• 研究背景及模型构建 [page::1][page::2][page::4]

- 考虑保险实际中主险与附险理赔的相关性及附险结算可能延迟一个时间周期。
- 以离散时间风险过程为基础，设定多档保费级别，保费根据不同理赔经验动态调整。
- 设定多种保费调整规则：基于报告总理赔额、结算总理赔额、报告理赔数量、结算理赔数量 [page::4][page::5][page::11][page::14][page::16]

• 四种保费调整原则的理论递归公式及性质 [page::6][page::11][page::15][page::17]

- 对不同保费调整原则，推导有限时间破产概率的递归计算公式，考虑理赔延期概率$q$、主险与附险联合分布。
- 结算理赔相关的保费调整过程为非齐次马尔可夫过程，理赔延迟影响保费演变路径。
- 证明报告理赔调整下的破产概率与含延期附险间存在特定关系（Lemma 1）[page::6]

• 数值实验设置 [page::19][page::20][page::23][page::27]

- 主险$X$与附险$Y$分别采用几何分布，定义高相关、中相关、低相关三种联合概率分布。
- 保费水平$\{11,12,14,16,18\}$对期望理赔额加成40%为初始保费。
- 不同的保费调整规则对应不同的状态转移矩阵及长期稳态分布。

• 数值结果与发现

- 破产概率$\psi3(u,20)$随初始储备$u$增加显著下降，说明初始资本对破产风险的缓释作用。[page::21][page::30][page::31]
- 主险与附险相关性越高，破产概率越大，反映保费收入受到负面影响，导致风险增大。[page::21][page::30]
- 附险理赔延期概率$q$越高，破产概率总体下降，原因是理赔延后提高了保费收入的稳定性和时机。[page::22][page::25]
- 基于结算理赔的保费调整原则，破产概率普遍高于基于报告理赔的原则，且在$q$较大时差异显著，提醒保险公司慎重选择调整依据。[page::25][page::26][page::33]

• 量化策略与相关矩阵

- 四种保费调整均采用了状态转移矩阵$\mathbf{P}T$描述保费级别转移，其中矩阵结构随调整原则和理赔延迟概率影响变化。
- 理赔数量相关性的变化也影响长期预期保费水平和破产概率，展示量化因子（理赔额和理赔数）在风险控制中的应用。[page::28][page::29]

• 图表说明

- 表1-4展示各原则下不同初始储备对应的20期有限时间破产概率精确数值。

| u | High Corr. q=0.2 | High Corr. q=0.8 | Moderate Corr. q=0.2 | Moderate Corr. q=0.8 | Low Corr. q=0.2 | Low Corr. q=0.8 |
|----|------------------|------------------|---------------------|---------------------|-----------------|-----------------|
| 0 | 0.48789 | 0.34433 | 0.46301 | 0.32119 | 0.43201 | 0.29416 |
| 20 | 0.16386 | 0.11085 | 0.11795 | 0.07688 | 0.06897 | 0.04179 |
| 40 | 0.05194 | 0.03423 | 0.02940 | 0.01878 | 0.00931 | 0.00541 |
| 60 | 0.01583 | 0.01024 | 0.00728 | 0.00459 | 0.00117 | 0.00067 |

- 图1-8全面直观展示破产概率随初始储备及理赔延迟概率变化的趋势，体现相关性和调整策略差异对风险的影响。

• 结论与建议 [page::34]

- 理赔延迟概率提升有助于降低保险公司的破产风险。
- 主险与附险之间的强相关性显著提升了破产概率。
- 基于已结算理赔调整保费导致较高破产概率，尤其理赔延迟概率高时。
- 建议保险公司：面对高相关性和低理赔延期概率应保持高度警惕；优先采用基于报告理赔经验的保费调整策略以降低破产风险。

• 未来研究方向 [page::34]

- 研究理赔间可能存在的负相关性。
- 探索多周期延迟理赔模型，不局限于仅延迟一期。
- 允许复杂理赔计数和金额差异，提高模型现实适用性。

研究报告详尽分析报告：Bonus-malus Systems vs Delays in Claim Settlements: Analysis of Ruin Probabilities

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1. 元数据与报告概览

报告标题：
Bonus-malus Systems vs Delays in Claim Settlements: Analysis of Ruin Probabilities

作者与机构：

• Dhiti Osatakul（朱拉隆功大学商学院统计系，泰国）

- Shuanming Li（墨尔本大学经济系，澳大利亚）

• Xueyuan Wu（墨尔本大学经济系，澳大利亚）

发布时间： 未明确具体日期，但相关引用文献截止至2021年。

研究主题：
本报告聚焦于风险理论中的离散时间风险模型，考察保险理赔过程中主索赔和附带索赔（by-claims）之间的相关性及理赔延迟现象对保险公司破产概率（即“ruin probabilities”）的影响，并对四种基于索赔经验的分级保费调整（Bonus-Malus）系统进行风险评估与比较。

核心论点与目标：

• 设计时间变动的离散风险模型，模拟现实中保险理赔存在结算延迟的情况。

- 证实延迟结算附带索赔概率越高，破产概率越低。

• 发现主索赔与附带索赔间的强相关性增加破产风险。

- 比较基于报告索赔和实际结算索赔的保费调整机制，指出基于结算经验的保费调整导致更高的破产概率，尤其在高概率延迟结算情况下差异显著。

• 提供理论递归公式，同时通过数值模拟分析不同参数下的破产概率表现。

关键词：离散时间风险模型；有限时间破产概率；递归计算；Bonus-Malus系统；理赔延迟

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（Section 1）

内容总结：
引言部分阐述了延迟索赔结算的行业现象，特别是在财产事故险中，理赔周期长因调查和评估过程复杂。文中区分了“延迟报告索赔”（IBNR，incurred-but-not-reported）和“延迟结算索赔”，强调这两者对保险风险模型构建的重要性。

理论背景及先行研究梳理：

• Waters和Papatriandafylou（1985）率先对带有理赔延迟的风险过程破产概率上界进行了研究。

- Yuen和Guo（2001）构建了时间相关的主索赔和附带索赔模型，但假设二者独立，限制较大。

• 后续学者如Wu和Yuen（2004）、Xiao和Guo（2007）等进一步放松独立性假设或分析更复杂统计量，如盈余分布与破产亏损。

- 同时相关研究还涵盖了IBNR索赔、赔付时序、股利策略和惩罚函数等领域，显示问题的多维关联与复杂性。

本文贡献定位：
突破先前模型，纳入“可变保费”机制，采用基于整体组合层面的Bonus-Malus保费调整规则，结合现实中理赔结算延迟（最多延迟一期）和主索赔-附带索赔相关结构，探讨这些因素对有限期内破产概率的影响。[page::0][page::1][page::2][page::3]

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2.2 模型设定（Section 2）

关键随机过程定义：

• 离散时间盈余过程 \( Uk = U0 + \sum{t=1}^k (Ct - St) \)，

其中 \(U0\) 为初始盈余，\(Ct\) 为第 \(t\) 期保费，\(St\) 为第 \(t\) 期实际结算索赔总额。

• 保费集合 \(\mathbf{c} = \{c1, c2, \ldots, cl\}\)，严格递增，构成离散保费等级。

索赔分类与相关性：

• 只考虑每期至多一笔主索赔 \(Xt\)，伴随至多一笔附带索赔 \(Yt\)。

- \(Xt\) 与 \(Yt\) 构成联合分布 \(f{XY}(x,y)\)，允许二者相互关联（弱化文献中独立假设）。

• 仅当主索赔不为零时附带索赔才可能出现（附带索赔为零时主索赔可为零或非零，且 \(f{XY}(0,y) = 0\) 对于非零 \(y\)）。

理赔延迟机制：

• 主索赔始终在本期末结算。

- 附带索赔有概率 \(q\) 被延迟至下一期结算，且各期附带索赔延迟独立。

• 结算金额 \(St\) 根据附带索赔是否延迟及是否有前期延迟附带索赔四种情形复合定义。

有限时间破产概率定义：

• 设定期数为 \(n\)，初始保费等级为 \(ci\)，初始盈余 \(u\)，定义破产概率为

\[
\psii(u,n) = Pu\left( \bigcup{k=1}^n \{ Uk < 0 \} \middle| C1 = ci \right)
\]

• 规范性边界条件明确，保证概率计算合理。

辅助盈余过程 \(U'k\)：

• 引入带初期延迟附带赔款 \(Y0\) 的辅助盈余过程，用于递归计算。

- \(Y0\) 独立且服从附带索赔分布，用于处理延迟赔款的时序问题。

四种保费调整原则预告：

• 根据已报告索赔金额调整。

- 根据已结算索赔金额调整。

• 根据已报告索赔次数调整。

- 根据已结算索赔次数调整。

该模型设定兼具许多现实保险理赔特点，同时保留足够的简化条件（例如每期最多一主一附索赔，延迟仅一期）使数学处理可行。[page::4][page::5]

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2.3 保费调整规则与递归公式（Section 3-6）

3. 基于报告索赔金额调整（Section 3）

• 保费状态转移通过奖金-惩罚系统（Bonus-Malus System， \(\Delta = (\mathbf{T},\mathbf{c},i)\) ）定义。

- 转移概率矩阵 \(PT\) 根据索赔金额之和 \(s = x + y\) 确定，且不受延迟结算影响（即使用“报告金额”）。

• 引入关键函数 \(\xiy(n) = \sum{x=1}^n f{XY}(x, y + n - x)\)，简化递推表达。

- 主要递归计算公式（定理1）给出长度为 \(n+1\) 的破产概率表达，涵盖延迟不同情形及保费等级转换概率。

• 附加的递归式（推论1）处理辅助过程带延迟附带赔款 \(Y0\) 情况。

- 理论上实时保费调整依赖于报告索赔金额，且享有时间均匀的Markov性质，便于计算。

4. 基于结算索赔金额调整（Section 4）

• 转移矩阵不再是时间均匀的，因为结算索赔金额受上期赔款延迟影响。

- 不满足前面Lemma 1中给出的模型简化条件，使递推更复杂。

• 定理2与推论2给出了对对应情况下有限时间破产概率的递归公式。

- 数学表达力求贴合结算索赔真实流程，增加了模型的现实适用性，但也提升了计算复杂度。

5. 基于报告索赔次数调整（Section 5）

• Premium转移状态依据报告索赔的“次数”而非“金额”，将转移规则从索赔金额函数替换为报告的索赔次数函数。

- 留意报告的索赔次数只有三种状态（0、1、2），对应主索赔与附带索赔的出现情况。

• 递推公式在定理3与推论3中提出，结构与金额调整略有不同，但逻辑一致。

- 计算量下降，便于实际操作。

6. 基于结算索赔次数调整（Section 6）

• 更全面区分三类结算索赔次数，包含当前主索赔、当前结算附带索赔、及前期结算延迟附带索赔，总次数范围0-3。

- Markov过程时间非齐次性更明显，故递归相关表达式更为复杂（定理4与推论4）。

• 该规则最接近实际结算状态下的保费动态调整机制。

总体，四种调整策略递归式均捕捉到延迟赔付和索赔相关的复杂时序及依赖结构，能基于不同的保费调整原则灵活计算有限期破产概率。[page::6][page::7][page::10][page::11][page::13][page::14][page::16][page::17]

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2.4 数值研究与实证分析（Section 7）

本部分通过设定具体的联合分布、参数及保费调整规则，对上述模型予以数值实现，重点考察：

• 主索赔（\(X\)）和附带索赔（\(Y\)）的相关强度（高、中、低）对破产概率的影响。

- 附带理赔延迟概率 \(q\)（0.2与0.8）对破产概率的影响。

• 不同保费调整原则下有限期（20期）破产概率的对比。

7.1 基于报告索赔金额案例

• \(X,Y\)分别设为几何分布，构造三类联合概率：高度相关 \(\rho=1\)，中度相关 \(\rho=0.54\)，低度相关 \(\rho=0.14\)。

- 保费等级五档，从预计索赔金额的110%到180%，初始保费设置为140%。

• 递推保费转移规则基于当期报告索赔金额区间划分（≤3↓档，(3,14]稳档，>14↑档）。

- 计算结果显示：
- 破产概率随初始盈余 \(u\) 增加递减。
- 相关度越大，破产概率越高，因高相关导致赔付风险同步增加。
- 延迟概率 \(q\) 越高，破产概率越低，因延迟可提供更多保费收入弥补资金缺口。
- 不同相关案例导致稳态保费分布差异，进而影响长期风险表现。

图/表解读：

• 表1记录不同 \(u\) 下的破产概率数值，明显呈的递减趋势，且高相关的破产概率最高。

- 图1展示破产概率曲线，虚线低\(q\)高，实线高\(q\)低，符合理论预期。[page::19][page::20][page::21][page::22]

7.2 基于结算索赔金额案例

• 同样的索赔分布和保费级别设置，调整基于当期结算索赔金额。

- 递推保费转移矩阵不恒定，随时间及理赔延迟动态变化。

• 核心发现：

- 与报告金额原则相比，基于结算金额的调整导致较高的破产概率。
- 高相关情况下，延迟概率 \(q\) 对破产概率影响更大，反映延迟结算增加了破产风险对管理策略的敏感性。
- 破产概率曲线形状与报告金额规则相似，但两者整体水平有所提升。

• 图2及表2支持上述结论。

7.3 基于报告索赔次数案例

• 保费调整依据报告索赔次数（0，1，≥2），转换矩阵及稳态分布计算完成。

- 报告次数间的相关性(\(\rho^{NX,NY}\))较金额相关性(\(\rho^{X,Y}\))偏强，且三情形间差异较小。

• 破产概率随盈余上升递减，且次数相关度提高导致破产概率增加，但幅度相对金额调整较小。

- 与前述案例相比，长期保费期望较为接近，提示数目相关调整的均衡效果偏中性。

• 见表3、图5。

7.4 基于结算索赔次数案例

• 同7.3，但换成结算索赔次数（0-3取值），并据此计算递归破产概率。

- 破产概率趋势与上例类似，但整体略高。

• 高延迟概率\(q=0.8\)时，报告次数和结算次数原则之间破产概率差异增大，体现理赔时序对风险评估重大影响。

- 图6、表4及图7、8比较清晰展示了两次数调整原则的差异。

综合数值结果：

• 破产概率受初始盈余、理赔延迟概率、索赔主附带相关性、及保费调整规则多维影响。

- 延迟概率越大，尤其是与主附赔付高度相关时，破产概率明显降低，这是模型的核心洞察之一。

• 基于结算经验的保费调整机制通常导致更高破产概率，提示保险公司应谨慎使用基于结算索赔的实时保费动态调整策略。

- 数目与金额调整原则体现了不同的风险捕捉精度和管理策略效果，提示针对不同业务场景宜选择对应机制。

• 高相关性的主附索赔显著增加破产风险，可能需要保险公司加强风险资本准备。

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3. 图表深度解读

图表1—表格与Figure 1 (第21页、第22页)

• 描述： 表1列出不同初始盈余 u 下，采用报告索赔金额保费调整原则情况下，破产概率 \(\psi3(u,20)\) 的具体数值；Figure 1呈现破产概率随盈余变化的曲线图，区分高、中、低索赔相关度及理赔延迟概率 \(q\)（0.2和0.8）的场景。

- 趋势与解读： 破产概率随盈余增加急剧下降，高相关案例多破产风险最高；高理赔延迟概率大幅降低破产风险；曲线间差距随着盈余扩大而放大，显示系统长远的动态风险积累效应。

• 支持论点： 证明关联性增强破产风险，并且延迟结算降低短期破产概率的理论设想。[page::21][page::22]

图表2—表格与Figure 2 (第24页、第25页)

• 描述： 对应基于结算索赔金额调整的方案，列出相同参数条件下的有限时间破产概率及曲线。

- 解读： 破产概率整体比报告金额原则更高；两个不同理赔延迟概率的破产概率差距在高相关场景下明显增大，低相关情况差异减少；反映结算金额带来的时间非齐次风险特征。

• 联系文本： 说明基于结算经验的调整更保守但带来更高破产风险，应权衡时序因素。

图表3与4— Figures 3和4 (第26页)

• 比较图： 展示了报告金额 vs 结算金额调整下，固定理赔延迟概率 \(q=0.2\) 和 \(q=0.8\) 时的破产概率曲线。

- 发现： 小延迟率时两者破产概率相近，高延迟率时区别明显，且随着相关性降低差异放大。

其他图表（Figures 5-8，Tables 3-4）

• 覆盖基于索赔率调整的破产概率计算结果，同样表明延迟结算降低破产风险的影响，但整体破产概率水平和不同相关性之间的差距进一步缩小。

- 图7和8显示报告和结算次数调整的破产概率比较，延迟概率较大时差异显著。

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4. 估值与计算方法分析

报告采用了递归概率计算方法对 finite-time ruin probability 进行数值求解，核心如下：

• 通过定义包含理赔延迟机制的复合随机过程，建立保费等级与索赔情况相互依赖的离散时间Markov链模型。

- 利用辅助盈余过程处理延迟赔款，将复杂的时间延迟转化为递归关系。

• 对四种不同的保费调整原则分别构建Markov转移矩阵（对报告类为时间齐次，结算类为非齐次），并以递归方式计算不同时间周期的破产概率。

- 计算中运用概率分布的联合与边缘特征，特别是 \(\xiy(n)\) 等统计量简化计算复杂度。

• 采用数值抛弃尾部概率较小项的近似方法，兼顾数学精度和计算效率。

该方法适合场景为多时间阶段风险暴露与保费动态调整的保险组合破产风险评估。

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5. 风险因素评估

报告明确识别以下风险及影响：

• 理赔延迟概率 \(q\) 变动：

理赔延迟越高，在保费动态调整模型中通常导致破产概率降低，因为延迟使保险公司可以积累更多保费收入缓冲索赔风险。此优势在附带赔款高度相关时尤为显著，但延迟期仅限一时段，限制模型复杂度。

• 主索赔与附带索赔的相关性：

相关度高导致破产风险显著增加，因赔款同期发生概率变大，增加大额索赔突发可能。保险公司如忽视此点，可能低估风险。

• 保费调整依据（报告vs结算）：

基于结算信息的调整更为滞后，导致保费响应慢，风险积累快，破产概率更高。反映结算数据完整性和时效性不足可能导致风险管理缺陷。

• 保费调整粒度（金额vs次数）：

次数调整一般导致破产概率整体较金额调整低，且相关性对次数调整的影响较弱，提示实际操作中应依据业务选择合适对应的指标。

报告未直接提供风险缓解策略，但结论隐含保险公司应均衡理赔数据的时效与完整性、关注索赔间相关性、设计适应理赔延迟的保费动态调整机制等。

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6. 批判性视角与细微差别

• 模型简化与实际适用性限制：

仅允许每期最多一主一附索赔，且附带索赔延迟仅一期；赔款金额报告与结算金额一致；主附索赔间只有正相关假设。现实理赔场景复杂多变，延迟时间不确定，赔款金额可能差异显著，此假设限制了模型的泛化能力。
报告中亦明确指出这些限制，并建议未来扩展纳入多期延迟、负相关及不完全赔款金额匹配。

• 递归计算公式复杂度高，且部分推导过程呈现符号乱码等排版问题（第7-9页、12-14页等），影响阅读流畅性。

但核心逻辑清晰，数值示例与推论均与理论公式相呼应。

• 报告与结论中始终强调理论结果的条件性，未过度扰动原文推断，保持客观严谨，符合学术规范。

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7. 结论性综合

本报告系统展示了在考虑理赔延迟、主附索赔相关性和保费动态调整的离散时间风险模型下，有限期破产概率的递归计算与数值分析结果。主要结论如下：

• 理赔延迟对破产概率影响显著且负相关： 延迟概率 \(q\) 提升使保险公司拥有更多缓冲资金，降低破产风险。延迟的风险管理价值应被认知与利用。
• 主索赔和附带索赔的正相关性显著升高破产概率，体现理赔项目间协同风险效应，需在风险评估中加以体现。
• 基于结算经验调整保费的策略导致更高破产概率，相比基于报告索赔信息的调整更为风险暴露，尤其在高延迟概率环境下差异更大；建议保险业者采用更及时的索赔数据进行保费定价以降低破产风险。
• 评估了基于索赔率与索赔金额的保费调整效果，金额调整方案更细致捕捉风险程度，索赔率调整则在简化模型下表现稳健。
• 基于递归计算框架实现了多方案破产概率的精准数值评估，为保险公司风险管理提供了有力工具。

综上，报告提供了一个理论与应用兼备的保险风险模型，通过全面分析理赔流程的复杂时序问题和保费调节机制，揭示了关键风险因素对破产概率的影响，具有较高的学术价值和实践指导意义。[page::34]

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总体评价

该报告内容深入，理论与实证结合紧密，系统整合了延迟理赔、主附索赔相关和Dynamic Bonus-Malus Premium调整对破产风险的综合影响。递归算法框架严谨且适合定量评估。数值示例真实反映不同假设情形下的风险差异，为保险精算和风险管理提供了新视角和方法。从风险管理角度来看，提示保险公司在保费设计时应综合考虑理赔数据的时效性与相关性，警示因理赔延迟可能产生的潜在账面风险。

未来研究可拓展更复杂赔付结构、历史数据异质性及多期理赔延迟模型等，进一步提升模型的现实适用性和泛化能力。

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附录：部分重要公式参考

• 盈余过程定义：

\[
Uk = U0 + \sum{t=1}^k (Ct - St)
\]

• 理赔结算金额规则（附带索赔延迟）：

\[
St = \begin{cases}
Xt, & \text{若 } Yt \text{延迟且无前期延迟附带索赔} \\
Xt + Y{t-1}, & \text{若 } Yt \text{延迟且有前期延迟附带索赔} \\
Xt + Yt, & \text{若 } Yt \text{不延迟且无前期延迟附带索赔} \\
Xt + Yt + Y{t-1}, & \text{若 } Yt \text{不延迟且有前期延迟附带索赔}
\end{cases}
\]

• 破产概率递归表达（示例）：

\[
\psii(u,n) = \ldots \text{（见定理1，递推涵盖转移概率、索赔联合分布、延迟权重等）}
\]

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参考文献标注说明

报告中所有结论均结合文中页码溯源，示例标记如 \([page::3]\)，确保引用溯源规范，便于检阅查证。

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图片资源索引示范

• Figure 1 图示：

• Figure 2 图示：

• Figure 3 图示：

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（全文完）

报告