• 研究建立了在灾难风险（通过泊松过程建模）与参数不确定性条件下的森林租赁价值评估和最优采伐问题。模型采用双因素便利收益随机过程，便于捕捉林木期货价格动态[page::0][page::4][page::5].

- 利用美国木材期货价格与俄勒冈州道格拉斯县的野火数据，运用卡尔曼滤波与极大似然估计方法，估计模型参数及灾难事件的跳跃强度，并构建参数不确定性的置信区间集合[page::12][page::14].

• 通过反射型后向随机微分方程(RBSDE)理论，建立森林租赁价值函数的数学表征，并针对乐观和保守的参数假设，得到租赁价值的上界和下界及对应的最优停止时点[page::9][page::10][page::11].

- 采用改进的Stratified Regression One-step Forward Dynamic Programming (SRODP)算法对RBSDE进行数值求解，获得最优采伐时间和价值函数的近似解[page::15][page::16].

• 数值实验展示了在完全参数不确定性条件下，保守假设下采伐时间最早，乐观假设延迟采伐：保守约51.9年，乐观约56.2年，且碳汇价值的加入进一步推迟采伐时间，体现了碳汇对环境风险管理的经济补偿作用[page::17][page::21].

• 森林租赁价值受便利收益与现货价格的影响较大，便利收益为负时租赁价值较高，表明在存储成本超过便利收益时更倾向于提前采伐。乐观场景下租赁价值整体较高，采伐区间较小；保守场景采伐区间较大，提前采伐可能性更高[page::18][page::19].

• 采伐决策的停止区域随时间推移逐渐扩大，且受参数不确定性的影响明显。便利收益和现货价格共同决定采伐时点，便利收益越高，越倾向于较晚采伐[page::20].

• 纯灾难跳跃强度不确定性情形下，采伐时间调整较小，反映了跳跃强度区间较窄[page::20].

- 引入碳汇价值作为年租金收益补偿，采伐时间整体延后约1年左右，体现碳汇在采伐决策中的经济激励作用[page::21].

• 模型估计的无不确定性情景下的“真实”森林租赁价值为约1637美元/公顷, 乐观策略导致价值损失约15%，而保守策略仅损失约0.55%，揭示在参数不确定性存在时，采取保守策略更为稳健且损失更低[page::21].

| Case | SRODP Est | SRODP Std | 95% Confidence Interval | DIV (%) |
|---------------|-----------|-----------|---------------------------|----------|
| No uncertainty| 1637.08 | 99.14 | [1575.63, 1698.53] | 0 |
| Optimistic | 1394.86 | 92.53 | [1337.51, 1452.21] | -14.80 |
| Conservative | 1628.06 | 103.84 | [1563.70, 1692.42] | -0.55 |

• 研究建立的框架融合灾难风险、参数不确定性与碳汇价值，利用多维RBSDE及高效数值算法，实现了基于市场数据的森林租赁价值评估与最优采伐策略，为气候变化下林业资源管理提供了定量决策支持[page::0][page::21][page::22].

报告详尽分析 —《Robust valuation and optimal harvesting of forestry resources in the presence of catastrophe risk and parameter uncertainty》

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1. 元数据与报告概览

标题：Robust valuation and optimal harvesting of forestry resources in the presence of catastrophe risk and parameter uncertainty
作者：Ankush Agarwal, Christian Ewald, Yihan Zou
机构：加拿大西安大略大学统计与精算科学系，加拿大，英国格拉斯哥大学亚当·斯密商学院，挪威内陆大学，瑞典厄默奥大学数学与统计学院
发布日期：2025年2月11日
主题领域：森林资源的租赁估值与最优采伐策略，考虑灾害风险（如野火）及模型参数不确定性，融合随机生物经济模型与实物期权理论。

核心论点与目标：
报告围绕如何在包含灾害风险和参数不确定性的环境下，确定森林租赁价值和最优采伐策略。核心在于：

• 以两因素便利收益模型（Schwartz 1997）描述木材现货价格动态，灾害事件建模为泊松点过程；

- 结合美国野火数据和木材期货价格，利用卡尔曼滤波和最大似然法估计模型参数，并定义95%置信区间作为参数不确定性集合；

• 采用反射式向后随机微分方程（RBSDE）数值求解森林租赁价值，并建立保守与乐观的价值边界及对应的最优采伐停时；

- 通过蒙特卡洛模拟研究参数不确定性、灾害强度及碳固存的影响，揭示不确定性带来的价值损失，进一步强调便利收益对采伐决策的决定性作用；

• 结论指出在参数不确定存在时，保守策略优于过度乐观，反映了真实世界中的气候风险及其对资源管理的启示。

关键词涵盖：实物期权、模型不确定性、歧义、森林、灾害风险、气候风险、仿真等。[page::0]

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2. 各章节深度解读

2.1 引言（第1-3页）

• 主要内容：介绍森林租赁估值传统依赖实物期权方法，但通常忽视了模型参数不确定性和灾害风险。气候变化使灾害更频繁严重，增加决策复杂度。强调森林碳固存价值在能源转型和气候缓解中的作用，同时林业生物质作为可再生能源的经济价值得到重视。

- 重要推理：实物期权理论适用于灵活的投资时机控制，但忽视灾害风险与参数不确定会导致估值偏差；集成碳固存价值与灾害风险，是提升管理策略科学性的关键。文献回顾指出少数研究集中于危险事件影响，但多为简化模型，缺乏参数不确定性分析。

• 理论背景借鉴：泊松过程建模灾害，双因素便利收益模型描述价格，卡尔曼滤波进行参数估计，实现模型通过现实数据支持。运用RBSDE反映多维随机框架下的投资决策过程。[page::1,page::2,page::3]

2.2 模型构建（第4-8页）

• 价格动态建模：两因素便利收益模型下，状态向量包含便利收益与现货价格，便利收益定义为持有库存的净收益（即持有利益减去仓储成本）。价格遵循带有均值回复和波动的扩散过程，含相关的两维布朗运动。

- 灾害风险建模：灾害到达时间用随机时间ξ表示，作为泊松过程第一跳到达时刻，引入随机强度λ作为灾害到达频率，灾害信息与金融市场信息的过滤过程分离，灾害时间对市场信息非停时，需扩展过滤信息集（即假设灾害发生时间可观测）。

• 风险中性测度变换：由于市场不完整（便利收益的随机性使得存在多重风险中性测度），定义风险中性测度Q作为相对于真实测度P的等价测度，包含调整了漂移风险和灾害风险的密度过程，密度过程由Girsanov变换给出。灾害强度也在风险中性测度下重定义为调整后的强度。

- 租赁价值定义：森林租赁类似于具有不可回溯的投资期权，价值依赖于何时采伐（最佳停时），考虑采伐收益、生长函数、采伐成本及林地的年净效用价值（如生态服务）。在灾害未发生前，租赁价值满足最优停时问题，条件概率指数衰减体现灾害发生的风险折扣。

• 数学表达：租赁价值定义为最佳停时问题的表达式（方程4, 8），并证明其可转化为水平过滤下的最优停时问题，方便引入参数不确定性和数值求解。[page::4,page::5,page::6,page::7,page::8]

2.3 参数不确定性框架（第8-11页）

• 不确定性设定：模型参数（便利收益均值回复速度κ，均值水平μ，灾害强度λ）不再固定，而是可控变量u的函数，且约定在置信区间（超立方体U）内波动。

- 主测度生成：依赖u的测度Q^u由密度过程η^{α,ψ}定义，其中α与ψ分别与漂移和灾害强度相关，连接了参数选择与测度变换，反映了主观概率（模型者对参数的不同判断）。

• 价值函数表达：对应于每个测度Q^u，有不同的租赁价值v^{Q^u}，通过对随机控制u的极大化或极小化，可以定义乐观值v^+和保守值v^-，反映最佳与最差情形的估值。

- 数学实现：租赁价值通过RBSDE求解，其中生成函数f包含参数依赖，允许用比较和选取控制过程的理论工具证实极值解存在唯一性，且定义相应的最优停时策略，体现实际采伐决策。[page::9,page::10,page::11]

2.4 理论主要结论（第11页）

• RBSDEs理论定理确保乐观和保守价值由对应生成器的最大和最小解给出。

- 最优停时从租赁价值首次达到即时采伐收益时触发。

• 在市场真实测度下，可以将基于不同主观测度的停时策略评估其实际价值，进而比较确定模型不确定性成本。

- 为数值计算明确了框架基础，连接理论与实践操作。[page::11]

3. 模型参数估计（第12-14页）

• 数据基础：利用1993年-2022年间，芝加哥商品交易所六个最活跃的不同时长木材期货合约周度价格数据，及俄勒冈州道格拉斯县1953年至2024年野火灾害事件数据。

- 便利收益模型参数估计：使用卡尔曼滤波和最大似然方法，处理期货价格是状态空间隐变量系统的观测值，成功估计出价格波动率σ^P、便利收益波动率σ^δ、均值回复速度κ^δ等参数，发现便利收益长期均值μ̃^δ统计显著性不足，故提取其置信区间作为不确定区间。

• 灾害强度估计：对野火按月事件间隔建泊松跳跃模型，估计灾害跳跃强度λ^Q约为0.2392，置信区间[0.1255,0.3528]，确定了灾害风险的重要量化输入。

- 参数不确定区间：三个主要参数的置信区间构成了不确定超立方体U，为后续耦合不确定性分析提供依据。

• 表格与数据说明：表1总结期货契约均价及到期期限稳定性，表2展示两因素模型参数估计结果与其统计显著性。[page::12,page::13,page::14]

4. 数值实验（第15-22页）

4.1 鲁棒最优采伐策略（包含子节）

• 方法论：通过SRODP算法（Agarwal等，2023）有效数值求解RBSDE，结合分层抽样及局部多项式回归，迭代估计BSDE条件期望，得出每个时间步的最优停时界限和采伐策略。

- 参数设定：选用白松木的逻辑生长函数G，采伐成本K=127.74美元/千板尺，年生态价值A=8美元/英亩，时间步长Δt=0.05年，最大采伐期T=150年。出发点P0设为600美元，便利收益δ0经估计接近-0.01。空间划分细化至80个超立方体，每个超立方体1000条路径。

• 4.1.1 全参数不确定性

- 结果表明，在保守情形下平均采伐时间为51.9年，乐观情形为56.23年，无不确定性下为52.95年，符合生长周期和相关文献。
- 图1(a)展示了单一路径的采伐时间不确定区间，图1(b)显示三种估值路径，乐观值最高，保守最低，均不低于即时采伐收益。
- 图2图示70岁时的三维租赁价值曲面和采伐价值曲面，价值高低体现乐观保守度，采伐区域（值与即时采伐收益重合处）在保守情形更广泛，便利收益负值时价值更高，因仓储成本相对较低。
- 图3二维平面投影展示时间演进中采伐（停止）区域扩大，乐观度提高倾向延迟采伐，便利收益对决策敏感度较高。

• 4.1.2 仅灾害强度不确定性

- 采伐时间略有变化，保守情形采伐稍后，乐观情形稍早，说明灾害强度不确定性影响较小，置信区间较窄导致不确定性较低。

• 4.1.3 碳固存价值影响

- 碳固存价值纳入生态效用A=47.54美元/公顷后，采伐时间普遍延后约1-2年，反映碳信用市场对延迟采伐的经济激励。
- 图4显示采伐区间收缩，提示碳价值强调森林持续固碳的重要性，对采伐决策有显著影响。

4.2 森林租赁价值及不确定性成本量化（第21页）

• 估计停时策略基于模型Q的真实参数，据此核算对应租赁价值。对比无不确定性、乐观与保守策略的市场价值（表6），乐观策略导致约15%价值损失，保守策略仅微小贬值（0.55%）。

- 总结为“不确定时保守策略较优”的实践建议，避免过度乐观带来的较大风险暴露。

• 计算结果强调参数不确定性对森林投资估值的显著影响，并定量化了不确定性成本。[page::15,...,page::21,page::22]

5. 结论（第22-23页）

• 结合实物期权、灾害风险与参数不确定性，通过理论和数值方法建立了森林租赁价值及最优采伐决策框架。

- 以真实市场数据估计参数及不确定性区域，并用反射型BSDE表述价值问题。以蒙特卡洛仿真验证参数不确定性对采伐时间和价值的影响。

• 发现乐观概率信念一般延迟采伐，保守信念缩短采伐时间，偏离真实最优规则从而带来价值损失。碳固存价值推动采伐延迟，支持能源转型和气候政策目标。

- 强调面对参数不确定需谨慎行事，更倾向于采用保守策略。

• 此工作深化了经济与风险管理视角下的森林资源投资决策，为未来包含气候风险的自然资源管理提供可行的数学及计算工具。[page::22,page::23]

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3. 图表深度解读

表1（第12页）

• 展示六个木材期货合约（F1~F6）的均价和到期期限统计，价格均值约346美元，波动随到期时间略减小，到期期限稳定，保证模型估计的稳定性和代表性。

- 为估计模型的价格历程特征和便利收益变化提供数据基础。

表2（第14页）

• 列出两因素便利收益模型参数及估计误差，含波动率、均值回复率、长均值等。无统计显著性参数μ̃^δ被置零后模型拟合无明显下降，表明参数可能冗余但对估值结果有潜在影响，为不确定性建模提供依据。

- 确认估计质量和参数稳定性。

表3（第17页）

• 对比三种不确定情形下的最佳采伐时间，体现在区间51.9年至56.23年，说明参数不确定性对采伐时间决策具有实际影响。

图1（第18页）

• (a) 展示单路径价格与便利收益随时间变化，标示乐观/保守/无不确定三种采伐时间，面积呈现不确定性时间窗；

- (b) 三种情形下租赁价值进程，始终高于即刻收益，价值排序符合预期。

图2（第19页）

• 三维曲面图表达租赁价值与即时收益对木材现货价格和便利收益的响应，乐观情形价值较高，采伐区域（值=即时收益）较小，便利收益负值对应较高价值，表示低便利收益时存货持有成本大，林地价值反而凸显。

图3（第20页）

• 不同时间和不确定情形下的采伐与继续等待区域二维剖面图，体现采伐区域随时间扩展，便利收益和价格对区域边界的影响显著，保守情形采伐区域最大，乐观最小。

表4（第20页）

• 纯灾害强度不确定性下的采伐时间，较综合不确定情形差异小，显示灾害强度不确定性影响有限。

表5与图4（第21页）

• 碳固存价值加入后，采伐平均延迟约1~2年，对应采伐区域缩小，强调生态价值对投资决策的正面影响。

表6（第22页）

• 三种采伐策略对应的租赁价值及其95%置信区间，乐观策略价值大幅下降，保守策略基本无损失，反映到期权定价的对冲与风险偏好之间的权衡。

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4. 估值分析

• 采用反射型向后随机微分方程（RBSDE）方法，将森林采伐看作带障碍的最优停时问题，价值函数满足带反射项的偏微分方程。

- 利用风险中性测度构建价值迭代，蒙特卡洛结合回归用于数值逼近。

• 参数不确定性引入一个控制变量，使生成函数f取极值，分别对应乐观和保守估值。

- 关键假设是允许参数在置信区间内波动，反映统计推断的不确定性，解决多重风险中性测度下的内嵌歧义。

• 数值敏感性体现了采伐价值和停时策略对便利收益、灾害强度和参数变化的响应规律。

- 估值结果具体体现在表6，乐观估计明显高估风险，导致实际市场价值损失增大，强调保守策略的稳健性。

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5. 风险因素评估

• 主要风险因素为模型参数不确定性（便利收益均值回复速度、均值水平和灾害强度）、灾害的不确定到达时间（随机停时ξ），以及市场不完整引起的风险中性测度不唯一性。

- 气候变化引发灾害频率和强度增加，使灾害跳跃强度λ具有较大的不确定性，影响采伐决策。

• 便利收益的估计统计效力有限，尤其是长期均值参数μ̃^δ，带来模型预测上的不确定性。

- 对参数不确定性的处理体现为控制理论视角的最坏情况和最好情况估值，防止作出过度乐观的投资决策。

• 在采伐策略层面，灾害风险导致提前采伐成为理性选择，尤其在保守预期下。

- 参数不确定引入的经济成本通过租赁价值折损体现，乐观策略可能导致15%左右的潜在损失，提示管理者需谨慎。

• 碳固存作为风险缓解及长期收益的新因素，增加了对森林的激励及改变采伐时间窗口。

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6. 批判性视角与细微差别

• 本文采用的两因素便利收益模型虽较传统单因素有优势，但便利收益长期均值参数μ̃^δ统计不显著，模型本身可能存在参数冗余，引入该参数是否必要值得进一步考察。

- 模型假设灾害跳跃强度定常且无跳风险溢价，这可能低估了实际气候变迁下的灾害风险动态。

• 尽管参数不确定性被置入置信区间估计及控制过程，但不确定性集合的界限与现实中潜在极端情形（黑天鹅事件）或政府政策变化所带来的结构化风险难以完全涵盖。

- 数值实验基于历史数据，未来灾害特征受气候变化影响可能产生非平稳现象，模型的预测有效期需谨慎对待。

• 理论上，风险中性测度不唯一带来市场不完整性，现实中如何选择合理的测度及其经济解释仍是开放难题。

- 乐观估值导致价值显著贬损，暗示简单乐观策略存在较大风险，但保守估值的保守程度及其实施的机会成本未做充分量化。

• 碳固存价值假设为线性常数，实则碳市场价格波动大，未来政策环境不确定，该部分估值可能具有较大误差区间。

- 模型对停时策略的近似依赖数值算法，存在算法误差及稳健性问题，尤其是在高维参数不确定条件下。

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7. 结论性综合

该报告以数学金融和运筹学视角创新地将灾害风险与参数不确定性引入森林资源的租赁估值与最优采伐决策中。建立了以反射型BSDE为数学工具的鲁棒最优停时框架，融合了两因素便利收益的价格动力学和基于美国野火数据的泊松跳跃灾害风险。通过卡尔曼滤波和最大似然法，实现了模型参数的实证估计及不确定性集合的界定。

主要发现包括：

• 参数不确定性显著影响森林租赁价值和采伐时间，乐观策略反而可能导致15%价值损失，保守策略虽稳健但稍微贬值，建议管理者倾向保守。

- 灾害风险加速采伐决策，丰富了在气候变化背景下对森林投资风险管理的认知。

• 便利收益成为采伐决策的关键影响因素，低便利收益或存储成本高时，采伐价值提升。

- 碳固存价值的加入显著延后采伐期，反映生态服务和碳市场机制对森林的经济激励作用。

• 数值方法—分层回归蒙特卡洛（SRODP）算法有效实现高维RBSDE的求解，为复杂投资决策问题提供了可行工具。

报告严密结合理论和实证，填补了灾害跳跃与参数不确定性共存条件下林业投资决策的研究空白，对政策制定、风险管理及生态资本价值评估具有重要指导意义和应用前景。[page::0,page::1,page::2,page::3,page::4,page::5,page::6,page::7,page::8,page::9,page::10,page::11,page::12,page::13,page::14,page::15,page::16,page::17,page::18,page::19,page::20,page::21,page::22,page::23]

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总结

本报告从模型构建、参数估计、风险分析到数值算法，实现了森林资源投资问题在现实条件下的鲁棒估值与采伐策略设计，强调参数不确定性和灾害风险对投资决策影响的不可忽视，提出保守策略优先的实务建议，拓展了实物期权理论在自然资源管理中的应用。丰富的图表和数据验证了理论推导的有效性，结合碳固存的耦合考虑，提升研究的时代意义和政策价值。

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