1. 随机到期期权定义与定价方法 [page::0][page::3][page::8]

• 随机到期期权是指到期时间$\tau$为随机变量，涵盖保险、信用衍生品、员工期权等多种场景。

- 采用三叉树模型，将中间路径模拟为提前到期，形成风险中性定价框架，证明该方法无套利。

• RE期权定价采用风险中性期望公式$V0=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[e^{-r\tau\Delta t}f(S\tau)]$，其中对每个可能到期时间使用对应的定价（常规模型的二叉树计算）[page::0][page::3][page::8].

2. 三叉树结构及概率分布设定 [page::4][page::6][page::7]

• 设定股价三状态：上涨$u$，中间$m=e^{(r-y)\Delta t}$（对应提前到期），下跌$d$。

- 风险中性概率路径可选择，使得中间概率$qm$对应到期概率$\mathbb{Q}(\tau=k)$，从而灵活调整到期分布。

• 区分一般路径依赖概率（一般三叉树）和路径无关的齐次模型，后者保证$\tau$与股价路径条件独立，满足随机到期的建模需求[page::4][page::6][page::7].

3. 主要理论结果与期权价格性质 [page::8][page::9]

• 定理1给出RE期权的无套利价格表达式，齐次模型中$\tau$与股价过程的独立性保障了定价的解析结构。

- Proposition 1 证明RE零行权价看涨期权的价格可简化表示为$S0$乘以随机到期生成函数$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}(e^{-y\tau\Delta t})$。

• 估价区间由各固定到期期权价格范围定界，满足单调性时区间端点简化为初始标的价与最大期末价之间[page::8][page::9].

4. 连续时间极限与子随机布朗运动联系 [page::10][page::11]

• 构造$n$周期数趋向无穷的三叉树序列，参数选取确保极限过程为布朗运动的子过程。

- $\taun/n$在概率意义下收敛于随机变量$\tau\infty$，对应有限区间$[0,T]$上的随机到期时间。

• 极限过程为股票价格经随机时间改变的指数布朗运动，提供对无限维不完全市场风险中性定价的理论基础[page::10][page::11].

5. 数值算法与实证检验 [page::12][page::13][page::14][page::15][page::16]

• 设计三种算法：①标准三叉树（含节点初始化）；②非回归二叉树带调整；③回归二叉树带调整（算法3效率最高）。

- 数值测试覆盖不同RE期权（看涨/看跌/零行权与对数合同），展示价格随周期数、标的价格、及到期强度变化情况。

• 高到期强度降低期权时间价值，零行权期权价格随到期强度增大而升高，均符合金融直觉[page::12][page::13][page::14][page::15][page::16].

6. 未来研究方向 [page::14][page::16]

• 探讨RE期权在路径相关性、偏微分方程及蒙特卡洛方法下的扩展。

- 利用神经网络寻求RE期权近似静态对冲策略的可能性。

• 拓展多资产RE期权和多项式树结构的定价应用[page::14][page::16].

RISK-NEUTRAL PRICING OF RANDOM-EXPIRY OPTIONS USING TRINOMIAL TREES – 综合详尽分析报告

---

1. 元数据与概览

• 报告标题：Risk-Neutral Pricing of Random-Expiry Options Using Trinomial Trees

- 作者：Sébastien Bossu 与 Michael Grabchak

• 所属机构：北卡罗来纳大学夏洛特分校数学与统计系

- 发布日期: 未明确标示发布日期，但参考文献最晚为2025年，代码署名也为2025年，推测为2024-2025年间完成

• 主题/领域：金融衍生品定价方法，尤其是随机到期权（Random-Expiry Options,R.E. options）的风险中性定价，应用数学，数理统计，资产定价理论，数值算法

核心论点概述：

本文介绍了一种新颖的方法，用三叉树模型来对随机到期期权进行无套利的风险中性定价，特别将树中间路径解释为早期到期事件。文章表明该模型在不完全市场框架下是无套利的，进一步推导其连续时间极限，并提出多种计算算法实现高效定价。此外，作者将结果与包含随机时间的鞅过程和无限可分布联系起来，对现有经典布莱克-斯科尔斯模型的正态分布基础提出补充。

报告中还附带了Python实现代码以及详尽的数值实验，验证了算法性能和模型的收益行为，表明其在实际应用中具有可操作性和效率。

[page::0-1,12-14]

---

2. 逐节深度解读

2.1 引言与背景（第0-2页）

• 核心论点：随机到期权是一类非传统衍生品，其到期时间为一个随机事件（例如死亡、合并、政治事件），因此经典定价方法难以适用，需在不完全市场框架中寻求定价措施。

- 为何传统方法失效：随机到期的不确定使得风险中性测度是否存在本身未预设。

• 涵盖例子：员工持股权加速归属，保险相关证券（CAT bonds）等均可用该模型处理。

---

2.2 模型设计与树结构（第1-3页）

• 模型构造：建立三叉树结构，将中间路径视为“早期到期”事件。

- 无套利性建立：通过将此树嵌入传统三叉树拓展，保证风险中性测度存在且不产生套利。

• 理论创新：该树模型允许生成非正态（非高斯）极限分布，与经典布莱克-斯科尔斯基于正态假设形成鲜明对比。

- 文献回顾：指出此前相关文献虽增加了随机因素，但未成功构造完整风险中性测度。该文章通过三叉树改进解决了这一问题。

---

2.3 基本金融定价理论与三叉树介绍（第2-4页）

• 资产终端价格和市场完整性：介绍了有限状态下资产支付矩阵、完整性条件、箭-德布鲁证券等基本概念。

- 无套利价格与风险中性测度：给出了基于状态价格向量（state-price vector）和风险中性概率的价格计算公式，阐述不完全市场里风险中性测度不是唯一的。

• 三叉树特性：对于三状态（三叉树）市场，存在一条中间路径可自由调节概率，以匹配不完全市场特征。

- 具体公式和约束条件列明了三叉树中状态概率的范围约束，保证无套利条件，详见第3页公式。

---

2.4 随机到期选项的三叉树模型应用（第4-7页）

• 单周期情况：将随机到期选项选取中间股价路径作为即刻授予的代理，依概率$p$实现早期支付，从而将随机到期问题映射到三叉树结构中。中间路径股价变动因素$m$为调节参数。

- 价格计算：价格为三状态概率加权后的折现价值，其中概率可按选定的到期分布校准；若$m=e^{(r-y)\Delta t}$，则可任意设定中间路径概率$p$。

• 多期拓展：多期三叉树通过迭代单期模型得到，每阶段均含三叉走向。早期支付后利息计入至终点，嵌入成熟树结构，保证价格合理。

- 随机时点$\tau$定义：$\tau$为树上首次选取中间路径的时期，或无早期到期时$\tau=N$。

• 一般与齐次模型区别：一般模型下概率可依路径变化，齐次模型（多数学术和应用中选用）概率与路径无关，利于处理独立且马尔科夫性质。

---

2.5 价格公式及性质（第8-10页）

• 定理1：给出$N$期三叉树下随机到期选项的无套利价格公式

\[
V0 = \mathbb{E}^\mathbb{Q}(e^{-r \tau \Delta t} f(S\tau)) = \sum{k=0}^N e^{-r k \Delta t} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[f(Sk) | \tau=k] \mathbb{Q}(\tau=k).
\]

• 证明概要：将随机到期问题转为在终端支付带有折现因子情形的固定期限选项求期望；利用三叉树的概率结构和 martingale 性质。

- 重要性质：
- 股价贴息折现后具有 martingale 性质，满足风险中性准则。
- 如果风险中性概率路径独立，$\tau$独立于标的价格过程，简化计算。

• 随机到期零执行价看涨期权（RE-ZSC）价格显式表达：

\[
V0^{RE-ZSC} = S0 \mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{-y \tau \Delta t}],
\]
其中$\mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{-y \tau \Delta t}]$为$\tau$的矩母函数。该结果符合财务直觉，并且对于非分红股票简化为股价本身。

• 价格区间：给出任意随机到期分布约束下的选项价格范围，单调时利用边界条件进一步聚合价差区间。

- 推广：结果可扩展至路径相关期权（亚式、障碍等）。

---

2.6 连续时间极限与鞅过程联结（第10-12页）

• 极限构造：解析$n$逐渐增大，时步$\Delta t=1/n$趋近零时，三叉树过程极限为带有随机时间替换（subordinated）布朗运动的价格过程：

\[
S\infty(t) = S0 e^{(r - y - \frac{1}{2}\sigma^2) t + \sigma Wt}
\]
被随机时间截断为$S\infty^*(t)=S\infty(\tau\infty \wedge t)$。

• 关键假设：$\taun/n \to \tau\infty$（概率收敛）是极限成立的必要条件。

- 收敛形式：证明过程级收敛于Skorohod空间$D[0,T]$中的随机过程。

• 数值意义：通过三叉树对随机比例布朗过程及其函数的期望进行逼近，为多样性金融模型（如方差伽玛、正态逆高斯等）中的衍生品定价奠定基础。

- 主要定理（Theorem 2）：保证在合适条件下基于三叉树可用于计算连续时间模型下的随机到期期权定价。

---

2.7 数值算法与实验验证（第12-16页）

• 三种计算算法：

1. 算法1：传统三叉树全树状态存储，节点初始化包括中间路径支付及其后继节点，标准递归回退定价。
2. 算法2：递归非合并二叉树变体，修改状态转移为三种结果（上下两个节点+虚拟中间路径），不显式编码中间路径。
3. 算法3：递归合并二叉树变体，类似算法2但利用合并树结构减少状态空间，实现线性级别增长，计算速度显著提升。

• 计算性能：实际测试表明算法3速度最快，呈线性增长；算法1时间复杂度最高且指数增长。

- 测试期权类型：看涨期权、看跌期权、零执行价看涨期权及对数合约，覆盖标准与非常规支付函数。

• 参数设定：基线参数包括N=20步，波动率30%，利率10%，分红5%，到期强度10%等。

- 数值结果：

- 时间步数增加选项价格稳定，少数调用波动符合树模型性质（见图5）。
- 价格随标的资产初始价变化规律与经济预期吻合（图6）。
- 增加随机到期强度$\lambda$，看涨看跌期权价格时间价值减少，零执行价看涨投资价值升高（图7）。

• 代码：Python实现公开，结构清晰，算法详见附录。

---

2.8 结论与未来展望（第14-16页）

• 本文创新性地把随机到期权风险中性定价问题转换为适用于三叉树的有限状态无套利问题，确立了均衡价格区间，提出了有效算法。

- 连接连续极限过程，为金融模型更广泛的非正态分布提供具操作性质的定价参考。

• 限制：不完全市场环境下，通常无法获得完美复制策略，仅存在近似对冲方案。

- 未来方向：
- 静态对冲策略和神经网络辅助的近似复制模型探索。
- 多资产随机到期期权、多维树结构扩展。
- 路径相关到期选项建模及数值方法创新。

---

3. 图表深度解读

图1（第1页）

• 内容：二步三叉树演示股票价格演变，树中间路径对应随机早期到期。

- 解读：图示明确分叉为三条路径，上、中（早期到期）、下。中间路径不代表实际价格上升或下降，而是早期到期代理，帮助将随机寿命隐含于树结构中。

• 文本联系：该图说明了如何构造三叉树满足随机到期物理含义，基础结构为本文定价和无套利证明奠定框架。

---

图2（第6页）

• 内容：左图为两期股票价格演化三叉树；右图为对应带有早期支付且支付资金带息滚动至到期的调整三叉树。

- 解读：右图显示中间路径采取时，即时支付并将钱滚动利息计入终端，体现随机到期资金价值的保留；终端共九节点，包含所有可能早期支付后的资金情况。

• 联系文本：证明命题1嵌入三叉树的定价合法性，展示早期支付的资金动态。

---

图3（第13页）

• 内容：对一般支付函数$f(S)$的选项定价对应的树结构示意，树中值对应各节点期权价值。

- 解读：直观地将随机到期期权价值标注在各节点，并结合概率加权关系，支持算法1和算法2、3的计算流程。

• 联系文本：说明算法中期权值的递归计算基础和支付函数灵活性。

---

图4（第14页）

• 内容：不同算法下，定价看涨随机到期期权的执行时间纳秒对比（横轴节点数N，纵轴纳秒，对数刻度）。

- 分析：
- 算法1（常规三叉树）时间随着N爆炸性增长。
- 算法2性能较好，但仍随N快速增长。
- 算法3表现最佳，基本线性增长，计算极为高效。

• 结论：实用推荐算法3。

---

图5、6、7（第15-16页）

• 图5：不同权证价格随时间步长N的收敛情况，整体趋于稳定，适配树模型特性。

- 图6：权证价格随标的初始价格$S0$变化展示，反映了看涨价格随$S0$上升，看跌价格下降，符合基本金融直觉。

• 图7：权证价格随到期强度$\lambda$调整，自然地看涨、看跌期权价格下降，零行权价看涨期权价格上升。

---

4. 估值分析

• 估值方法：基于三叉树离散化模型结合风险中性概率，直接算期望折现，属于数值逼近方法。

- 关键参数：
- 树的时间步长$N$
- 股票价格移动比率$u,m,d$，其中$m = e^{(r-y) \Delta t}$固定
- 早期到期概率$p = q_m^{(k)}$，可根据需求设定（常数几何分布或路径依赖）

• 输入假设：市场不存在套利，$u>m>d$且满足无套利风险中性概率限制

- 估值本质：期望加权不同到期时的期望支付，结合风险贴现计算选项价值。

• 连续极限视角：通过让$N \to \infty$，估值可视为被随机时间截断的几何布朗运动的期望，涵盖更广泛无限可分分布模型。

- 敏感性分析：未详尽展开，但提供了基于线性规划约束的分布优化定价框架，意味着可对参数变动进行边界分析。

---

5. 风险因素评估

• 模型假设风险：

- 随机到期时间必须满足概率支持为$(0,1)$，否则需要调整树结构。
- 齐次树假设使得到期时间独立于标的价格，此假设排除与价格相关的复杂早期到期策略（例如美式选项）。

• 市场不完整风险：模型虽然避免了套利，但完美复制不可能，需依赖非唯一风险中性测度，存在策略风险。

- 数值实现风险：三叉树步数增大带来的计算负担，尽管Algorithm 3显著缓解此风险。

• 未来改进：提升复杂路径相关性、相关性早期到期事件的模型能力，以降低模型风险局限。

---

6. 批判性视角与细微差别

• 模型局限：

- 排除路径相关风险中性概率，限制了可描述的市场事件依赖性。
- 中间路径解释为早期到期是人为技术手段，实际市场事件可能更复杂，模型需要扩展。

• 假设的适用性：

- 早期到期与标的价格相互独立是重要且现实条件，偏离该条件时模型不能简单适用。

• 潜在的数值误差：树模型会带来典型振荡和收敛速度慢问题，尤其对于非平滑支付函数，但文章已有相关讨论。

- 数据选取：实际金融市场的参数估计（$\lambda$, $\sigma$等）对定价精度影响显著，本文未深入涉及。

---

7. 结论性综合

本文通过引入三叉树中间路径作为随机早期到期代理，创造性地在不完全市场框架下构建了随机到期期权的风险中性定价体系。理论证明了所建模型无套利，揭示了风险中性概率的校准灵活性与极限过程连接，拓展了经典定价理论的应用边界。

数值实验验证了三种算法的性能，尤其推荐合并二叉树算法（Algorithm 3）用于高效定价。四种典型支付函数的定价结果符合经济与理论预期，且具备良好的数值稳定性和计算效率。

图表清晰展示了树结构的数学与金融内涵，反映了不同参数对价格的敏感度，验证了理论在具体数值上的可靠性。结论明确指出该方法为随机到期期权定价的新工具，对包括保险金融、员工激励计划、与信用风险相关的衍生品均有重要意义。

未来研究方向包括增强路径依赖性处理、引入价格相关的到期机制、优化对冲策略、扩大发展多维资产树模型以及基于机器学习的对冲技术。

---

参考依据页码索引

• 模型概念与引言：[page::0-1]

- 三叉树结构与嵌入技术：[page::1-2]

• 金融基础理论与三叉树概率描述：[page::2-4]

- 随机到期选项单期、多期模型与概率分配：[page::4-7]

• 价格公式与统计特性定理详解：[page::8-10]

- 连续时间极限理论及鞅过程关联：[page::10-12]

• 算法与数值结果展示：[page::12-16]

- 结论与未来工作：[page::14-16]

• 附录证明详见对应页面：[page::18-22]

- 代码实现摘录：[page::23-24]

---

总结

该研究为随机到期期权提供了理论严密、方法创新的定价框架，成功结合三叉树模型及连续极限分析，为金融衍生品领域带来具有实际计算价值的新视角，学术价值与应用潜力兼备，是随机组件衍生品数值定价的重要贡献。

报告