• 研究背景与问题设定 [page::0][page::1][page::2]：

- 股权市场存在违约风险，市场不完备，投资者可通过动态交易滚动CDS合约对冲违约风险。
- 随机因子驱动市场参数，违约事件通过强度模型模拟，考虑随机效用函数和随机终端支付。

• 数学模型与偏微分方程（PDE）刻画 [page::4][page::8][page::9][page::12][page::14]：

- 市场中资产包含无风险资产、股权资产和CDS合约，资产价格服从跳跃扩散过程。
- 投资者采用常绝对风险厌恶（CARA）效用函数，确定等价函数满足具有二次梯度项的半线性偏微分方程。
- 在完备市场假设下，PDE线性化，最优策略有显式表达式；不完备市场中PDE为非线性，存在修正项。

• 完备市场假设及主结果 [page::10][page::11][page::12][page::15]：

- 当股权市场缺乏违约时完备且相关矩阵为单位阵时，股权+CDS市场保持完备，需满足非退化性条件$v_c\neq0$。
- 最优CDS仓位表达式揭示，CDS持仓覆盖违约股权损失及因交易中断造成的预期损失。
- 证明该市场存在唯一鞅测度且最优策略满足一阶最优条件。

• 不完备市场情况分析 [page::13][page::14][page::15][page::16]：

- 当股权与因子相关性较弱，股权市场不完备，PDE加入非线性修正，需额外的技术假设保证稳定性和解的存在。
- 最优策略里的CDS持仓延续覆盖股权违约损失及交易停止损失，同时考虑风险溢价调整。

• 数值应用和策略结果 [page::16][page::17][page::18][page::19][page::22]：

- 以CIR过程为因子，参数设定符合实际统计数据，分别展示完备和不完备市场下的最优仓位和定价。
- 有CDS市场时，投资者避免通过做空股权对冲违约风险，主要通过持有CDS仓位对冲。
- CDS持仓时间和状态变量稳定，接近静态持仓，便于实际实现。
- CDS市场显著提高投资者效用，增加价值，尤其当违约强度或违约债券持仓较大时效果明显。

• 不完备市场数值结果及定价 [page::21][page::22]：

- 多资产模型中，一只资产违约，CDS市场依然可有效对冲违约债务，违约债券价格对持仓量敏感度低。
- 最优持仓主要体现在CDS上，违约股权仓位波动小，表明CDS为主力对冲工具。
- 投资者效用间接提升，体现量化策略的实际应用价值。

• 量化策略构建与最优政策结构总结 [page::9][page::12][page::15]：

- 最优投资策略表示为股权持仓$\widehat{\theta}$和CDS持仓$\widehat{\delta}$的组合，CDS头寸量化覆盖违约损失及停止交易的损失。
- CDS仓位调整满足边际效用等价信用风险溢价。
- 不完备市场中加入非线性调节项，仍保持该结构。

• 数学方法与理论贡献 [page::24][page::28][page::35]：

- 采用半线性PDE、风险敏感控制和随机微积分技术，结合效用无差异定价和马丁格尔度量验证。
- 证明了市场完备性条件和最优策略存在性，解决了带违约跳跃和信用风险的动态投资问题。
- 建立了局部PDE解的逼近及验证，保证理论模型的严谨性。

研究报告深度分析报告

报告标题： Optimal Investment in Equity and Credit Default Swaps in the Presence of Default
作者： Zhe Fei 和 Scott Robertson
发布机构： Boston University Questrom School of Business
日期： 未明确给出（文中引用最新文献到2020年，[IR20]）
研究主题：
该论文围绕带有违约风险的股权和信用违约互换（CDS）市场，研究投资者如何动态优化投资组合，特别是在存在违约风险情况下，投资者如何利用CDS市场对冲风险。

---

一、报告概览与核心论点

本报告重点研究带有不可对冲冲击和违约风险的股权市场，创新点在于允许投资者动态交易CDS来部分对冲违约风险。该论文建立了包含一个多维扩散经济因子过程的模型框架，采用常数绝对风险厌恶（CARA）型投资者效用函数，推导出了确定性等价函数对应的半线性偏微分方程（PDE）。在市场不完全的情况下，报告证明了PDE存在解且该解即为确定性等价函数。

主要贡献包括：

• 证明投资者的CDS投资不仅覆盖股权资产违约带来的损失，还涵盖了因违约导致交易机会终止带来的损失。

- 在无违约时股权市场完备的前提下，加入CDS资产后，考虑违约风险，股权-CDS市场仍然完备，附加了一个非退化性条件。

• 应用效用无差异定价原则，研究违约相关衍生品的定价。

- 通过数值分析展示CDS的最优策略较为静态且实施简单，同时CDS的加入显著提升投资者的间接效用。

总体而言，报告强调CDS是对冲违约风险的重要工具，可有效提高投资效用和市场的完备性。[page::0,1,2,3]

---

二、章节深度解读

2.1 引言

• 介绍了研究的背景及动机，特别指出相比已有文献的创新在于动态交易短期滚动CDS以避免流动性问题。

- 经济因子驱动投资机会和违约风险，因而市场默认不完全。

• 利用CARA效用函数避免了初始财富对无差异定价的依赖，使得价值函数仅依赖时间和因子状态。

- 核心发现CDS持仓覆盖违约资产损失和交易终止损失两部分，使定价更为合理。

• 完备性条件中发现CDS需要非冗余（即非退化）以实现市场完备，且投资者主要通过CDS而非股票对冲违约风险。[page::0,1]

2.2 模型设定（第2、3章）

• 时间区间为$[t,T]$，假定无贴现利率。

- 股价$S^e$服从受多维因子过程$X$驱动的扩散过程，且违约时间$\tau$服从基于强Filtration的强度函数$\gamma$构造，违约时股票价格跳跃下跌，跌幅由$\elle$决定。

• CDS价格过程$S^r$由滚动CDS策略构建，价格动态通过[ BJR08]框架在一个外生的“现货定价测度”$\widetilde{\mathbb{P}}$下定义，特别设定了与主$\mathbb{P}$测度相关的风险溢价和违约强度$\widetilde\gamma$。

- 资产组合包含货币市场、股权和滚动CDS。

• 交易策略$\pi=(\theta,\delta)$，表示股票和CDS头寸，遵循适当可积性和超鞅性质。

- 投资者效用为指数型CARA：$U(w) = -e^{-\alpha w}$，投资目标最大化期望效用。

• 投资者持有随机非交易尾端权利金（包括违约相关支付），支付结构体现在函数$\phi(XT)1{\tau>T} + \psi(\tau,X\tau)1{\tau\leq T}$中，其中$\psi$表征违约时的间接收益或部分回收。

- 证明了投资者最优价值函数可表示为$u(t,x,w) = -e^{-\alpha(w + G(t,x))}$，$G$为确定性等价函数，其满足带有控制项的半线性HJB偏微分方程。[page::2,3,4,5,6,7,8]

2.3 完备市场分析（第5章）

• 假设股权资产个数等于因子维度，且股权价格的株相关矩阵$\rho$等于单位矩阵，移除与$B$相关的交易，从而股权市场除违约外完备。

- 定义关键函数
$$vc(t,x) = 1 + (\sigmar' a \sigmae^{-1} \elle)(t,x)$$
用于检测CDS资产是否冗余（即是否提供新的风险对冲）。

• 若$vc \neq 0$，则$(S^{e}, S^{r})$市场完备，$\widetilde{\mathbb{P}}$为唯一的满足有限相对熵的等效鞅测度。

- 相关哈密顿算子$\mathcal{H}c$简化为线性形式，HJB PDE线性化，实现经典的鞅测度和Feynman-Kac表示。

• 最优策略表达式显示CDS头寸不仅仅覆盖股权损失（$\elle' \theta$），还覆盖违约导致的交易机会丧失（$G - \psi$），以及调整了无风险违约风险溢酬部分$\frac{1}{\alpha}\log(\gamma/\widetilde{\gamma})$，从而保证边际效用贴现价格与风险中立测度风险溢酬一致。

- 该定理确证了策略表达和PDE解的存在性与对应性。[page::10,11,12,13]

2.4 不完备市场分析（第6章）

• 允许资产数$k$与因子数$d$不等，$\rho$严格小于单位矩阵，市场内在不完备。

- CDS价格风险项$\sigmar$角色关键，要求要么完全退化（不依赖于状态）要么非退化，保证模型技术可解。

• 相关PDE带有非线性项$R\mathcal{H}(\sigmar, g, p)$修正项，表达更复杂的风险对冲。

- 最优策略近似保持类似关系，CDS头寸仍然补偿股权损失、交易停止损失及风险调整溢价，且PDE解存在且与确定性等价函数对应。

• 鞅测度结构更复杂，需增加一个最佳的对偶测度$\widehat{\mathbb{Q}}$以确定投资者对冲策略和价值函数。[page::13,14,15,16]

2.5 无差异定价（第7章）

• 通过效用无差异定价原则计算违约债券价格，价格表达为拥有违约债券前后确定性等价函数差值除以债券面额。

- 完备市场中价格对应风险中立测度的违约存活概率折现期待值，即经典无套利定价。

• 不完备市场仍可使用此方法，不过价格会受到市场风险厌恶和不完备性的影响。

- 允许将回收率纳入到权利金函数$\psi$中，保持定价公式形式不变。[page::16]

2.6 数值应用（第8章）

场景设置：

• 采用单因子CIR过程驱动经济因子，满足费勒条件保证非爆炸。

- 参数选取沿用IR20，风险厌恶系数$\alpha=3$。

• 违约强度线性函数，CDS合约到期时间$\tilde{T}=2$。

- 股权回报和波动率为因子线性函数，违约时股价损失固定比例0.5。

结果分析：

• 完备市场中（单资产）：

- 投资者不再通过做空股票来对冲违约风险，而转向持有稳定的CDS仓位，规避了做空股票的实际困难（图1）。
- CDS最优仓位对时间和状态变量变化很小，表现为近似静态策略（图2）。
- 相较无CDS市场，无差异效用显著提升，特别是在违约概率高或持仓较大时（图3），显示CDS对投资者价值提升明显。

• 不完备市场中（双资产）：

- 设置一只可违约股票和一只不可违约股票，违约损失也固定。
- 违约债券无差异价格对违约债务面额影响极小，显示投资者可精准对冲违约风险（图4）。
- 时间零点持仓显示，违约债务面额主要影响CDS仓位，违约和非违约股票持仓较为稳定，进一步表明CDS为主要对冲工具（图5）。
- 模型验证违反参数和PDE可解性假设，表明理论具备实际可操作性。[page::16,17,18,19,20,21,22]

---

三、图表与表格深度解读

图1 — 完备市场下时间0的股票持仓（有/无CDS）

• 左图显示，在CDS市场存在下，股票持仓几乎不随状态变量变化且均为正值，且持仓随违约债券面额增加而递增。

- 右图无CDS市场时，投资者对违约风险通过股票的做空来对冲，股票持仓为负且绝对值随违约债务量增加明显增加，且股票持仓随状态变量（经济因子）上升而逐渐恢复。

• 此对比体现CDS市场有效缓解了股权做空带来的执行难题，同时减小了股票持仓波动风险。[page::17]

图2 — 完备市场下CDS持仓动态

• 左图：不同债券面额$q$对应的CDS持仓均随状态变量较为平稳且为正，且面额越大持仓越大。

- 右图：对于一定的$q=1$，CDS持仓最小和最大值随时间略有上升，但整体变化幅度较小，说明CDS持仓接近静态策略。

• 这表明投资者不需要频繁调整CDS持仓即可有效对冲违约风险，增强策略的现实可执行性。[page::19]

图3 — CDS市场相较无CDS市场的相对效用收益

• 该图展示CDS市场带来的间接效用提升比例，在违约强度高和债券面额大时，效用提升超过500%。

- 证明CDS市场可显著增加投资者福利，尤其是在高违约风险环境中，对冲需求强烈。[page::19]

图4 — 不完备市场下时间0无差异价格

• 多条曲线几乎重合，表示无差异价格对面额变化不敏感。

- 反映即使市场不完备，投资者仍可通过组合策略实现有效对冲，违约债券边际价格稳定，反映较低的市场摩擦或较强的对冲能力。[page::21]

图5 — 不完备市场下不同资产时间零持仓

• 图中顶左为非违约股持仓，顶右为违约股持仓，底部为CDS持仓，均函数状态变量$x$绘制。

- 随债券面额增加，非违约股持仓呈轻微下降趋势，违约股持仓几乎不变，CDS持仓则明显上升。

• 进一步佐证对冲默认主要依赖CDS，股票持仓较稳定，无需频繁调整。[page::22]

---

四、估值方法分析

• 投资者效用无差异定价（Utility Indifference Pricing）框架

- 在完备市场，违约债券价格为默认概率的风险中性期望折现值
$$p(t,x) = \widetilde{\mathbb{E}}\left[e^{-\intt^T \widetilde{\gamma}(u,Xu) du} | Xt = x \right]$$

• 不完备市场中，定价体现了投资者风险厌恶，且通过投资者的最优间接效用差异体现

- 恢复率可通过修改$\psi$函数引入，影响残值支付，具有一致的定价形式。

该方法既考虑市场不完备和违约风险的影响，也整合了个人风险偏好，较经典无套利定价更贴近实际投资决策环境。[page::7,16,17]

---

五、风险因素评估

报告识别的核心风险包括：

• 市场不完备导致的风险溢价测度多重，投资者无法通过简单无套利机制定价所有风险，需引入CARA效用和对偶测度理论。

- 违约强度的状态依赖性对CDS风险敞口估计和动态对冲策略的影响。$\sigma_r$的非退化性是CDS非冗余的核心条件，保障对冲有效。

• 模型假设条件限制：费勒条件保证CIR过程无爆炸，相关矩阵严格非奇异，满足PDE的存在唯一解的技术定理条件。

- 流动性风险通过“滚动CDS”市场机制缓解，规避离场CDS市场可能的流动性限制。

• 策略执行风险：报告数值结果显示CDS最优策略近似静态，极大降低执行复杂度。

对于上述风险，报告通过假设验证、数学证明和数值实验，提供了有效的缓解策略和技术保障。市场完备性的非退化条件尤其保证CDS能够作为可行的对冲工具存在。[page::1,2,3,6,11,14]

---

六、批判性视角

• 报告模型核心在CARA效用框架和震荡不完备的数理金融工具，虽深刻但在现实中CARA效用的适用性和参数选择具有争议，实际投资者风险偏好多样。

- 违约强度和风险溢价的非观测性及模型参数估计难度，可能影响策略有效性，报告对参数选择依赖较大。

• 模型采用了扩散过程标准假设，忽略跳跃风险和极端事件的影响，可能低估部分信用风险。

- 滚动CDS策略假设流动性足够，市场存在无限小时间刻度交易，实际中交易摩擦和流动性瓶颈可能造成现实障碍。

• 不同测度之间的转换及风险溢价评估在实际操作中尚需谨慎解读，部分价格调整项(如$\log(\gamma/\tilde{\gamma})$)理论上定义明确，但实际估算有难度。

- 报告全文结构严谨，数学推导细致，图表解读充分，展示的数值实验具典型代表性，但仍需结合更丰富的实证数据进一步验证。

总体而言，论文在学术层面具有很高的理论贡献，但在应用层面面对参数不确定性和市场摩擦仍存在挑战。[page::1,2,8,13]

---

七、综合结论

本研究通过建立带违约风险的股权-CDS市场动态投资模型，创新加入滚动CDS交易策略，完备地解决了投资者面临的违约风险对冲和定价问题。模型中，

• 利用基于经济因子的多维扩散过程驱动违约强度和市场风险，形成高阶半线性HJB PDE，结合CARA效用导出最优投资策略。

- 在股权市场无违约时完备的设定下，CDS市场加入后，整体市场仍保持完备，且CDS非退化性是完备性的关键。

• 投资者CDS仓位逻辑不仅是损失覆盖，还包含交易机会中断造成的损失和风险溢价调整，显著不同于单纯对冲股权损失的简单直觉。

- 数值分析进一步验证CDS策略对冲能力强，策略几乎静态，易于实际执行，且CDS市场显著提升投资者效用，尤其在高违约强度和大敞口情境下效益明显。

• 不完备市场中，投资者依然能通过CDS实现高效对冲，违约债券无差异价格稳定，持仓策略主要集中于CDS头寸，提示CDS功能关键。

- 整体研究强调CDS市场在信用风险管理中的核心地位，同时完善了违约情景下资产定价和组合优化的理论框架。

最后，报告在理论、方法、数值三个层面均显示出优异的严谨性和创新性，具有较高的学术价值和现实指导意义，为信用风险投资组合管理提供了坚实的数学基础和实用策略。

---

参考图片汇总

图1 股票持仓（完备市场有/无CDS）

图2 CDS持仓动态

图3 CDS市场效用提升

图4 不完备市场违约债券无差异价格

图5 不完备市场持仓分布

---

说明：

本深度分析遵循报告结构，详细阐释了核心论点与模型设定，重点解析了半线性PDE的构建和求解关键，综合图表数据深刻说明了CDS市场的风险对冲与效用提升效应。对理论假设背景、数学证明、经济含义、数值结果均做了科学评述，提出了模型的优势与潜在局限性，力求为专业读者提供全面、权威且深入的理解基础。[page::0-22,24-45]

报告