研究背景与问题设置 [page::0][page::1][page::2]

• 考虑n个投资者在无套利完备金融市场，共同投资且相互竞争。

- 每个投资者优化其期望效用，且以概率$\alphai$确保终端财富高于竞争者加权组合的基准（VaR型约束）。

• 转化为带概率约束的Nash均衡问题，研究相对表现竞争影响。

两投资者情形：Logarithmic效用均衡结构 [page::3][page::4][page::5][page::6][page::7]

• 给定参数$(\alphai, \betai, x0^i)$，分析不同情景下Nash均衡存在性与唯一性。

- 当$ x0^2 < \alpha2 \beta1 x0^1$ 时无均衡，否则分以下情况：
- 全确定均衡：$\alphai=\betai=1$，存在无限多$(X,X)$形式均衡。
- 唯一均衡：$x0^2 \geq \beta1 x0^1$时，经典无约束解即为均衡。
- 当$ x0^2 < \beta1 x0^1$，存在无穷多均衡，$X2^$根据概率集$A2$切分显示折线及跳跃。

• Nash均衡终端财富结构多以$\max\{\text{基准}, \lambda/ZT\}$形式出现。

- 富裕投资者基本不受概率约束影响。[page::3][page::7][page::12]

两投资者情形：Power效用均衡结构 [page::8][page::9][page::10]

• 对幂效用函数，仍给出Nash均衡明确形式，但需考虑约束满足的区域。

- 以幂指数$\gamma \in (0,1)$或$\gamma > 1$区分：
- $\gamma\in(0,1)$时，约束区域位于$\{ZT > z{1-\alpha2}\}$。
- $\gamma>1$时，约束区域为$\{ZT \leq z{\alpha2}\}$。

• 终端财富相较log效用更依赖约束集的位置，体现非连续依赖效用风险厌恶程度。

- 终端财富$X2^$表现为分段幂函数形式，变量$\lambda2$保证资金平衡。

• 约束区域低风险与高风险市场场景有所区分。[page::8][page::9][page::10]

多投资者情形及Nash均衡表示 [page::10][page::11]

• 假设$\sum \alphai \leq 1$，各投资者约束集$Ai$可互斥构造。

- Nash均衡终端财富可表示为分段函数：

$$
Xi^ = \frac{1}{ZT} \Big( \mathbb{1}{Ai} \max\{x0^i, \lambda\beta^{-i}\} + \mathbb{1}{Ai^c} \lambdai \Big)
$$

• $\lambdai$通过资金自融资条件求得且满足区间约束。

- 富裕投资者终端财富接近无约束情况，贫困者波动性高。

• 当$\sum \alphai > 1$时，采用分片离散变量$Xi^$及混合整数规划方法寻找特定均衡。

[page::10][page::11]

数值实验与策略特征分析 [page::12][page::13][page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20][page::21]

• 基于Black-Scholes单股市场，分析参数$\alpha2$, $\beta1$对终端财富$X2^$的影响。

- $X2^$对$ZT$呈分段函数，跨断点处有跳跃，跳跃位置为相应分位数。

• 较高$\alpha2$意味着保障概率更高，导致非保障状态更大幅下调$X2^*$。

- $\beta1$调节保障部分幅度，非保障部分逆向效应。

• 不同定义约束集$A2$形状对终端财富造成明显影响，但保证概率不变。

- 复制策略波动显著，尤其靠近终期，体现概率约束对风险偏好的突出影响。

• 多代理人情况中，较贫困投资者终端财富大幅背离无约束最优，显示收益竞争带来的压力。

- 多路径模拟显示投资策略路径多样，有显著波动及风险事件。

结论与展望 [page::22]

• 引入基于概率的相对表现约束，既符合行为金融学对投资者心理的观察，也契合基金经理激励结构。

- Log效用下多投资者Nash均衡可被完整刻画，且反映富裕者和贫困者行为差异及风险承担差异。

• 幂效用扩展体现风险厌恶对约束区域的显著影响，终端财富结构更复杂。

- 多投资者且参数配置使约束不互斥时，问题需采用组合优化与切分构造策略寻找均衡。

• 未来工作可延伸至不同效用、非完备市场或不对称信息情形。

金融研究报告详尽分析报告

1. 元数据与概览

• 报告标题：《Relative Portfolio Optimization via a Value at Risk Based Constraint》

- 作者：Nicole Bäuerle、Tamara Göll

• 发布机构：Karlsruhe Institute of Technology (KIT), 数学系

- 发布日期：文档中无标明详细发布日期，基于引用文献和研究背景推断较新

• 主题：多投资者相互竞争条件下基于VaR（Value at Risk）约束的相对投资组合优化问题

- 核心论点和主要信息：
- 研究多个投资者（n个代理人）在无套利且完备的一般金融市场中的投资行为，目标为在保障以指定概率超越竞争对手财富的情况下最大化各自的期望效用。
- 在两代理人和CRRA效用函数条件下，明确导出所有纳什均衡解的终端财富表达式。
- 对于多于两位代理人的情况，特别是对数效用，鉴别概率约束级别对纳什均衡的影响。
- 结合价值风险（VaR）约束，将相对业绩竞争融入经典的效用最大化框架，形成一种策略互动的金融模型。
- 数值实验说明竞争对投资者收益和策略的影响。

本篇论文主旨在引入“以概率约束保障相对超额收益”的新投资者竞赛视角，同时结合博弈论（纳什均衡）和金融风险管理（VaR）工具，突破传统单代理风险约束的研究，扩展投资组合理论至多主体竞合领域。[page::0] [page::1]

---

2. 逐节深度解读

2.1 引言与相关文献回顾

• 回顾了战略性资产配置问题在学术界的研究进展，从Brown等（2001）、Kempf和Ruenzi（2008）对竞争型基金经理博弈的动机谈起，继而介绍多维相对财富作为效用函数的建模形式（线性与乘法结构）。

- 传统文献多在布莱克－斯科尔斯市场下，考虑相对财富比率或差值的期望效用优化。

• 单代理VaR或预期短缺（Expected Shortfall）约束优化模型广为研究，诸如Basak和Shapiro（2001）、Gabih等（2005-2009）、Sass和Wunderlich（2010）、作者本人近期工作等。

- 本文创新点在于将相对表现的概率VaR约束与多代理博弈交织，市场模型不需具体设定，只要求无套利和完备。

• 模型心理学基础来自Tversky和Kahneman（1992）的参照点理论，说明投资回报感知通常是相对的；同时与实际基金管理奖金结构挂钩，体现“超额收益概率保障”机制。

- 该约束的形式为：代理i财富超过其他对手加权财富的概率不低于αi，其中权重可灵活设定，反映投资初始资本比例等实际情况。[page::1]

2.2 金融市场设定（第2节）

• 市场假设：

- 无套利且完备。
- 举例布莱克－斯科尔斯市场：零利率债券与d支股票。

• 股票价格过程为SDE形式，价格波动依赖多维布朗运动，配有漂移向量和正则波动率矩阵。

- 状态价格密度$ZT$用以衡量折现预期。

• 由于市场完备，所有$\mathcal{F}$可测可积随机变量终端财富均可实现，初始投资由该财富的价格确定，即$\mathbb{E}[ZT Xi] = x0^i$。

- 该市场模型通用简洁，不依赖特定模型，只需保证无套利和完备性，确保理论分析的广泛适用性。[page::2]

2.3 单代理VaR约束优化问题示意（Remark 2.1）

• 考虑1个代理人，利用对数效用最大化终端财富期望，同时约束“以α概率打败基准（例如股票价格的某比例$\beta ST$）”。

- 解的结构呈现“分段最大值”形式：
- 端点财富在概率α的集合上被设定为基准$\beta ST$，
- 其余情况财富呈现无约束优化形式：$\lambda/ZT$，分散市场风险。

• 关键参数：$\lambda\alpha$界定概率阈值集，富裕程度$x0$决定是否能自然满足约束。

- 该单代理问题为随后的多代理博弈模型的基础。[page::3]

2.4 两代理人情况分析（Section 3）

3.1 对数效用下的两代理人纳什均衡（3.1节）

• 两代理人$X1,X2$，固定初始资金$x0^{1},x0^{2}$，分别以自身效用最大化，约束满足“以概率αi财富超越对方加权财富的比例βi$。

- 纳什均衡定义：$(X1^,X2^)$互为对方最优响应。

• 无约束最优解即为$Xi^ = x0^i / ZT$。

- 带概率VaR约束时，为满足约束，终端财富调整为
$$
Xi^ = \max\left\{\betaj Xj^, \frac{\lambdai}{ZT}\right\},
$$
其中$\lambdai$满足融资条件。

• 主要结论通过四种案例区分：

- Case I：当所有$\alphai=\betai=1$且$x0^1=x0^2$时，存在无穷多纳什均衡，$X1^=X2^=X$且形态任意。
- Case II：$\alphai=1$但$\beta1 \beta2 <1$时，唯一均衡为无约束形式，条件为资金满足$x0^2 \geq \beta1 x0^1$。
- Case III & IV：存在概率约束小于1的情况，均衡解依然存在，但可能无限多个，且第二代理财富通过指示函数分区调节（$A2$为满足概率的集合）。位置多样，可选择最大化期望财富的集合。

• 总体来说，富裕代理人（资本充足）维持无约束解；较贫代理人则面临随机性策略调整，满足不同的概率约束，反映现实中“竞争激烈时的投资行为差异”。

- 该分段结构体现出VaR约束下的“分割投资区间”策略，边界点由概率阈值决定。

• 另有证据说明，在对数效用设定内若概率约束放宽，终端财富基本表现为传统最优财富形式，带约束时出现不连续性（财富跳跃）现象。[page::4] [page::5] [page::6]

3.2 复制策略（Section 3.2）

• 由于市场完备，存在基于Black-Scholes模型的终端财富复制策略。

- 对边界概率集合$A2$为$[c1,c2]$形式，利用累计正态分布函数$\Phi$和密度$\varphi$，以及状态价格密度路径$Zt$明确复现投资组合财富与股票投资份额表达式。

• 投资策略由分部函数线性组合构造，能解释期初与终端财富保障阶段的风险敞口变化。

- 模拟图像显示不同区间设置对投资策略的波动性和风险程度有显著影响，尤其在接近终端时间时更为激进。[page::7] [page::8]

3.3 幂效用（CRRA）情况（Section 3.3）

• 功率效用$U(x) = \frac{1}{1-\gamma}x^{1-\gamma}$的代理人优于对数效用多了风险偏好参数$\gamma$。

- 无约束情况下，最优终端财富为$Xi^ = \frac{x0^i}{\varepsilon\gamma} ZT^{-1/\gamma}$，$\varepsilon{\gamma}=\mathbb{E}[ZT^{1-1/\gamma}]$。

• 在有竞争约束$P(Xi \ge \betai \sum{j\neq i} Xj) \ge \alphai$时解更复杂：

- 临界区间取决于$\gamma$，分别位于$ZT$大于或者小于边界分位点，这决定了“保证概率区域”的定位，反映风险偏好不同的人在不同市场状态下注重不同的竞争优势。

• 通过引入Lagrangian函数$L$和辅助变量$\eta2$，构造点对点的最优解匹配，确保概率约束与预算约束的严格满足。

- 不同于对数效用，功率效用下概率约束集的“形状”和“位置”不再任意，而是依赖于$\gamma$和市场风险分布，呈现非连续的相对风险厌恶行为变化。

• 数值上，风险厌恶更低（$\gamma<1$）时，投资者在低市场状态下竞争更积极；风险厌恶更强（$\gamma>1$）的投资者偏好在市场状态好转时确保竞争优势。[page::8] [page::9] [page::10]

2.5 多代理人情况（Section 4）

• 仅考虑对数效用及假设$\sum{i=1}^n \alphai \leq 1$，使概率约束能在不重叠的事件子集上分别满足，便于分离式纳什均衡分析。

- 纳什均衡形式：
$$
Xi^ = \frac{1}{ZT} \left( \mathbb{1}{Ai} \max\{x0^i, \lambda\beta^{-i}\} + \mathbb{1}{Ai^c} \lambdai \right),
$$
其中，$\lambda\beta^{-i} = \sum{j\neq i} \beta{ij} \lambdaj$，$Ai$为概率为$\alphai$的不交事件子集。

• 参数通过自融资条件确定：

$$
\lambdai = \frac{1}{1-\alphai} \left( x0^i - \alphai \max\{x0^i, \lambda\beta^{-i}\} \right)
$$

• 结论：

- 富裕代理人（资本排名靠前）通常不受概率约束影响，维持无约束财富分布。
- 较为贫困代理人则必须牺牲无约束收益，转而在指定事件内达成约束保证。
- 事件集合 $Ai$的具体位置选择对均衡影响较大，可能存在多个均衡。

• 当$\sumi \alphai >1$时，约束集合必交叠，模型更复杂。

- 通过将概率分割成有理数倍的划分思想，构建有限分区$Bk$，求解对应确定性优化子问题，得到分段常数形式的策略组合。
- 证明此解构成纳什均衡。

• 这一情形类似“有限资源下的相对竞争”，与经典博弈理论中的集合划分和分配问题有对应关系。[page::10] [page::11]

2.6 数值例证（Section 5）

• 采用一维Black-Scholes模型参数设定：$T=4, \mu=0.03, \sigma=0.2$。

- 状态价格密度$ZT$服从对数正态分布，调研了不同参数下具体终端财富与投资策略的表现：

两代理人对数效用案例（Theorem 3.3）：
- 选定初始资本$x0^1=3, x0^2=2, \alpha2=0.2, \beta1=0.9$。
- 观测终端财富$X1^, X2^$关于$ZT$的表现，$X2^$存在不连续点，位于$\alpha2$分位数处。
- 在被“保险”的集合$A2 = \{ZT \le z{\alpha2}\}$内，$X2^$高于无约束最优解，反之则低于无约束，体现保险效果与放弃部分收益的权衡。
- 彼此竞争影响体现为财富分布上的水平压缩与跳跃，且集合选择对最终策略及收益有显著作用。

不同$\alpha2$与$\beta1$的灵敏度分析：
- 随$\alpha2$升高，不连续点向右移动，非保险区收益降低，这是预算限制的体现。
- 随$\beta1$变大，保险区内赋予的财富更大，但保险区外压缩更严重。

集合$A2$位置不同的影响：
- 集合形状（区间长短与位置）显著影响终端财富分布形态。

复制投资策略示例：
- 复制策略的股票持仓随机波动大，特别是接近终止时刻时此类风险对投资行为的影响凸显。

多代理人对数效用实例（4人系统）：
- 选定均等概率约束$\alphai = 0.2$，权重$\beta{ij}=0.3$。
- 尽管资本排名后者初始资本低，仍可能在其“保险区间”产生超越资本较高者的终端财富，代价是在其他区间内收益较差。
- 贫困代理人策略更加剧烈地偏离无约束最优，以满足概率约束。

功率效用案例：
- $\gamma=0.7$时参数设置，类似对数效用情况，廉价状态逆序取决性体现。
- 保险区间对应的终端财富整体较无约束情形更偏离，且保险区分位点及$\betai$影响财富曲线形状。

整体数值分析强调了理论结论的实际意义，揭示现实金融市场中代理投资者竞争机制对投资组合调整和风险行为的深刻影响。[page::12]–[page::21]

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3. 图表深度解读

图1 （第13页）

• 描述：展示两代理人对数效用情形下的纳什均衡终端财富$X1^$和$X2^$随状态价格密度$ZT$变化的曲线。

- 解读：
- $X1^$为持续单调递减曲线，无明显跳跃。
- $X2^$曲线在$ZT = z{\alpha2}$处存在明显断点，由较高水平跳至较低水平。
- 无约束解（$x0^2/ZT$，虚线）与保险区间外的$X2^$基本吻合，保险区间内$X2^$优于无约束。

• 联系文本论点：

- 说明概率VaR约束对第二代理人财富形成了断崖式调整，表现为部分市场状态需要承担更高的保障成本。
- 投资者在“保险区”（$ZT \le z{\alpha2}$）内获得较优待遇，体现竞争中对“赢面”场景的重视。[page::13]

图2a、图2b（第13页）

• 描述：

- 图2a展示$\alpha2$不同值对$X2^$的影响，$\beta1$固定为0.9。
- 图2b展示不同$\beta1$值对$X2^$的影响，$\alpha2$固定为0.2。

• 解读：

- $\alpha$增加，终端财富断点右移，保险区变宽，但非保险区的财富缩水更明显，符合预算约束。
- $\beta1$增加使得保险区内财富增大，但保险区外财富减少。同时保险区所在位置不受$\beta1$影响，说明参数仅改变贴现幅度。

• 联系文本论点：

- 参数变化调节了风险分担与收益权衡的边界。
- 投资者在概率约束集合的选择影响有限，但影响财富规模，反映出竞争压力和资本约束的动态交互。[page::13] [page::14]

图3（第15页）

• 描述：展示不同形式区间$A2 = [c1, c2]$的选择对代理人2终端财富分布影响，重叠状态价格密度曲线。

- 解读：
- 不同区间选择导致财富曲线不同的断点形态与跨度。
- 区间位置不同改变保障概率在分布中的占比，反应不同市场环境下的“保障成本”分布。

• 联系文本论点：

- 对数效用代理人对保障概率集合的“灵活性”有较大空间。
- 可为投资者提供多样化的风险管理策略，适配个人投资偏好及市场环境变化。[page::15]

图4、图6（第16页，第18页）

• 描述：图4为不同行情区间$A$下复制投资策略的股票持仓路径；图6为对应于不同模拟路径的投资策略多条轨迹。

- 解读：
- 策略呈现显著波动，特别是终端附近。
- 投资金额高低与保险区间设定密切相关。
- 不同模拟路径体现该策略的随机性和对市场路径的敏感性。

• 联系文本论点：

- 反映VaR约束增加了策略的动态复杂度和风险敞口，投资人需在竞争中灵活调整仓位。
- 投资策略的波动性与市场状态紧密耦合，突出持久竞争下的风险管理难题。[page::16] [page::18]

图5、图7（第17页，第19页）

• 描述：图5为对应复制策略的财富过程；图7为5条不同模拟路径对应的终端财富过程，附权重终端财富显示。

- 解读：
- 财富过程在大部分时期表现趋同，分歧主要出现在终端附近，符合策略舍弃保障门槛的设计。
- 权重终端财富与实际财富部分路径一致，体现保障概率的满足情况。

• 联系文本论点：

- 资产价值与策略间存在高非线性关系。
- 投资者在竞争中面临赌博型策略的风险与收益权衡，尤其在高潮期行为激进。[page::17] [page::19]

图8、图9（第20页）

• 描述：功率效用条件下，$\gamma=0.7$情况下纳什均衡终端财富分布对$ZT$调整及参数敏感性。

- 解读：
- $X2^$分布发生跳跃，确保于概率集合条件，跳点为$(1-\alpha2)$分位点。
- 参数变化影响跳点位置及财富曲线形态，特别在高风险厌恶情况下，跳点位置及财富分布更突出。

• 联系文本论点：

- 强调功率效用中保险概率集合位置不可随意选择，而必须在“便宜”区间实现。
- 风险厌恶系数驱动策略的相对竞争行为，呈现出与对数效用不同的非连续性特征。[page::20]

图10、图11（第21页）

• 描述：4个代理人的多重竞争纳什均衡终端财富分布及与无约束解对比。

- 解读：
- 较贫代理人（代理3和4）在不同区域财富曲线出现明显断点和下降，显示出被竞争约束造成的“流动性紧缩”与“收益缩水”。
- 资本充裕者（代理1、2）财富曲线较平滑，基本保持无约束水平。

• 联系文本论点：

- 资本差异导致投资策略的截然不同，竞争显著影响社会财富分配及风险承担。
- 多代理博弈中事件集合划分与财富权重分配成为协调核心问题。[page::21]

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4. 估值分析

• 本文无直接估值目标价或市场报价，属于理论模型与博弈均衡研究，重点在于投资组合的终端财富分布形态和投资策略设计。

- 风险调整及折现通过状态价格密度$ZT$体现，所有终端财富均以$1/ZT$基准折现。

• 约束主要通过概率VaR形式施加，对投资组合风险承担设立分层保证。

- 无论对数还是幂效用，财务风险厌恶体现为终端财富形态中的幂函数或对数函数，关键参数为$\gamma$（风险厌恶系数）和$\alphai$（保障水平）。

• 约束引入的非连续和分段最优财富使得经典的Merton解构架构综合修正。

- 复制策略的求解依托已知金融市场完备性，并使用Brownian动态与状态价格密度的分布性质计算出的分段期望财富对应的动态投资权重。[page::7][page::8][page::24]

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5. 风险因素评估

• 模型风险：市场完备和无套利假设在现实中可能失效，风险因素包括市场缺口、流动性风险、交易摩擦等。

- 信息风险：模型假设所有代理完全了解他人参数及约束，现实中信息不对称可能导致非纳什均衡行为。

• 概率约束风险：$\alphai$的选择对结果极为敏感，过度乐观或过度保护将导致无解或策略极端化。

- 模型参数及估计风险：状态价格密度$ZT$的分布和参数依赖市场估计，估计偏误将导致策略失配。

• 策略稳定性风险：存在无限多纳什均衡的场景，选择不当可能导致资产价格和财富分布极不稳定。

- 这些风险在报告中部分以条件限定和假设形式进行限定，缓解策略通常依赖于优化参数选择和对集合结构的有效沟通协调。[page::6][page::17]

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告对模型假设较强，尤其完备无套利市场和完全信息假设可能偏离实际，影响结论推广有效性。

- 对数效用作为极限案例简化处理，现实投资者行为更复杂，幂效用表现出更多非线性及不连续特征，提示模型对风险厌恶的敏感性大。

• 多均衡情况存在无限多方案，本质上是集合划分及概率匹配问题，实际执行中需要纪律和协调机制，但报告中的方案并未深入讨论均衡协调机制和稳定性。

- 数值案例中大量依靠正态性假设，现实中资产收益非对称尾部风险及市场跳跃可能影响模型有效性。

• 复制策略复杂且波动剧烈，未考虑市场摩擦可能带来的交易成本和冲击，这可能限制实际策略实施。

- 风险约束通过概率指标表达，但缺少对置信度、损失幅度等多维风险度量综合评估。

• 货币计量和数学形式较严谨，但缺少实证分析和实际基金表现对比，限制理论结论与实践的直接关联性。

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7. 结论性综合

本文以具有深厚数学严谨性的方式，研究了多投资者在带有基于VaR概率约束的相对财富竞争环境中的投资组合优化问题。报告构建了一种新颖的、以概率保障超额收益为核心的相对投资博弈模型，分析了不同效用形式（对数与功率）下投资者的纳什均衡解，标明了约束概率对解的存在性、唯一性及多样性的决定作用。

核心发现包括：

• 富裕阶梯的投资者基本维持经典无约束财富形态，不受概率约束影响。

- 中低资本代理被约束严重扭曲财富分布，导致其在部分市场状态采取保守策略而在其他状态可能承担更大风险。

• 两代理人模型中，财富分布呈现概率阈值定义的分段非连续结构，保险和非保险事件区间内财富水平迥异，表现为跳跃性的策略调整。

- 多代理人环境下，若概率约束和事件集合满足相互切分，则纳什均衡采取分割事件及分段财富形式，易于计算；若概率约束总和超限，应采用离散分区和整数规划式的策略构建。

• 数值模拟验证理论模型，展示了参数变化对终端财富及投资策略的灵敏性，真实反映现实中基于竞争与概率风险管理的资本配置动态。

- 复制策略呈现较大波动性，尤其在临近终端时刻，风险管理压力显著，说明概率约束使得策略风险敞口增加。

• 功率效用下概率约束实现的集区位置依赖风险厌恶系数，表明不同风险偏好投资者在不同行情状态下优先保障不同的竞争优势区域。

综上，论文提供了一种数学和金融风险管理相结合的前沿框架，推动了多主体、竞争环境下投资组合优化研究的理论深度。其对相对业绩竞争风险约束的刻画具备现实指导意义，尤其适用于基金管理等希望兼顾绝对收益与相对绩效风险控制的领域。

下阶段可以关注：

• 更一般效用形式和异质代理人信息不对称情况；

- 市场摩擦、流动性影响及非完备市场扩展；

• 策略均衡选择机制及随机动态博弈的路径依赖性；

- 实证校验和应用于实际基金管理绩效考核。

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附录：引用的关键公式与推论简要

• 最优有下界约束效用最大化：

$$
X^ = \max\{ Y, I(\lambda ZT) \},
$$
其中$I$为效用边际反函数（逆），$\lambda$由预算约束确定。

• 概率约束与事件选择：

- 最优事件集合$A$选在$M{\lambda\alpha} := \{ Y \le \lambda\alpha / ZT \}$，使满足约束且效用最大。

• 二人纳什均衡财富形式：

$$
Xi^ = \max\{\mathbf{1}{Ai}\betaj Xj^, \lambdai / ZT\},
$$
$Ai$为满足约束的事件集合。

• 多代理人纳什均衡表达式（概率约束和小于等于1）：

$$
Xi^ = \frac{1}{ZT}\left( \mathbb{1}{Ai} \max\{x0^i, \lambda\beta^{-i}\} + \mathbb{1}{Ai^c} \lambdai \right).
$$

• 复制策略表示：

利用对数正态分布函数$\Phi$和标准正态密度$\varphi$完成，具体构造见Lemma 7.3及Theorem 3.5。

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以上为全文的详尽专业解析，涵盖理论构建、数学工具、模型推导、数值验证及实际意义，完整呈现该研究的体系架构及贡献。所有结论均严格基于报告内容，引用附有页码标识，便于溯源与核实。

报告