 对测度转换与多维Brownian运动耦合部分，相关性估计固定，暂未给予动态相关处理方案[page::1,10,23-26]。

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7. 结论性综合

报告《The Volterra Stein-Stein model with stochastic interest rates》提出并发展了一个极具前沿性的随机波动率与随机利率联合建模框架，采用Gaussian Volterra过程驱动利率与波动率，且在保持非Markov和记忆特征的同时，维系了解析定价和对冲的数学可处理性。核心贡献有：

• 模型创新：联动利率与波动率，涵盖传统Markovian模型与非Markovian长记忆模型，实现了模型通用性和解释力的结合。

- 定价公式：利用核函数的resolvent及Fredholm理论，推导出零息债券、债券期权及指数期权的解析及半解析特征函数。

• 数值实现：通过操作符离散化法与Fredholm行列式快速准确完成特征函数的数值计算，支持傅里叶定价法的实务级应用。提出了多因子Riccati方程近似及理论收敛结果，为实际复杂核函数提供了可计算路径。

- 市场校准：基于2022年08月25日真实市场数据，依次校准利率模型和波动率及相关参数。分数核利率模型成功复现资本市场中著名的cap隐含波动率驼峰结构，波动率模型则在粗糙与移位分数核之间凸显后者的优势，能精准匹配S&P 500隐含波动率及其skew对数-对数期限结构。

• 实证衔接：校准结果所反映的利率与指数的显著负相关，在市场实测滚动相关性中得到印证，验证了模型的经济合理性和统计意义。

- 理论联系：模型的特征函数表达式与经典线性-二次模型中的无限维Riccati方程建立直接联系，既丰富了理论金融工具箱，也提升了模型的解释力度。

• 风险与限制：模型基于Gaussian假设，数值方法存在离散参数选取权衡，且具体市场外延适用性有待进一步验证。

综上，该报告系统地构筑了一个理论先进且实操性强的随机利率随机波动率联合模型，不但拓展了传统金融数学框架的广度与深度，也为实际复杂金融衍生品的高效定价和风险控制提供了重要工具，具有重要的学术与实务价值。



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参考文献溯源

• 引入模型背景及重要市场现象及经典文献 [page::0]

- 分析现有模型不足与Volterra过程优势 [page::1]

• 模型定义与核类型举例，数学性质 [page::2,3]

- 零息债券及期权显式定价，resolvent理论 [page::3,4,5]

• 指数动态、远期测度转变及相关推导 [page::6,7]

- 特征函数表达式，Fredholm算子逼近及数值方法 [page::7-12]

• 数据校准详细过程及实证结果 [page::13-18]

- Riccati联系与多因子近似技术 [page::19-24]

• 理论证明详细说明 [page::24-33]

- 数值集成公式及模拟验证 [page::34-37]

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附：重点图表与公式示例解读

• 零息债券定价公式（Proposition 2.1）：

$$
P(t,T) = A(t,T) \exp\Big(-\intt^T ft(s) ds\Big),
$$
式中$A(t,T)$、$ft(s)$均依赖kernel的resolvent，保持解析表达，有效满足初始债券曲线拟合要求[page::3-4]。

• 零息债券期权Black样式价格（Proposition 2.2）：

$$
\text{Call}{ZC}(t,T,S,K) = P(t,S)\Phi(-d1) - K P(t,T)\Phi(-d2),
$$
$d1, d2$公式及价差波动率$v(t,T,S)$给出，实际可用于ATM等目标校准[page::5]。

• 特征函数（Theorem 3.1）：

$$
\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T}\left[e^{u \log \frac{IT^T}{It^T}} | \mathcal{F}t\right] = \exp\left( \phit^u + \chit^u + \langle ht^u, \Psit^u ht^u \rangle{L^2} \right).
$$
这一近似表达结合Fredholm理论和矩阵离散化，解决了非Markov场景下经典特征函数难求的问题[page::8-10]。

• 校准图示：

- Figure 4的humped-shaped term structure精准拟合，参数显示长记忆$Hr>1/2$。
- Figure 9展示S&P 500隐含波动率skew的对数对数凹形期限结构，移位分数核优于传统分数核[page::14,18]。

• 比较多因子法与操作符法：

操作符离散化表现速度快、实现简单，多因子法收敛理论清晰但计算量大，应用时可依需择优[page::24].

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总结

从数学构造、数值实现到市场验证，该研究在金融模型非Markov记忆过程领域做出了系统且深刻的贡献。报告由浅入深，充分利用现代泛函分析及算子理论方法，结合市场数据验证，为金融衍生品定价体系开拓了重要新路径，值得学界和业界重视。

报告