协方差矩阵

什么是协方差矩阵？

协方差矩阵用于计算股票投资组合的标准差，投资组合经理又使用协方差矩阵来量化与特定投资组合相关的风险。在本文中，我们将学习如何为包含 n 个股票的投资组合创建为期“m”天的协方差矩阵。

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投资组合分析如何运作？

让我们了解投资组合分析的工作原理。假设我们的投资组合中有 4 只股票，我们希望为每只股票分配最佳资本，以使我们的风险最小。

为此，我们需要首先创建多个具有不同权重的投资组合，以反映对每只股票的不同资本配置，并计算每个结果投资组合的标准差，然后选择风险最低的投资组合。

**预期投资组合方差= SQRT (W T *

起源于 1901 年 Pearson 的主成分分析（PCA），通过对协方差矩阵的特征值分解或 SVD 分解，通过对特征值排序选取相应的特征向量，将高维特征映射到低维上，达到降维的目的。用于数据预处理。

1998 年，降维算法PCA首次与核方法结合，先将数据集通过核函数（Kernel Function）映射到高维空间，然后在高维特征空间中做 PCA。核 PCA 有更好的降维效果。

2000 年，始于局部线性嵌入（Locally Linear Embedding）的流形学习（Manifold Learning）引领了降维算法的新浪潮。

2008 年 ，t-SNE 作为非线性降维方法，可更好地

旧版声明

本文为旧版实现，供学习参考。

https://bigquant.com/wiki/doc/demos-ecdRvuM1TU

下面代码在新版本不能直接运行，需要修改两处，一处是数据读取，一处是画图，分别参考以下两处链接。

数据读取

[https://bigquant.com/wiki/doc/

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研究结论

上篇报告我们提出的协方差矩阵谱分解近似方法可以兼顾统计模型的高效便捷和因子模型的组合优化提速，不过其中K值（保留的最大特征值数量）的设定比较偏经验，本报告通过数学推导给出了此方法近似误差上限的简洁表达式，并基于此动态调整K值，保证理论一致性，同时可以在不显著影响策略表现的条件下，实现组合优化过程的大幅提速。

压缩估计量方法是基于个股收益率在时间序列上独立同分布的假设，对近期市场变化反应迟钝。我们借鉴CCC-Garch 模型的思想，设计了一套波动率调整方案，可以让压缩估计量对近期市场变化更加敏感。用波动率调整后的风险模型可以降低策略跟踪误差和回撤。

跟踪误差惩罚项可

组合优化中，计算各资产之间的相关性，即协方差矩阵是非常关键的一步。在Sander Gerber与Harry M. Markowitz的最新论文中，提出了一种新的相关性度量指标Gerber统计量，相对传统的协方差矩阵，这个统计量的表现来的更加稳健。

如何计算Gerber statistics

假设有 个证券标的， 个时间。令 表示标的 在时间 的收益率。对于在时间 ，任意两个标的组合 ，我们将它们的收益对 根据以下公式转换为联合变量 :

也就是说，当标的 同向涨跌超过一定幅度， 为1，此时称 为concordant；逆向涨跌超过一定幅度， 为-1，此时称 为discorda

投资要点

不可或缺的风险模型：协方差矩阵应用领域介绍组合的波动是度量组合风险的重要指标，而组合成分股收益率的协方差矩阵便是估计组合波动的重要工具。

股票收益率的协方差矩阵在组合绝对风险估计、组合相对风险控制、组合优化和因子组合构建以及多因子合成四个部分都有着十分广泛的应用。

协方差矩阵的估计方法市场上主流的协方差矩阵估计方法包括样本协方差矩阵、因子模型估计的协方差矩阵、压缩矩阵估计和其他基于时变模型的估计方法。

样本协方差虽然是真实协方差的无偏估计，但待估参数过多、估计误差较大，且当股票（资产）数量大于样本数量时，样本协方差矩阵将不可逆。

因子模型通过设定一定的结构

风险模型主要实现三个功能：估算协方差矩阵、控制风险暴露和组合绩效归因分析。后两者需要用到结构化的因子风险模型（例如BARRA、Axioma）；估算协方差矩阵可以用结构化因子模型，也可以采用纯统计方法

结构化因子模型的最大好处在于降维，既可以降低参数估计误差，也可以降低协方差相关计算的复杂度，大幅提升组合优化速度；但缺点是模型会存在设定偏误，需要维护更新风险因子库。统计模型没有设定偏误，只需要用到股票收益率数据，计算效率很高，但输入到组合优化时，无法通过因子模型降维的方式实现优化提速。

本报告提高了一种方法可以兼顾统计模型的高效便捷和因子模型的计算提速。首先用压缩估计方法（报告用的是线性压缩

风险模型有三个功能：控制风险暴露、估计收益率协方差矩阵、绩效归因。不是所有功能都要用到风险因子，估计协方差矩阵可以采用纯统计方法，报告把这个领域最新学术成果和业界常用的因子模型在A股进行了实证对比

由于股票数量多，收益率样本数量少，样本协方差矩阵的估计误差比较大，导致其矩阵条件数（最大特征值除以最小特征值）较高，输入组合优化器进行数值求解时会让结果对数据误差十分敏感。压缩估计方法即是去调整样本协方差矩阵的特征值，压缩其分布区间，同时降低估计误差。我们之前研究中一直采用线性压缩方法（LS），报告里新测试了Ledoit(2017)提出的非线性压缩估计(NLS)。

因子模型(FM)的构建参考了B

风险模型的作用主要有三个：识别风险、估计股票收益率协方差矩阵和组合绩效分析。

如果只是估算协方差矩阵做组合优化，可以考虑用压缩估计量这样的统计方法。本报告提供的结构化因子模型，能在一套体系下实现三个功能，效果在理论上和实务上都比纯统计模型更佳

DFQ-2018风险模型包括29个行业风险因子（中信一级行业）和十大类风格因子，具体参见报告，其中我们用国企性质虚拟变量来部分衡量政策风险；用分析师覆盖度、公募基金持仓比例、上市时间长短来度量公司信息不确定性；并对beta的估计做了bayes压缩改进。风险模对不同股票池的股票收益都有很强的解释力度，对沪深300成份股的解释度最高，每个月横截面回归的A