• 研究背景与目标：[page::0][page::1][page::2]

- 美国期权定价难以得到闭式解，市场不完全导致只存在宽泛的价格区间。
- 风险无差异定价作为一种合理价格确定方法，通过风险测度反映买卖双方的风险容忍度进行定价。

• 全动态凸风险测度框架与市场设置：[page::2][page::3]

- 引入买卖双方可能有不同的信息过滤族，定义适应于各自信息集的交易策略集合。
- 风险测度满足单调性、现金不变性、凸性及强时间一致性等性质。
- 买方与卖方残余风险分别通过各自的风险测度加以度量。

• 买卖双方风险无差异价格定义及其无套利性质：[page::3][page::5][page::6][page::7]

- 卖方价格定义复杂，因其无法预知买方行权时间，仅能用非先见性策略。
- 买方价格相对简单，可自由选择行权时间并本着降低持仓风险原则决定行权策略。
- 两者分别通过带有风险调整的动态风险测度及最优对策问题确定，且均无套利机会。

• 文献比较及创新点：[page::7][page::8]

- 现有文献多采用单一过滤族且偏重效用无差异定价，本研究首次在动态风险测度框架下系统构建买卖双方不同信息结构的风险无差异定价。
- 定义合理明确，细化卖方的非先见性交易策略。

• 随机波动率模型及BSDE-R-BSDE刻画：[page::8][page::9][page::10][page::11]

- 股票价格及随机波动率遵循带相关布朗运动的扩散过程，假设市场无套利。
- 风险测度由带有严格二次增长及线性导数条件的驱动函数定义的BSDE确定。
- 卖方及买方价格均通过反射型BSDE系统表示，反射边界由另一个BSDE给出，体现行权后位置风险。
- 关键方程参见定理3.5与3.7，表达了买卖双方价格与BSDE-R-BSDE系统解的对应关系。

• 数值算法及示例：[page::12][page::13][page::14]

- 采用反射深度向后动态规划算法(RDBDP)基于深度神经网络与Adam优化器实现金融市场标的的前提下高维BSDE-R-BSDE数值解。
- 具体应用于美国看跌期权，使用畸变熵风险测度与改造型arctan随机波动率模型。
- 结果显示买方与卖方价格及隐含波动率曲线，价格曲线具备合理的回撤及波动率结构。

• 研究贡献总结：[page::14]

- 全面系统地提出美国期权基于完全动态凸风险测度的风险无差异定价体系。
- 明确了买卖双方不同信息的数学模型及非先见性策略空间。
- 建立了随机波动率模型下BSDE-R-BSDE的刻画，并提供深度学习数值解法及实证演示。

金融研究报告详尽分析报告

报告标题：Risk-indifference Pricing of American-style Contingent Claims
作者：Rohini Kumar、Frederick “Forrest” Miller、Hussein Nasralah、Stephan Sturm
发布日期：2024年9月4日
主题：美国式期权的风险无差异定价，结合动态凸风险度量与反射型后向随机微分方程（BSDE-R-BSDE）

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1. 元数据与概览

本报告聚焦于美国式衍生品合约的定价问题，提出了风险无差异定价法（risk-indifference pricing）框架，基于动态凸风险度量（fully dynamic convex risk measures）。该方法适用于买卖双方信息可能存在不对称的连续时间模型，且符合无套利原则。核心贡献是将风险无差异价格表征为一种特殊的反射型后向随机微分方程（BSDE），具体是反射在另一个BSDE上的BSDE（BSDE-R-BSDE），这一结构有效囊括了在期权行权之后直至到期的持仓风险。此外，报告提出借助深度学习数值方法求解该复杂系统，并给出数值示例。

核心信息：

• 提出了一般定义的买家和卖家风险无差异价格，适应信息不对称情况。

- 结合随机波动率模型，将定价表述为 BSDE-R-BSDE 的解。

• 利用深度学习新技术实现数值解算。

该研究扩展了以往基于效用最大化的无差异定价理论，强调风险度量作为定价标准的优势，增强理论与监管实践的衔接。

[page::0,1]

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2. 章节深度解读

2.1 引言与理论基础

• 报告开篇强调美式期权定价的理论难题，包括模型不完备性和最优暂停问题。

- 无套利理论只给出价格区间，但区间多宽难以指导实践，故引入无差异定价（indifference pricing），求解买卖双方“风险无差异”时的价格阈值。

• 采用动态凸风险度量形式，既有深厚的BSDE理论支撑，又符合现代监管的风险管理框架。

[page::0,1]

2.2 动态风险度量与市场模型设置（第2节）

• 采用带信息过滤的半鞅市场模型，定义买卖双方各自信息过滤流（filtration），允许信息不对称。

- 资产价格过程为$d$维连续半鞅，乘以折现因子模拟风险资产和无风险资产。

• 规定无套利条件须有等价鞅测度$\mathbb{Q}$使折现价格为局部鞅。

- 允许买卖双方均参与市场对冲，策略受限于各自信息流，且投资组合净值动态服从零下界约束，防止无限风险敞口。

• 美式期权定义为右连续、界限有界且适应市场自然信息流的支付过程，可于任意停止时行权。

- 动态凸风险度量$\rho{s,t}$定义明确，包括单调性、现金不变性、凸性及时间一致性等性质。引入买卖双方各自考虑风险减缓后的剩余风险$\hat{\rho}$、$\check{\rho}$。

该部分奠定了形式严密的数学基础，形成本研究后续定价模型的理论画布。

[page::2,3]

2.3 卖方定价（Section 2.2）

• 卖方面临难点是买方行权时间$\tau$未知，且属于买方信息过滤流，卖方定价需对买方可能的行权策略进行“最坏情形”评估。

- 定义卖方可用的策略集合$\mathcal{H}^{\prime}{sell}$，该集合具备非前瞻性条件——卖方策略只能基于已发生的行权时间做调整。

• 卖方持仓策略为针对行权时间的函数，策略切换反映实务中卖方对行权监控后调整对冲行为。

- 卖方价格定义为在所有策略的效用风险态度下，衡量对冲后的潜在最大风险，对买方所有行权时间求上确界后，再对策略求下确界，剔除卖方本身无风险持仓的残余风险。

该节细化了卖方信息限制下的策略及对风险的考量，解决了卖方要应对买方行权不确定性的核心数学难题。

[page::3,4,5]

2.4 买方定价（Section 2.3）

• 买方可自主选择行权时间，拥有更多策略自由。

- 其定价方法通过对所有停止时间$\tau$求风险最小化，包括对冲策略和行权最优决策，表达为对$\hat{\rho}$的最小化问题。

• 风险现金不变性使价格表达独立于初始资本。

- 若买卖双方信息对称，价格形成买卖价差（bid-ask spread），证明策略集合一致时买价必不超过卖价，体现价格合理性。

[page::5,6]

2.5 无套利性质证明（Section 2.4）

• 详细定义买卖双方的无套利条件。

- 通过反证法证明定义的买卖价格不存在可构造对冲策略实现无风险盈利。

• 指出若双方信息等同，则价格机制对双方均无套利，强调信息不对称时的差异。

该证明为理论构架提供坚实保障。

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2.6 现有文献对比（Section 2.5）

• 回顾了美式期权无差异定价领域的经典与最新研究，涵盖交易成本、跳跃扩散、跳变模型等视角。

- 指出现有文献多采用统一信息流，且对卖方策略信息结构欠缺严格定义。

• 本文方法创新在于允许信息不对称，完善卖方策略设置，更贴近实际交易且规避非现实假设。

- 还对比了不同效用函数和绩效过程下的定价方法，突显风险度量方法的灵活性和普适性。

[page::7,8]

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3. 专题模型与BSDE-RBSDE表述

3.1 随机波动率模型设定（Section 3）

• 选择经典随机波动率模型，风险资产价格$St$和波动率因子$Vt$均满足带相关布朗运动的SDE。

- 保证该模型满足路径唯一性、非爆炸条件及有等价鞅测度，满足无套利假设。

• 假设买卖双方信息一致，均仅包含市场资产信息，简化结构便于后续BSDE处理。

[page::8]

3.2 风险度量BSDE定义及风险调整驱动函数

• 用一个满足严格二次增长条件及线性导数约束的驱动函数$g(z1,z2)$来构造风险度量，对冲后的剩余风险用BSDE的第一分量表示。

- 定义了驱动函数的偏Fenchel共轭$g^$，体现对冲调整后的风险度量结构。

• 证明了$g^$仍满足严格二次增长、高阶可微等性质，保证后续BSDE解析和比较定理适用。

[page::9]

3.3 反射型BSDE与BSDE-RBSDE系统

• 利用BSDE的强时间一致性，建立卖方风险无差异价格的表达式为一个复杂的BSDE-RBSDE系统中的过程差值。

- BSDE-RBSDE指的是外层的反射BSDE，其反射阻挡边界本身由另一BSDE决定，这一创新结构反映了行权后风险的持续管理。

• 证明中利用了比较定理、极小极大优化结果及BSDE的反射结构，彻底展示了卖家定价的数学严密性。

- 对买方价格也给出相似BSDE-RBSDE的表达，结构一致但难度较低。

• 阐释反射边界$\zetau + Yu$的经济意义：修正简单行权价格$\zetau$，加入持仓风险与市场对冲后剩余风险的综合。

[page::10,11,12]

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4. 数值方法及案例展示

4.1 基于深度学习的RDBDP算法

• 针对BSDE-RBSDE系统复杂性，采用深度学习辅助的反向动态规划方法（RDBDP）进行数值求解。

- 利用神经网络拟合BSDE解的条件期望，迭代优化反射边界与价值函数。

• 详细说明了时间离散步长的划分、神经网络结构（双隐藏层+ReLU激活）、损失函数与Adam优化器的应用。

- 代码开源，指标与算法流程清晰，提升了实用性与复现性。

[page::12,13]

4.2 数值示例与结果解析

• 选择经典美式看跌期权作为标的，驱动函数采用带协方差扰动的扭曲熵风险度量形式，体现市场风险偏好调整。

- 模型中采用特定的arctan型波动率函数保证波动率正性和平滑性。

• 计算了一系列执行价下买卖双方价格与隐含波动率，将结果与欧洲期权价格作比较。

- 结果显示买卖双方价格合理分布，买家价格低于卖家价格，体现合理的买卖价差。

• 隐含波动率图形反映了美式期权早行权价值和风险反映，数值稳定且与市场经验吻合。

[page::13,14]

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5. 估值分析

• 估值基于动态风险度量对应的BSDE解，折现率为无风险利率，波动率与股票价格联合动态给出风险调整驱动。

- 采用严格二次增长驱动函数保证对应BSDE唯一性，利用Fenchel变换得到对冲调整风险驱动。

• 拟合神经网络极小化BSDE残差，结合反射约束处理美式期权行权界面。

- 估值结果体现买卖双方在市场不完备情况下的风险容忍度差异，买卖价差合理收敛。

• 敏感性分析未在报告细节中展开，但驱动函数参数$\gamma,\eta$为风险厌恶度与波动风险调整项，具有较强解释力。

[page::9-14]

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6. 风险因素评估

• 报告主要风险因素体现在市场不完备性导致价格非唯一，行权时间不确定以及买卖双方信息不对称。

- 风险度量通过动态凸风险度量形式捕捉风险，兼具金融理论一致性与实务可操作性。

• 信息不对称风险通过筛选适当策略集$\mathcal{H}{buy/sell}^{\prime}$及相应过滤拓展加以控制。

- 数值方法基于深度学习，固有的黑盒风险与训练稳定性风险，需要经验调整和详细测试以防过拟合。

• 报告未具体涉及宏观经济或监管环境风险，可能不适用于极端市场冲击模型。

[page::全篇综述]

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7. 批判性视角与细微之处

• 报告充分利用了近代数学金融理论和深度学习技术，理论架构严谨且创新。

- 卖方策略定义的“非前瞻性”条件十分合理，强调卖方只能基于已知行权路径调整策略，避免理论与实际的脱节。

• 报告对比现有研究强调了多信息流的独立性，这一点虽创新但增加了模型复杂度，数值实现也更难，未来验证需完善。

- 部分数学推导基于严格条件（如严格二次增长），实际市场驱动函数是否完全满足尚有讨论空间。

• 深度学习数值方法虽具有很大潜力，报告展示的案例时间步较少（$N=10$），高时间精度和高维问题需后续工作深化。

- 买卖双方风险度量完全一致时，高亮了买卖价差理论非负性，未展开不同风险度量下差异影响，值得进一步研究。

[page::全篇]

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8. 结论性综合

本报告系统而深入地探讨了美国式衍生品的风险无差异定价，结合了动态凸风险度量和反射BSDE理论，突破了信息不对称与市场不完备性的核心难点。理论上，报告将卖方价格表述为反射"驱动本身也为BSDE"的复合系统，将买方问题简化为类似结构，既丰富了数学金融理论，也链接实践中的风险管理与监管要求。

数值上，借助深度学习算法解决了高维度和多重BSDE反射边界问题，展示了对实际标的如美式看跌期权的数值定价能力，且买卖双方价格对应合理的价差及隐含波动率特征。图1（直观展示买卖双方风险无差异价格区别、相应隐含波动率以及买方美欧期权价格对比）进一步确认了模型的实际可行性和金融解释力。

报告的独特贡献在于：

• 理论创新：允许信息流不同，引入具备非前瞻性限制的卖方策略集，真正反映市场交易信息差异。

- 数学工具：结合BSDE、RBSDE，并建立BSDE-R-BSDE系统新结构，拓展了风险度量衍生定价的数学工具箱。

• 实用导向：采用深度学习数值方法，推动复杂高维模型在金融工程中的落地应用。

综上，该报告无疑是美国式期权风险无差异定价领域的重要理论贡献，为未来在不完备市场与风险管理合一的环境下设计合理定价策略奠定了坚实基础。

[page::全篇]

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图表深度解读

图1内容描述：

• 左图展示买方与卖方风险无差异价格随执行价$K$变化曲线，显示卖方报价整体高于买方（合理体现卖方承担更多风险）。

- 中间图为买卖双方价格隐含的波动率曲面，卖方隐含波动率明显高于买方，反映卖方需防范行权后风险。

• 右图对买方美式与欧式期权价格进行对比，表明美式期权的灵活早行权权利带来更高价值，尤其在深度实值区域明显。

数据及趋势解读：

• 风险无差异价格曲线平滑，随执行价升高（价内程度增加）价格增大，符合市场预期。

- 隐含波动率曲线呈“笑脸”形态，中低执行价与高执行价隐含波动率上升，是典型的市场波动率结构。

• 美式期权买方价格相较欧式更高，验证折扣风险调整后，美式权利价值的有效体现。

文本联系及结论：
此图强有力支持理论分析，验证风险无差异框架在随机波动率情形下的定价合理性及经济解释。数值示例增强了数学表达的金融实用性。



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总结

本研究从数学金融、风险管理及计算方法多个维度构筑了美国式衍生品风险无差异定价的全面框架，结合了动态凸风险度量的理论优势和BSDE-RBSDE的数学创新，并利用深度学习数值算法解决实际计算难题。该成果为包含信息不对称与市场不完备性的美式期权定价提供了重要工具，具有理论与实务双重价值。

报告