• 研究背景与动机 [page::0][page::3]：

- 传统风险度量依赖于定义域的固性（solidity），固性意指如果$g$属于集合，且$|f|\le|g|$则$f$也属于该集合。
- 市场不完全性本质上表现为非固性，这导致经典的格结构和固性假设无法涵盖不完全市场中的风险度量问题。
- 文章首创性地放弃固性假设，拓展风险度量理论至非固性空间，回应经济学和市场不完全性的实际需求。

• 基础框架与定义 [page::4][page::5][page::6][page::7]：

- 设$E\subset L^{0}(\mathbb{P})$为随机变量向量空间，配备绝对凸、吸收且在概率收敛下闭合的集合$K$，定义了Minkowski泛函$p_K$，进而界定了$K$-有界集的概念。
- 引入了$K$-等连续Fatou性质作为风险度量函数$\varphi:E\to\mathbb{R}\cup\{\infty\}$的一个关键正则性概念，针对$K$-有界序列的概率收敛保证$\varphi$的下半连续性。
- 采用$K$-等连续拓扑，特别是形如$\sigma(E,F)$的弱拓扑，其中$F$为固性且含严格正元素的子空间，确保拓扑的紧性和局部凸性并满足克雷因-斯穆利安性质。

• 主要理论结果 [page::7][page::10][page::11][page::14]：

- 定理1（Fatou性质与下半连续性对应）：在$K$-等连续拓扑且满足克雷因-斯穆利安性质时，$K$-等连续Fatou性质等价于下半连续性。
- 定理2（Fenchel-Moreau对偶表示）：满足上述条件的风险度量$\varphi$可表示为对偶空间$F$上的泛函的上确界形式，搭建非固性风险度量的对偶框架。
- 引入提升(lift)操作$\rho:\ (E,\tau)^*\to F$，通过选定对偶拉伸解除非唯一性质，实现风险度量从$E$向$\mathrm{span}(\mathrm{sol}(K))$的非平凡延拓，保留了Fatou性质（定理3）。
- 对于单调风险度量，若提升$\rho$符合正性定义，则扩展风险度量保持单调性（定理5）。

• 特殊案例与应用 [page::17][page::18]：

- 设$S$为$d$维半鞅，本研报定义$K$为所有半鞅的有界随机变量集，$E=\mathrm{span}(K)$。
- 应用Yor定理证明$K$满足$K$-等连续拓扑的紧性和克雷因-斯穆利安性质（定理6）。
- 利用定理2与定理6，确立了对$E$上满足Fatou性质风险度量的对偶表示（定理7），主要针对半鞅模型中的自融资投资策略收益。
- 进一步利用定理4至定理3证明当$E\neq L^{\infty}(\mathbb{P})$时，风险度量可非平凡地扩展至$L^{\infty}(\mathbb{P})$，且保留Fatou性质（定理8）。

• 量化因子构建/策略生成相关内容：

- 该报告属于理论方法研究，无直接量化因子或量化策略构建部分，聚焦于风险度量的抽象函数分析及它们的拓扑与经济学属性，侧重于构建非固性市场上的风险评价体系。

研究报告详尽分析报告

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1. 报告元数据与概览

• 标题：Risk measures on incomplete markets: a new non-solid paradigm

- 作者：Vasily Melnikov

• 机构：未显式提及，推断为学术研究者

- 发布日期：2025年1月

• 主题：金融风险测度理论，特别关注于不具备格结构（非实心、non-solid）指标空间中的风险测度定义与推广，聚焦于市场不完全性问题。

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核心论点与目标

本报告突破传统将风险测度定义限制于实心（solid）指标空间的框架，提出适用于非实心向量空间的风险测量新范式。作者重点考察了：

• 在非格结构（尤其是非实心空间）上的风险测度$\varphi:E \to \mathbb{R}\cup\{\infty\}$ 的双重表示存在性。

- 非实心风险测度的Fatou类似性质（罚法性质）与局部下半连续性的等价关系。

• 利用“lifts”（提升映射）概念解决风险测度的推广问题，包括如何从非实心空间扩展到其实心超空间而保持非平凡性。

- 该框架适合描述市场不完全性下的风险现象，填补传统格结构假设无法覆盖的空白。

基于抽象的凸分析和局部凸拓扑方法，结合金融经济学中的不完全市场实际，报告提出了完整的理论证明及应用示例，涵盖风险测度的定义、性质、双重表示及其扩展。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要与引言

• 摘要中明确指出，以往文献局限于带格结构（实心）的随机变量空间，本文推广至非格结构，为不完全市场中的风险测度构建理论基础。

- $\varphi$ 的可实现稳定双重表示等价于满足某种Fatou性质（近似于局部下半连续性），而拓展风险测度需引入“提升”（lift）机制。

• 报告驱动力是金融经济中广泛存在的非实心（non-solid）可获证券空间，即不完全市场框架。

- 引言强调传统风险测度文献极其依赖实心空间假设，然而非实心性与市场不完全性密切相关。

• Ross (1976) 等早期工作的非实心提示不完全市场的本质，同时引入了期权组合完成市场的概念与superhedging的非实心性质。

- 经济动机强烈，理应推动理论脱离格结构限制。

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2.2 章节1.2及1.3：跳出格结构框架与非实心风险测度基本理论

• 报告拒绝实心（solid）的假设，研究$E \subset L^0(\mathbb{P})$ 的一般子空间，无需其具备格结构，密切关联现实中不完全市场。

- 采用抽象分析，薄弱但充分的拓扑与有界性条件定义风险测度。

• 介绍了风险测度Fatou性质与局部下半连续性之间的等价（在局部拓扑$\sigma(E,F)$下），其中$F$是与$E$配对的“价格空间”。

- 设定在非实心背景下可覆盖Delbaen (2002) 等经典结果，实现理论泛化。

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2.3 章节3：非实心性与不完全市场的等价性（核心经济论证）

• 明确定理证明“市场不完全性与可获索赔集非实心性等价”。

- 实心性表述为：若索赔$\xi$可达，且$|\zeta|\leq |\xi|$，则$\zeta$亦可达。

• 反向亦成立，完备市场索赔集必为实心。

- 结果表明传统基于实心空间的风险测度无法捕捉不完全市场的精细结构。

• 该结论为不完全市场风险测度理论创新提供了正当性。

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2.4 章节4：模型框架与Fatou性质的拓扑对应

2.4.1 模型设计

• 设$E\subset L^0(\mathbb{P})$为随机变量向量子空间。
• 引入实心闭集$K\subset E$作为“规范集合”：绝对凸、概率收敛闭、有界性、吸收性。
• Minkowski泛函$pK(f) = \inf \{r>0: f \in rK\}$导出范数性界定$E$中收敛和有界的概念。
• 举例说明实例：

- $L^\infty$及标准范数集合。

- 可获索赔空间$A$被纳入。

2.4.2 Fatou性质定义（$K$-equicontinuous Fatou性质）

• 将Fatou性质限制在$K$-有界序列上，适应非格结构语境。
• 定义体现风险测度的“罚法性”，即序列下极限风险不低于极限风险。
• 与传统“有序有界”条件不同，本定义灵活适配非格空间。

2.4.3 拓扑结构的引入

• 拟构局部凸的$K$-等连续拓扑$\tau = \sigma(E,F)$，其中$F$是包含严格正元素的稳健实心对偶空间，确保拓扑的Hausdorff性质。
• 这一搭配模拟$L^\infty-L^1$空间的弱拓扑及其性质。
• 引入Krein-Šmulian性能，即闭性定义可规约到单位核上的闭合性。
• 通过此结构，定义风险测度的“局部下半连续性”，为Fenchel-Moreau定理的双重表示做基础。

2.4.4 Theorem 1：Fatou性质与局部下半连续性的等价（报告核心理论支撑）

• 对任意$K$-等连续拓扑$\tau$，Fatou性质等价于对任意实数阈值，水平集在$\tau$中局部闭合。
• 进一步假如拓扑满足Krein-Šmulian性质，则等价于风险测度整体的$\tau$下半连续。
• 这一结果强化了Fatou性质作为风险测度可双重表示标准的理论地位。

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2.5 章节5：风险测度的双重表示（Theorem 2）

• 利用Fenchel-Moreau对偶性，证明满足$K$-equicontinuous Fatou性质的凸风险测度必等价于在$F$上的Fenchel对偶表示。
• 关键公式：$\displaystyle \varphi(f) = \sup{g\in F} \left\{\int fg\,d\mathbb{P} - \varphi^(g)\right\}$。
• 此双重表述确保风险测度同时具备判定与计算的可操作性。

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2.6 章节6：风险测度推广问题与提升（lift）机制引入

• 关注如何从非实心空间$E$扩展$\varphi$至其实心包$\operatorname{span}(\operatorname{sol}(K))$，解决传统推广方法的平凡性与非唯一性问题。
• 平凡性指扩展泛函$\varphi^N$在新域外几乎始终取无穷大，失去价值。
• 非唯一性缘于扩展函数在冗余对偶函数上自由度过高。
• 引入“提升”$\rho$定义：定位于$\tau$-拓扑下对偶空间$(E,\tau)^$到$F$的映射，选取某一价函数的特定扩展，实现风险测度有限延拓。
• 定义6.1：$K$-equicontinuous lift，不要求线性，映射满足$\iota\circ \rho = \mathrm{id}$。
• 定义6.2：reduptive lift 指其价函数作用在$\operatorname{span}(\operatorname{sol}(K))$上不分辨所有点，导致延拓非平凡。
• Theorem 3：使用reductive lift$\rho$构造风险测度延拓$\widehat{\varphi}{\rho}$满足

- 延拓保留原$\varphi$定义（同域一致性）,

- 保留Fatou性质,

- 延拓至超出原域存在非平凡有限值元素。

• 证明利用引理2展示乘积集的统一可积性，结合$\rho$定义限制了过度自由。
• 展示如何构造reduitive lift的Theorem 4：当原空间不密于实心包情况存在非平凡分解，从而构造投影改造提升。
• 举例说明非所有提升都是reduitive（Example 12），凸显设计提升的复杂性。

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2.7 章节6.5：单调性风险测度延拓与正提升

• 增添对提升正性的需求，使延拓的风险测度保持单调性。
• 定义7：正提升即将正价函数对应的价格扩展映射到正随机变量集。
• Theorem 5：在提升满足正性且原风险测度单调条件下，延拓测度$\widehat{\varphi}{\rho}$证得单调。
• 核心逻辑用反证法结合Fenchel对偶势函数的单调性与有限性推导。

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2.8 章节7：应用于半鞅模型市场

2.8.1 语境设定

• $S$为本地鞅，代表风险中性概率下贴现股价过程。
• 可获索赔集$K = B{L^\infty} \cap \{a + (H\cdot S)1: a\in \mathbb{R}, H \text{是} S\text{-可积} \}$，该集合构成实心闭合集合。
• $E = \operatorname{span}(K)$为自融资投资组合可达索赔生成子空间。

2.8.2 结果陈述（Theorem 6及7）

• 证明$K$绝对凸、有界、概率闭合，且在$L^1$-弱拓扑下紧。
• $E$相应的拓扑是$K$-equicontinuous，并满足Krein-Šmulian性质。
• 因此风险测度满足Fatou性质的等价双重表示存在。
• 这一理论实现了半鞅市场风险测量理论的严谨基础。

2.8.3 风险测度推广（Theorem 8）

• 对于$E \neq L^{\infty}$，存在Fatou性质保持的非平凡风险测度扩展$\widehat{\varphi}$定义在$L^\infty$上。
• 体现了从不完整市场可达索赔到更大实心空间完成风险测度的可能。

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3. 图表与公式深度解读

由于文档无插图，以下对关键公式进行解读：

• 风险测度定义: $\varphi: E \to \mathbb{R}\cup\{\infty\}$ 是凸、不降的泛函，用以评估随机变量（金融索赔）的风险。
• $K$的定义：$K$是空间$E$的绝对凸且概率闭合的单位集，赋予$E$以Minkowski泛函$pK$进而定义范数与有界性。
• $K$-equicontinuous Fatou性质：

$$\varphi(f) \leq \liminf{n\to\infty} \varphi(fn) \quad \text{对任意}\; K\text{-有界且以概率收敛} fn \to f,$$

体现对收敛序列的连续性与稳健性要求。

• 对偶表示形式：

$$\varphi(f) = \sup{g\in F} \left\{\int fg d\mathbb{P} - \varphi^(g)\right\},$$

其中共轭函数$\varphi^$定义为对$E$的赋值函数的Fenchel对偶。

• 提升（lift）定义：

$$
\rho: (E, \tau)^ \to F,\quad \text{满足} \quad \iota \circ \rho = \mathrm{id},
$$

意义在于从抽象对偶空间选出价格函数的具体扩展，满足线性泛函的升维。

• 扩展风险测度定义：

$$
\widehat{\varphi}{\rho}(f) = \sup_{g \in F} \left\{\int f \rho(\iota(g)) d\mathbb{P} - \varphi^*(g)\right\},
$$

解决普通双重表示所面临的泛函冗余无限性和非唯一问题。

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4. 估值分析

报告并未直接涉及公司估值或财务报表分析，而是对风险测度的数学表示与延伸做数学理论阐述。

• 应用Fenchel-Moreau定理构成风险测度双重表述，即 convex conjugate 方法，属于凸分析范畴的标准技术。

- 通过引入拓扑空间$E$与其对偶空间$F$，以局部弱拓扑下的连续性实现Fenchel对偶。

• 扩展利用提升映射实现风险测度定义在更大空间中且保持非平凡性质。

- 此外，报告中无DCF等经典的财务估值模型应用场景。

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5. 风险因素评估

报告中的“风险”主要指风险测度理论的发展风险、技术假设风险：

• 非实心域风险：传统风险测度文献多基于实心空间限制，忽视了不完全市场中固有的非实心结构，存在理论局限。
• 拓扑选择风险：挑选不恰当的拓扑（如$K$-equicontinuous但不满足Krein-Šmulian性质）将导致Fatou性质和下半连续性不符，破坏双重表示。
• 提升映射非唯一和可构造性风险：提升映射不唯一，且需构造reductive且正性映射，否则延拓功能可能反直觉地失去单调性或出现平凡扩展。
• 空间结构限制风险：如例3表明扩大到$L^0(\mathbb{P})$未必满足吸收有界闭合条件，限制了理论适用范围。

报告针对上述风险提出条件限制及解决方法，例如构造严谨的$K$-equicontinuous拓扑和reductive提升。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告自觉突破传统格结构局限，但切换至非格空间带来拓扑和对偶空间理论高度复杂，依赖较强的抽象数学假设，对金融实务解释和数值实现或有挑战。
• 报告中提出的提升（lift）虽有效，但缺乏线性、更缺乏经济含义直观解释，实务解读或存在一定抽象距离。
• 对提升的非唯一性和正性假设依赖厄米特分析性质，实际市场数据中的估计和验证难度不明。
• 报告虽陈述存在严重非唯一性和推广平凡性问题， 对于如何实际构建或选取“合适”的提升$\rho$仅给出了存在性证明和抽象构造，缺乏算法或构造性细节。
• 经济意义与实证可验证性相对有限，偏学术理论模型性质。

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7. 结论性综合

该研究系统构筑了适合市场不完全性情形下风险测度的非实心空间理论框架，主张跳出传统风险测度所依赖的实心格结构，采用基于$K$-有界性和$K$-equicontinuous局部弱拓扑的Fatou性质，从而得到风险测度的稳定双重表示与延拓。

• 理论创新在于发现：

- 不完全市场风险测度本质为非实心现象，其风险测度空间应放宽实心限制。

- Fatou性质与局部弱拓扑下的下半连续性等价，为双重表示理论奠定新基础。

- 传统风险测度推广延拓面临无穷多价函数带来的平凡化及非唯一性问题，提出引入“提升”选择特定价函数扩展，实现非平凡的非唯一扩展。

- 对提升做出抽象拓扑结构和经济解释，为风险测度理论拓展到更广泛空间提供数学支持。

• 图表及数据无可分析，报告聚焦数学理论定理与证明
• 应用于半鞅模型市场框架，建立风险测度的双重表示和扩展定理，且形式严密，符合金融建模实务领域对理论一致性的需求。
• 总体立场正视市场不完全现实，强调风险测度理论必须在非实心范畴下进行创新和重塑，具备理论突破意义。

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主要引用页索引

• 对非实心定义及经济动机详述：[page::0] [page::1]

- 非实心与市场不完整等价定理及证明：[page::3]

• 基础模型与Fatou性质定义、拓扑结构与定理1证明：[page::4]至[page::10]

- 风险测度双重表示定理2及证明：[page::10] [page::11]

• 升级拓扑提升（lift）理论与定理3，以及提升存在性定理4的构造方法：[page::12]至[page::16]

- 保持单调性的正提升及定理5：[page::16]

• 半鞅模型应用及延拓结果Theorem 6、7、8：[page::17] [page::18]

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综上，这份研究报告提出了全新的非实心风险测度理论框架突破传统限制，涵盖理论定义、Fatou性质、拓扑方法、双重表述与提升延展，尤其针对不完全市场的本质非实心结构，融合抽象凸分析与金融经济学，为不完全市场风险测度问题提供完整而深刻的数学解决方案。

报告