• 提出一种市场完整的三叉树期权定价模型，市场由股票、对应的永久衍生品、无风险资产及欧式期权组成，确保价格的不确定性由单一布朗运动驱动，实现复制组合的无套利定价[page::0][page::3].

• 通过构建复制组合，推导风险中性概率与真实世界概率的唯一对应关系，进而递推计算欧式期权价格，风险中性概率满足无套利条件[page::5].

- 参数标定分别对于算术收益和对数收益展开，采用历史收益率区间划分并假设回报为三项分布，利用假设检验确定“无显著价格变化”的阈值界限$r{\mathrm{thr}}^{\pm}$[page::6][page::8].

• 利用美国AAPL、AMZN与MSFT三只大盘股的历史价格及对应期权数据，计算得出模型参数的隐含曲面，包含隐含波动率、隐含均值、隐含无风险利率以及价格变动概率，并对比了隐含参数与历史估计值的差异[page::10][page::11][page::12][page::13][page::14][page::16].

• 量化标的价格变动隐含概率：

- 固定中间概率$pm$，反解极端下跌概率$pd$，显示AMZN隐含$pd$变动范围较大，且局部区域概率大于历史值，[page::14].
- 计算对应$pu=1-pm-pd$，显示AAPL和MSFT期权交易者隐含上涨概率略高于历史概率[page::15].

• 计算隐含中间概率$pm$，对应上涨概率$pu$均随$moneyness$及到期时间显著变化，$pm$远高于历史值，体现期权市场对价格不确定性的保守预期[page::15][page::16].

• 考虑极端风险指标CVaR计算极端价格变动概率，隐含极端下跌概率与历史值较为一致，而隐含极端无变动概率总体低于历史状态，反映期权市场对极端风险的定价敏感性[page::17][page::18].

• 模型的创新点在于通过引入永久衍生产品丰富风险资产结构，实现自然世界与风险中性世界参数之间的严密联系，并利用历史数据和期权市场数据反向隐含估计模型参数，提升传统二项树和三项树模型的实用性与市场适用度[page::0][page::1][page::3][page::5][page::9][page::16].

详尽全面分析报告《Hedging via Perpetual Derivatives: Trinomial Option Pricing and Implied Parameter Surface Analysis》

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一、元数据与概览

报告标题：Hedging via Perpetual Derivatives: Trinomial Option Pricing and Implied Parameter Surface Analysis
作者：Jagdish Gnawali, W. Brent Lindquist, Svetlozar T. Rachev
机构：Texas Tech University数学与统计系
发布日期：无具体日期，文献引用至2024年，推断为近期研究
主题：基于永久衍生品（perpetual derivatives）的对冲策略，通过三叉树选项定价方法构建市场完备模型，并从经验数据中反演模型的隐含参数曲面。重点在提出并校准三叉树期权定价模型，同时应用于实际大盘股数据，通过模型揭示风险中性与真实世界参数的隐含关系。

核心论点、评级与主要信息：

• 传统的二叉树与连续时间BSM（Black-Scholes-Merton）模型在假设连续交易、无摩擦市场等方面存在局限。三叉树模型因引入“不变状态”成为更丰富、收敛性更好的一类离散时间模型，但已有模型大多仅在风险中性世界下定义，缺失真实世界参数（如涨跌概率、价格漂移）的对接。

• 本文创新在于引入永久衍生品作为第二种风险资产，结合普通股票与无风险资产构建完全市场，从自然世界（真实世界）出发，通过复制投资组合实现风险中性定价，从而建立风险中性参数与真实世界参数的唯一映射关系。

• 基于此理论框架，开发参数标定方法，并通过估计概率阈值实现历史数据对分布概率的划分。进一步利用历史期权数据对模型参数进行反演，得到隐含的波动率、风险自由利率、均值与价格变动概率的参数曲面，为市场参与者对未来走势的态度提供深刻洞悉。

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二、逐节深度解读

1. Introduction — 背景与研究动机

• 传统BSM模型在连续时间、无摩擦、无套利假设下有效，但现实市场具有离散交易、不确定漂移和波动，且期权价格不包含标的资产的漂移因子。

• 离散树模型（尤其是由Sharpe、Cox-Ross-Rubinstein提出的二叉树）避免连续时间积分复杂性，更贴近实际交易。

- 三叉树模型由Boyle引入，扩展状态空间至三种变化（涨、跌、不变），收敛性及精度优于二叉树。

• 现有三叉树多在风险中性概率空间定义，忽略真实世界参数，缺失市场现实与风险偏好的直接联系。Kim等（2019）尝试解决但未达到市场完备。

• 本文核心创新是利用股票及其永久衍生品构造市场完备，从真实世界出发导出风险中性定价机制，填补此空白。

2. The Perpetual Derivative — 永久衍生品的定义与价格过程

• 设股票价格服从几何布朗运动，上述动态为：

\[
dSt = \mut St dt + \sigmat St dWt
\]

• 无风险资产价格满足：

\[
dBt = r{f,t} Bt dt
\]

• 永久衍生品 \(\mathcal{D}\) 价格 \(gt(St,t)\) 遵循Itô过程，根据BSM偏微分方程：

\[
r{f,t} gt = \frac{\partial gt}{\partial t} + r{f,t} St \frac{\partial gt}{\partial St} + \frac{\sigmat^2 St^2}{2} \frac{\partial^2 gt}{\partial St^2}
\]

• 指定特解 \(gt = St^{-\deltat}, \deltat = \frac{2 r{f,t}}{\sigmat^2}\)，该衍生品价格遵循股价驱动的布朗运动，有明确的漂移 \(\mu\delta\) 和波动率 \(\sigma\delta\)。
• 这是确保股票与衍生品价格不增加驱动布朗运动数量，从而维持市场完备的关键[page::2][page::3]。

3. Trinomial Tree Model — 三叉树模型构建

• 研究对象为市场 \(\{S, \mathcal{D}, B, \mathcal{C}\}\)，其中 \(\mathcal{C}\) 为欧式期权，结合以时间为步长的三叉树构造价格演化。

• 股票价格在每个时点以概率 \(pu, pm, pd\) 分别进行涨、平、跌变化，对应因子是 \(uk, 1, dk\)。

• 资本组合由股票、风险资产和永久衍生品构成，以复制期权价值，满足无套利条件，推导出期权价格的递推公式和对应风险中性概率 \(qu, qm, qd\)：

\[
fk^{(i)} = R{f,k}^{-1} (q{u,k} f{k+1}^{(i+1)} + q{m,k} f{k+1}^{(i)} + q{d,k} f{k+1}^{(i-1)})
\]

• 明确给出风险中性概率表达式，其定义保证无套利，完整连接风险中性世界与真实世界的参数。
• 结合永久衍生品特性，模型实现市场完备且从自然世界参数出发定价[page::3][page::4][page::5]。

4. Parameter Calibration and Continuous-Time Limits — 参数标定与极限过程

• 根据回报率取为算术或对数型，定义涨跌因子及无风险利率的离散版本（分别为 \(uk=1+Uk\) 或 \(e^{Uk}\)，等）。

• 通过历史数据划分“无显著变化”区间的阈值 \(r\text{thr}^+\) 和 \(r\text{thr}^-\) ，并基于窗口内数据计算涨停、平、跌概率估计 \(pu, pm, pd\)。

• 利用历史数据估计条件均值 \(\muk^{(r)}\) 和方差 \(\sigmak^{(r)}\)，进而解得涨跌幅度 \(Uk, Dk\)。

• 在持续时间趋近零时，算术回报生成的价格过程收敛为带漂移布朗运动，对数回报相应有额外 \(\sigma^2 / 2\) 调整项的漂移，均保证模型与连续时间扩散过程一致。

• 阈值估计采用假设检验方法，严格挑选阈值保证统计显著性，且引入了极端值定义以衡量稀有但重大价格变动[page::6][page::7][page::8][page::9]。

5. Application to Empirical Data — 实证数据应用与隐含参数反演

5.1 Option Prices — 期权价格拟合

• 选取苹果（AAPL）、亚马逊（AMZN）、微软（MSFT）三大市值股，基于2020-2024年历史数据估计模型参数，使用2024年1月16日的期权市场数据作当日期权价格的理论拟合。
• 表1给出初始价格、均值、风险自由利率及涨跌概率等历史估计参数：

| 股票 | \(S0\) | \(\mu\) (日) | \(pd\) | \(pm\) | \(pu\) | \(rf\)（3个月或10年）|
|-------|----------|-------------|-----------|-----------|----------|-------------------|
| AAPL | 192.94 | 0.00109 | 0.473 | 0.00995 | 0.517 | 3个月利率 |
| AMZN | 153.16 | 0.000769 | 0.477 | 0.00498 | 0.518 | 10年利率 |
| MSFT | 388.15 | 0.00110 | 0.470 | 0.00796 | 0.522 | 未特别标注 |

• 图2展示了经验期权价格、理论期权价格曲面及其二维等高线，反映理论模型拟合功效。观察到经验价格对于行权价的非单调性，而理论价格呈现期权价值单调下降趋势[page::10]。

5.2 Implied Volatility — 隐含波动率

• 隐含波动率计算为拟合参数，使理论期权价最小化相对误差。通过核平滑获得连续隐含波动率曲面。
• 图3显示三股隐含波动率曲面，主要发现：

- 对AAPL与AMZN，隐含波动率在价内期权区域普遍高于历史波动，价外则相对低，反映交易者对不同履约价风险预期的差异。
- MSFT隐含波动率曲面整体偏低于历史波动，预示交易者对未来波动性预期更为乐观[page::11][page::12]。

5.3 Implied Mean — 隐含均值

• 类似地通过拟合期权价格数据反求历史均值。图4显示所有股票隐含均值高于历史平均，表明期权市场普遍对未来收益持乐观预期。
• 隐含均值随行权价和到期时间变化，为市场预期提供动态视角[page::12]。

5.4 Implied Risk-Free Rate — 隐含无风险利率

• 反演风险自由利率使模型期权价与市场价拟合。图5显示：

- AAPL隐含利率大于十年期债券利率，但与三个月利率表现分区，即较短期限内不确定性更大，产生投资分歧。
- AMZN表现出明显期权时间价钱权分区，投资者对持有股票与债券的看法存在地域依赖。
- MSFT除十年期外，投资者倾向于更短期债券投资，体现分散风险的策略[page::13]。

5.5 Implied Price Change Probability — 隐含价格变动概率

• 基于固定概率 \(pm\)，计算对应隐含 \(pd\)，从而得到 \(pu\)。
• 图6显示AMZN隐含价格下跌概率变量幅度显著，表达市场对不同到期时间和价位的波动预期；AAPL和MSFT隐含下跌概率低于历史，表明期权投资者相对悲观风险有所减弱。
• 图7展示对应涨价概率，也表明对AAPL和MSFT趋于增大。
• 同时，图8、图9展示隐含的“不变价格概率”曲面，均高于历史值，说明远期及价外期权对应的预期不确定性提高，市场对方向性判断更为谨慎[page::14][page::15][page::16]。

5.6 Implied Extreme Price Change Probability — 极端价格变动隐含概率

• 利用CVaR指标确定极端涨跌概率，进一步通过隐含期权价格计算极端概率隐含曲面（图10、图11）。
• 研究发现期权市场对极端下跌概率与现货交易者预期接近，但对极端无明显变动概率估计显著低于历史，或许显示期权市场重视罕见剧烈变动的风险且对价格“无变化”自信度较低[page::16][page::17][page::18]。

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三、图表深度解读

图1：三叉树模型的结构图（第3页）

• 左图显示三叉树每节点的上、中、下三种可能价格变动，及股票、债券、永久衍生品的价格变化公式。
• 右图演示了时间步数 \(k\) 与价格层次 \(i\) 的索引方法，清晰展现三叉树状态空间变化。
• 该图是理解整个模型流程的基础框架，体现三资产间层次递推与价格变动概率的定义[page::3]。

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表1：历史估计参数（第10页）

| 股票 | 初始价 \(S0\) | 日均收益率 \(\mu\) | 波动率 \(\sigma\) | 价格变动概率 \(pd\), \(pm\), \(pu\) | 无风险利率 \(r{f,t}\) |
|-------|--------------|----------------|----------------|-------------------------|-----------------|
| AAPL | 192.94 | 1.09×10⁻³ | 0.0212 | 0.473, 0.00995, 0.517 | 3个月 |
| AMZN | 153.16 | 7.69×10⁻⁴ | 0.0238 | 0.477, 0.00498, 0.518 | 10年 |
| MSFT | 388.15 | 1.10×10⁻³ | 0.0205 | 0.470, 0.00796, 0.522 | 未展示 |

• 该数据是后续期权价格计算及参数反演的基石[page::10]。

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图2：经验与理论欧式期权价格（三列）

• 顶行点散显示实际市场各期权价格的三维分布，横轴为期权到期日 \(T\)，纵轴为行权价与当前股价比值 \(M=K/S0\)。
• 中行为模型通过三叉树理论计算价格曲面，形态平滑。
• 底行为该曲面在 \(T, M\) 平面上的等高线投影。
• 发现经验价格存在非单调性，大体符合理论趋势，但短期异动明显，揭示模型可捕获整体价格态势，但细节存在偏差[page::10]。

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图3：隐含波动率曲面

• 顶行为波动率随 \(T, M\) 变化的三维曲面，底行是等高线。
• AAPL和AMZN隐含波动率高于历史波动率的价内区间表明市场对潜在风险的敏感性；MSFT隐含波动率多低于历史值，显示较低风险预期。
• 市场不同标的的风险溢价态度差异通过该图凸显[page::12]。

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图4：隐含预期收益率（均值）曲面

• 该图反映市场整体对未来收益的乐观预期，隐含均值高于历史均值。
• 曲面随履约比和到期时间变化，显示预期收益的动态性及期权市场风险偏好态度[page::12]。

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图5：隐含无风险利率曲面

• 反映投资者对无风险投资回报率的隐含预期，揭示在不同到期时间和行权价的投资信心切分。
• 例如AAPL在较短期三个月利率和长期十年利率之间产生投资分区，体现投资选择的复杂性[page::13]。

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图6、7、8、9：隐含价格变动概率曲面

• 反映市场对未来价格上涨、下跌和保持不变的概率判断。
• 与历史相比，选股指标的隐含概率略有变动，AMZN表现出较大波动，说明市场对其走势不确定性感知较强。
• \(pm\)（无明显价格变动）隐含概率较历史明显提升，表示期权市场认为价格非显著变动更不确定。
• 以上概率曲面为期权定价及风险管理提供数据基础，反映市场风险偏好和预期[page::14][page::15][page::16]。

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图10、11：极端价格变动隐含概率

• 依托于CVaR计算的极端波动概率，以此校准和反演隐含极端风险偏好。
• 发现期权市场对极端向下风险概率与现货近似，但对极端“无变化”概率预期较低，显示期权投资者对小概率冲击事件更为敏感和警惕[page::17][page::18]。

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表A1：阈值 \(r{\mathrm{thr}}^\pm\) 估计（附录）

• 系统展示不同显著性水平 \(\alpha\) 下阈值的变化情况，提供参数估计的统计方法依据与可靠性基础[page::19]。

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四、估值分析

• 本文估值方法基于三叉树模型，兼顾「自然世界」与「风险中性世界」参数。
• 复制投资组合法是核心，通过长期永久衍生品与股票构成风险资产组合，确保市场完备，保证风险中性概率的唯一性。
• 估值公式（式12）体现为对未来期权价值按风险中性概率加权的贴现，加权概率由模型参数唯一确定。
• 参数估计结合历史收益率的统计特性和显著性阈值设定，保证估值基础的稳健性。
• 预测符合金融数学中价差计量模式，且适合随时间和标的状态变化动态更新。
• 因引入衍生品减少自由度，既保证市场完备又提升计算效率，解决以前模型内风险中性参数无法映射至真实世界参数的问题。

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五、风险因素评估

• 业界风险点包括：

- 市场价格在模型假设以外的极端跳跃或异常变化可能导致模型偏差。

- 历史数据窗口和阈值选取对概率估计敏感，尽管采用严苛统计检验，但对极端事件捕捉仍存在局限。

- 永久衍生品的价格过程假设相对理想，真实市场中流动性不足、市场摩擦等因素待考虑。

- 期权市场效率及风控策略影响隐含参数，可能与真实资产价格行为存在偏差。

• 报告未显示明确的缓解措施，但模型设计中的复制投资组合策略和概率校正可视为内生降低风险手段。

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六、批判性视角与细微差别

• 报告提出三叉树与永久衍生品相结合的创新思路，填补市场完备性和真实世界参数映射的理论空白，贡献突出。
• 但隐含参数估计高度依赖历史价格区间及统计假设，未来研究可考虑更多非高斯跳跃过程和市场摩擦。
• 模型目前基于单一布朗运动驱动，现实市场受多因素影响，单一风险因素的推广性需视具体情况谨慎应用。
• 部分图表中理论期权价格相对市场价格在极端价位波动较大，反映模型对非理想市场状态的拟合能力有限。

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七、结论性综合

本文系统构建了基于永久衍生品的市场完备三叉树期权定价模型，实现了风险中性和自然世界参数的唯一对接。通过复制投资组合方法，推导风险中性概率并提出了参数校准框架。对苹果、亚马逊和微软三只大盘股进行实证分析，成功反演出波动率、均值、无风险利率及价格变动概率的隐含参数曲面，揭示市场对未来风险和收益预期的不一致与动态变化。模型不仅捕捉了期权市场预期信息，还为极端价格变动风险提供了隐含的市场视角。

图表方面：

• 三叉树结构图（图1）清晰展现模型理论基础。

- 历史参数表（表1）奠定实证基础。

• 经验与理论期权价格曲面（图2）验证模型基本拟合能力。

- 隐含波动率（图3）、均值（图4）、利率（图5）曲面揭示不同标的、不同市场状态下风险收益预期差异。

• 价格变动概率曲面（图6-9）展示期权交易者对未来方向概率的动态调整与风险容忍度。

- 极端风险概率曲面（图10-11）反映期权市场对重大市场冲击风险的敏感度。

综上，作者利用创新的永久衍生品工具完善了三叉树离散时间模型，在理论和实证层面均展现出较强的适用性和解释力，为衍生品定价和风险管理领域提供了重要贡献，具备较高的理论推广及实际应用价值[page::0-19]。

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【全文溯源标注】

• 模型构建与理论基础：[page::0-5]

- 参数估计与统计方法：[page::5-9]

• 实证分析与隐含参数反演：[page::9-18]

- 结论及附录：[page::18-19]

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（注：全文图片均可通过文中相对路径引用查看。）

报告