• 美式期权的价格通过求解带有动态边界的PDE或转化后的积分方程获得，[Itkin et al., 2021]提出的广义积分变换（GIT）及Duhamel原理扩展方法，允许解析求解时间非齐次模型下的行权边界 [page::0][page::2]。

- 传统数值方法如有限差分和蒙特卡洛方法难以准确且高效处理美式期权界面，行权边界隐含定义，积分方程法通过非线性Volterra积分方程显式计算边界，实现更快收敛和计算效率提升 [page::0][page::1][page::6]。

• 负利率或负便利收益环境可能产生双边界行权区域，形成两个动态边界，且边界可随时间出现、消失或交汇，构成“漂浮”结构。此现象在比特币和商品期权定价中具有实际意义 [page::1][page::5]。

- 对于采用几种常见时间依赖模型（GBM和OU过程），期权行权区域演化规则被细致分析：
- 单一行权边界在正利率时存在；
- 负利率伴随负便利收益时会出现双行权边界，并可发生边界合并或消失；
- 行权边界满足非线性Volterra积分方程及其耦合系统，具体形式依赖于时间函数$r(t), q(t), \sigma(t)$ [page::7][page::8][page::10]。

• 通过设定具体的时间依赖参数（如指数衰减函数）并应用数学软件数值求解，利用多张图展示了边界在不同情形下的动态演变、边界合并点、交叉点及极端波动率影响。部分关键实验如下：

- 单边界例子展示在$ r(t)>0 $ 和 $q(t)>0$条 件下，行权边界随时间平滑递增 [page::7]。



- 双边界条件下 $q(t)




- 边界形态随着波动率提升表现出边界交叉、边界消失与再出现、行权区域的“漂浮”，准确数值稳定地捕获了这些临界现象 [page::11][page::12][page::13]。

• 均值回复OU模型扩展应用于美式期权，提供了对应的Green函数表达式以及用于解析期权价格的积分公式，且同样可用积分方程法计算最优边界，代码实现细节及数值稳定性得到阐述 [page::13][page::14]。

- 本文提出的半解析定价方法具备：
- 适用于多模型多边界问题；
- 综合时间非齐次性和利率便利收益负值现实市场环境；
- 大幅减少计算复杂度并提升定价准确度；
- 可为后续工业界批量计算美式期权价格提供理论基础和数值实现方案 [page::0][page::6][page::15]。

报告分析：浮动的美式期权行权边界在非齐次时间模型中的分析与定价方法

---

1. 元数据与报告概览

• 报告标题：《Floating exercise boundaries for American options in timeinhomogeneous models》

- 作者：Andrey Itkin（纽约大学工程与金融风险测评系），Yerkin Kitapbayev（哈利法科技大学数学系）

• 主题：本报告聚焦于美式期权的价格核算方法，尤其针对时间非齐次（time-inhomogeneous）模型中多重及动态浮动行权边界的研究与半解析定价方法的开发和分析。

- 发布机构：纽约大学Tandon工程学院与哈利法科技大学数学系联合研究成果。

• 核心论点：

- 传统黑-舒尔斯（Black-Scholes）模型通常假设单一固定行权边界，且系数常数化。
- 时间非齐次模型下，行权边界可能动态出现、消失甚至存在多个（如“双边界”情况）。
- 报告提出基于积分方程（Volterra型非线性积分方程）和广义积分变换（GIT）技术的半解析框架，实现对美式期权行权边界及价格的精确、高效求解。
- 该方法优于传统有限差分、树形及蒙特卡洛等数值方法，支持时间变系数及复杂边界结构。
- 行权边界的“floating”结构（即其可能随时间动态出现和消失）是时间非齐次模型的关键现象，该研究针对其数学刻画与数值计算提供系统方案。

整体而言，作者旨在推动美式期权定价领域对时间非齐次模型、更复杂边界行为的理解与实用算法构建，通过半解析方法处理模型的动态行权边界问题以获得高精度计算结果，为金融衍生品定价提供理论与实务上的突破。[page::0,1]

---

2. 逐节深度解读

2.1 引言与背景

• 介绍近年来半解析美式期权定价方法的重要进展，特别是利用GIT和扩展Duhamel原理将价格PDE转化为热方程或贝塞尔方程带移动边界问题。

- 对美式期权而言，行权边界不先验已知，基于该方法可导出非线性Volterra积分方程确定边界。

• 该途径不同于传统方法（如有限差分），显著提升计算速度和精度，已在常系数的Black-Scholes模型中验证，现研究扩展至时间非齐次参数及双边界情况。

- 介绍“双边界”现象在负利率、负便利收益率（convenience yield）等现实市场条件下出现。

• 说明模型校准需求驱动对时间非齐次模型及动态边界研究，提出本文解决该难题的方法框架。[page::0,1]

2.2 美式期权价格分解（第1节，第2节）

• 价格由美式期权的最优停时问题定义，定义了行权和继续区域，边界由时间函数决定，可能有0、1或2条边界。

- Carr-Jarrow-Myneni (1992) 价差分解：美式看跌期权价格等于欧式价格加上早期行权溢价（EEP）。

• 价格模型为广义扩散过程，形式为SDE：\(dXt = \mu(t,Xt) dt + \Sigma(t,Xt) dWt\)，包括GBM、CEV和均值回复（OU）过程等。

- 在一边界情形下，价格满足一个积分分解表达式，EEP部分涉及行权区域内风险中性下的期望值。

数学表达式解读：
\[ P(t,x) = E{\mathbb{Q}}\left[ D(t,T)(K - XT)^+ \right] + \intt^T D(t,u) E{\mathbb{Q}} \left[ (r(u)(K - Xu) + \mu(u,Xu)) \mathbf{1}{Xu \in \mathcal{E}} \right] du \]

• 证明中用到平滑贴合条件(Smooth pasting)使局部时间项消失，换元与伊藤引理推导带边界的价格公式。

- 解析H函数的符号决定了行权区域形态。

• 重点指出欧式部分与EEP的结合形式，EEP反映美式期权提前行权的价值。

对比GBM等模型，恒定参数下的经典公式作为特例展现，允许时间变参数时，描述的数学结构保持不变但需处理EEP符号随时间变化可能引发的复杂行权边界形态。[page::1,2,3]

2.3 双边界与时间非齐次系数情形（第3、4节）

• 讨论负利率或便利收益率情况下，二重行权边界出现的机制与数学表示，边界由非线性积分方程组决定。

- \(H(u, Xu) = r(u)K - q(u)Xu\)的符号控制EEP的取值范围和行权区间。

• 说明时间依赖参数使边界位置、形态复杂化，支持边界动态“漂浮”与分裂/合并。

- 通过行权溢价对边界出现的积分性质，边界不是瞬间出现消失，而是经过一个连续时段渐进形态转换，这取决于波动率等模型参数。

• 举例用指数函数形式定义时间函数r(t), q(t)，展示行权边界依赖于参数与时间变化的灵活结构。

- 对于双边界问题，系统积分方程需同时求解两个边界函数，且在数值上需考虑起始边界条件（临近到期时边界）才能递推解算。

2.4 时间非齐次GBM模型案例（第6-12节）

• 该节具体应用时间变系数的GBM模型：

\[
dXt = (r(t) - q(t)) Xt dt + \sigma(t) Xt dWt
\]

• 分析且数值展示在不同r(t), q(t), \(\sigma(t)\)组合下，行权边界从单边界、双边界到边界漂浮、边界合并与分裂的全过程动态变化。

- 多个数值图示（Fig.1-Fig.8）直观展现各边界形态：
- 正利率全面占优时，边界单一且稳定；
- 利率负值时，双重边界形成，且两个边界有可能随时间趋近甚至近似相交；
- 边界动态交叉表现为“漂浮”结构，既出现边界消失，又出现新边界；
- 波动率增大，使得行权区域拓扑发生复杂分叉与合并现象。

• 数值计算使用高精度迭代法和Matlab’s fsolve，强调初值敏感性与迭代策略合理设定（步骤详见末页）。

- 说明整体方法允许对于极其复杂的时间非齐次环境下期权定价，实现快速准确计算，体现出半解析与积分方程求解的优势。

通过多参数组合的测试分析，讨论了边界形态的时间依赖性，以及波动率对边界存在性和位置的关键控制功用。[page::6-13]

2.5 均值回归模型及扩展（第13-15节）

• 将分析拓展至均值回归（Ornstein-Uhlenbeck）模型：

\[
dXt = \kappa(t)[\theta(t) - Xt] dt + \sigma(t) dW_t
\]

• 该模型被广泛用于固定收益、商品和加密货币等市场，满足非齐次时间参数要求。

- 活用Hull-White模型数学结构，将价格问题等价转化为带移动边界的热等式问题。

• 给出行权边界和定价问题的半解析表示及Green函数（转移密度）的具体闭式形式。

- 使用改写的积分方程及卷积核，结合边值问题，构建分析型解，适用于EOE及美式期权价格求解。

• 解决了正数域限制（如对加密货币价格非负性的支持）以及边界条件问题。

- 最终说明，基于此，报告提出的方法对均值回复进程下的美式期权定价延伸具有良好表现，理论性和实务性兼备。[page::13-15]

---

3. 图表深度解读

以下为报告关键图表及其详解：

图1（第7页）

• 内容：单边界行权边界函数\(X^(t)\)随时间变化，分别对应（a）全部正利率，及（b）利率由负转正的情形。

- 解读：
- (a)图展示行权边界缓慢上升（向执行价100靠近），凸显时间临近到期时边界趋近执行价。
- (b)图中因利率切换，边界在早期相对低，随后增加，反映利率正负转换参数对行权决策的直接影响。

• 联系文本：图示验证了积分方程求解及行权边界动态体现，体现时间非齐次系数影响。 [page::7]

图2（第8页）

• 内容：负利率持续且满足\(q(t)(t)\)、\(X^{}(t)\)的动态演化。

- 解读：
- \(r(t), q(t)\)曲线始终为负，两个边界随时间展开，行权区域明显形成一个区间。
- 边界随时间单调分别递减（下界）和递增（上界），体现价格区间内行权最优区域的扩大。

• 联系文本：支持理论中负利率条件诱发双边界，积分方程组控制边界计算的准确呈现。 [page::8]

图3（第9页）

• 内容：与图2同参数但波动率降低，导致两个边界趋近但无交叉的形态。

- 解读：
- 反映波动率对边界的位置与交叉时点的控制，低波动使边界时刻分开，不交叉。

• 联系文本：实证支持边界交叉由波动率阈值控制，边界动态的灵敏性。 [page::9]

图4（第10页）

• 内容：利率由负转正，便利收益率负值，波动率时间变的场景。

- 解读：
- 利率曲线从负值上升至正值，便利收益率维持负值，波动率随时间递增。
- 边界从双边界向单边界平滑过渡，展现边界结构“漂浮”性质及动态形态变化。

• 联系文本：展示由参数符号切换导致行权区间结构的动态演化。 [page::10]

图5、图6（第11页）

• 内容：波动率不同取值（0.2, 0.4, 0.5087）下行权边界的浮动、碰撞及重塑现象。

- 解读：
- 随波动率增大，出现边界靠近、几乎交叉及交叉，表明波动率提升导致行权边界动态更复杂。

• 联系文本：动态边界从出现到消失及新边界生成的完整过程体现，形象解释“floating”边界现象。 [page::11]

图7（第12页）

• 内容：较高波动率\(σ=0.54\)下，边界出现交叉、交换位置现象，附带期权价格和早期行权溢价曲线。

- 解读：
- 交叉点附近，两个边界只相差极小值。
- 价格及EEP表现一致，反映复杂边界结构下价格稳定性。

• 联系文本：巩固了高波动率导致复杂行权区拓扑的结果，强调数值计算的难度和必要高精度。 [page::12]

图8（第13页）

• 内容：进一步提高波动率至0.7，边界出现两块近似带状“连通带”（极窄区间）。

- 解读：
- 说明边界重构为复杂拓扑结构，提出计算边界选择和算法稳定性问题。

• 联系文本：反映极端参数条件对行权区形态的影响，隐藏边界结构的细粒度变化。[page::13]

其他表格

• 表1,2：描述不同符号区间，利率与便利收益率组合对行权边界数目和拓扑结构的理论分类。

- 表3-5：给出数值测试的参数配置，包括指数衰减型的时间变函数，辅助图表内行权边界及价格计算。[page::5,8,10,11]

---

4. 估值分析

• 基于非线性Volterra第二类积分方程求解行权边界，这些方程由价值匹配和边界条件确定。

- 估值方法实质上是半解析的分阶段法：
1. 先分析并求解模型对应的转移密度（Green函数）。
2. 根据Volterra积分方程迭代求解行权边界。
3. 利用边界参数在积分表达式中计算美式期权价格。

• 该方法借助GIT和Duhamel原理，适用于时间变系数的扩散和跳跃模型，保证了极佳的速度和精度。

- 对双边界情况，提出了联立积分方程，根据边界融合或漂浮现象采用特定的数值迭代策略（如分步求解与联合求解结合）确保收敛。

• 波动率、利率和便利收益率的时间曲线形态为估值关键驱动因素，其动态变化直接影响行权边界和最终价格。

- 估值方案兼容单边界和双边界情况，支持复杂市场情形如负利率和加密货币资产定价。

---

5. 风险因素评估

• 时间非齐次模型中，行权边界的动态表现带来的风险包括：

- 模型风险：估计r(t), q(t), \(\sigma(t)\)等参数误差将导致行权边界位置偏差。
- 数值风险：积分方程的高非线性和初值敏感性，可能引起迭代不收敛或解偏离。
- 市场风险：波动率剧烈变动可能带来的价格不稳定，尤其是在边界间隙极小处。
- 结构风险：边界漂浮及交叉导致行权区域拓扑变化，可能带来定价和风险管理复杂度。

• 报告中通过参数变动测试与数值方法稳健设计，试图缓解上述风险。

- 提供了耦合积分方程的分步求解加联合校正方法及高精度数值容错来保证稳定计算。

• 但并未详述对极端市场冲击或模型不匹配的缓解策略，提示实际应用时需结合市场监控和动态重新校准。

---

6. 审慎视角与细微差别

• 报告作者展示了对复杂动态边界的深入理解及严谨的方法论，但以下方面值得关注：

- 描述中对于边界交叉、相近但未等值的数学含义侧重数值准确度，实际意义尚存一定不确定，未来可探讨边界融合时的数学极限行为。
- 时间非齐次模型假设参数决定行权边界，但现实市场参数估计噪声较大，模型鲁棒性未详细探讨。
- 报告假设转移密度及相关数学结构已知，实际高维扩展性略显局限。
- 边界“漂浮”的实证市场验证较少，尤其加密货币市场的负便利收益举例虽新颖，但应用前景仍待拓宽。

• 在数值实现方面，迭代法需要敏感参数调整和初值设计，可能对非专家带来障碍。

- 报告内有多处对相似理论的潜在重复阐述（文献复述与方程推导），虽保证系统完整，但略显繁复。

---

7. 结论性综合

该报告系统性探讨并提出了一套用于时间非齐次一因子模型下美式期权定价的新型半解析方法，核心创新体现在：

• 明确提出并数学描述了美式期权行权边界可能动态“漂浮”，即边界随时间出现、消失甚至合并、分裂的复杂动态现象，这在传统单一行权边界理论中未充分覆盖。

- 通过构建和求解以行权边界为参数的非线性Volterra积分方程，协调了行权问题的最优停止性质与扩散过程的过渡概率特征，实现了行权边界与价格的联合解的半解析表达。

• 采用广义积分变换(GIT)和扩展Duhamel原理解得时间非齐次模型的转移密度的解析表达，增强了求解的准确性和计算效率。

- 具体分析时间非齐次GBM和OU过程下的美式看跌期权，包括但不限于负利率、负便利收益率、波动率变化等复杂市场环境，反复验证边界的多样动态结构。

• 数值结果（图1至图8）展示了边界结构多样化和价格变化趋势，为投资者及风险管理者提供深刻的市场风险洞察。

- 该方法显著优于传统有限差分和蒙特卡洛模拟方法，尤其适合大批量、实时计算需求的工业界应用。

综上，报告不仅在理论金融数学上作出贡献，也为美式期权市场定价及风险策略制定提供了实用工具和框架。

---

参考

• 文中大量引用Carr et al.（1992）、Andersen & Lake（2021）、Itkin与Muravey若干工作以及多篇相关金融数学核心文献，重建了理论框架与数值方法体系。

- 包含最新研究成果（2024年），反映前沿动态，理论与实践结合紧密。[page::全文]

---

总结

本报告深入研究和分析了时间非齐次模型中美式期权行权边界的动态行为及其价格半解析方法，采用积分方程和广义积分变换构建高效稳定的定价算法，显著推动了含“漂浮”边界情形的理论理解和数值实现，尤其在处理负利率、变波动率等复杂市场环境下展现优势。报告通过多个经典及实证参数实例，图文并茂直观展示边界结构的丰富多样性，并提出了数值实现中应对算法敏感性的策略。此方法不仅具备严谨的理论保障，也为实际金融工程应用提供了有力支持，具有重要的学术和实务价值。[page::全文]

---

附录：部分重点图片展示

• 图1a 单边界在正利率条件下的演变

• 图2b 双边界形态在负利率情况下

• 图7a 双边界漂浮与交叉示意（高波动率）

• 图8 极端波动率下边界“岛屿”拓扑结构

---

（全文所有引用页码均按报告源码页码标注）

报告