通俗易懂的贝叶斯定理（Bayes' Theorem）
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概率论与数理统计在我们的日常生活中扮演着极其重要的角色，然而，很多人在大学课堂上对其的理解并不够深入，无法将这些理论知识具象化并应用于实际生活中，这确实令人感到遗憾。因此，我决定重新学习这些知识，并用通俗易懂的语言来解释和记录，以便加深理解并更好地应用它们。
首先，我们来思考一个问题：数学是如何产生的呢？
想象一下，当我们的祖先遇到一个问题时，他们努力寻找解决方法，并最终成功地解决了这个问题。这种成功的喜悦让他们想要在未来的类似情况下能够轻松地应对，于是他们就把这种解决问题的思想和方法提取出来，逐渐形成了数学。
为了让更多的人受益，祖先们将这些方法整理成抽象且严谨的数学理论，并传递给其他人。其他人通过学习这些理论，掌握了解决问题的方法，并能够去解决新的问题。
简而言之，数学的发展过程可以分为两个阶段：第一阶段是祖先们遇到具体的实际问题，通过解决问题提取方法，并整理成抽象的、严谨的数学理论；第二阶段是后人学习这些抽象的、严谨的数学理论，并利用它们去解决新的、具体的实际问题。
然而，我们在学习数学时面临的一个困难是：祖先们创立数学时的入手点是具体的实际问题，这些问题很形象、容易理解。而我们在学习数学时的入手点则是抽象的、严谨的数学理论，这增加了理解的难度。
因此，为了更好地理解和掌握概率论与数理统计等数学知识，我们需要尝试将这些抽象的理论与具体的实际问题相结合，通过具象化的方式来加深理解，并探索如何将这些知识应用于实际生活中。
总结一下上面的内容：
因此，要想学好数学，我们必须深入了解其起源和本质。数学并非凭空产生，而是从实际生活中抽象出来的。在学习时，我们不应过度拘泥于理论的深奥和繁琐，而要注重联想实际应用。通过先理解数学概念和原理的实际意义，再去深入研究相关理论，我们才能更好地掌握数学，发挥其在实际生活中的作用。
以上，只是简单提供一种理解研究数学的方法，接下来我们言归正传，从以下4个角度来科普贝叶斯定理及其背后的思维：
1.贝叶斯定理的诞生以及意义
2.什么是贝叶斯定理？
3.贝叶斯定理的应用案例
4.生活中的贝叶斯思维
- 贝叶斯定理的诞生来源
英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。而这篇论文是在他死后才由他的一位朋友发表出来的。在这篇论文中，他为了解决一个“逆向概率”问题，而提出了贝叶斯定理。
在贝叶斯写这篇文章之前，人们已经能够计算**“正向概率”**，比如杜蕾斯举办了一个抽奖，抽奖桶里有10个球，其中2个白球，8个黑球，抽到白球就算你中奖。你伸手进去随便摸出1颗球，摸出中奖球的概率是多大。根据频率概率的计算公式，你可以轻松的知道中奖的概率是2/10。
而贝叶斯在他的文章中是为了解决一个“逆概率”的问题。同样以抽奖为例，我们并不知道抽奖桶里有什么，而是摸出一个球，通过观察这个球的颜色，来预测这个桶里里白色球和黑色球的比例。
这个预测其实就可以用贝叶斯定理来做。贝叶斯当时的论文只是对“逆概率”这个问题的一个直接的求解尝试，这哥们当时并不清楚这里面这里面包含着的深刻思想。然而后来，贝叶斯定理席卷了概率论，并将应用延伸到各个问题领域。可以说，所有需要作出概率预测的地方都可以见到贝叶斯定理的影子，特别地，贝叶斯是机器学习的核心方法之一。
为什么贝叶斯定理这么有用？
贝叶斯定理在现实生活中之所以如此有用，是因为我们面临的问题往往都是“逆概率”问题。在实际生活中，我们所掌握的信息通常是不完整的，只能基于有限的数据来做出决策。由于无法获取全面的信息，我们需要在信息有限的情况下，尽可能做出最优的预测。
以天气预报为例，当预报说明天降雨的概率为30%时，我们无法像计算频率概率那样重复过明天100次来验证这一概率。相反，我们只能利用过去天气的测量数据等有限信息，运用贝叶斯定理来预测明天下雨的可能性。
同样地，在现实世界中，无论是深入分析未来趋势、考虑是否购买股票、评估政策对个人或企业的影响、提出新产品构想，还是简单地计划一周的饭菜，我们都需要进行预测。
贝叶斯定理正是为解决这些问题而诞生的。它可以根据过去的数据来预测未来的概率，为我们提供了一种明确有效的方法来提高预测能力，从而更好地应对商业、金融和日常生活中的各种挑战。通过贝叶斯定理的思考方式，我们可以更加理性地分析信息、做出决策，并不断提升自己的预测能力。
总结下第1部分：贝叶斯定理有什么用？
在有限的信息下，能够帮助我们预测出概率。
所有需要作出概率预测的地方都可以见到贝叶斯定理的影子，特别地，贝叶斯是机器学习的核心方法之一。例如垃圾邮件过滤，中文分词，艾滋病检查，肝癌检查等。
2.什么是贝叶斯定理？
贝叶斯定理公式如下：
贝叶斯定理，虽然看似只是一个复杂的概率公式，但它的实际应用价值却远远超出了公式的本身。在我们深入探讨这个公式之前，让我们先关注它的实际用途，因为一旦你理解了它的真正意义，学习它就会变得更加有趣和有意义。其实，我和你一样，对枯燥的公式并不感兴趣。那么，让我们从一个生动的例子开始说起。
我的朋友小鹿有个疑惑：他的女神每次看到他时都会对他微笑，这让他不禁开始猜想，女神是不是喜欢他呢？
既然我们学过统计和概率知识，何不运用这些知识来帮助小鹿解答这个疑惑呢？接下来，我们就一起运用贝叶斯定理来预测一下女神喜欢小鹿的概率有多大。有了这个概率作为参考，小鹿就可以更有信心地决定是否要向女神表白了。
首先，我们分析给定的已知信息和未知信息：
1）要求解的问题：女神喜欢你，记为A事件
2）已知条件：女神经常冲你笑，记为B事件
根据条件概率，P(A|B)是女神经常冲你笑这个B事件发生后女神喜欢你的概率（A事件）。
现在，我们来详细解释公式：
从公式来看，我们需要知道这么3个事情：
1）先验概率
我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），即在不知道B事件发生的前提下，我们对A事件发生概率的一个主观判断。这个例子里就是在不知道女神经常对你笑的前提下，来主观判断出女神喜欢一个人的概率。这里我们假设是50%，也就是有可能喜欢你，也有可能不喜欢还你的概率各是一半。
2）可能性函数
P(B|A)/P(B)称为**"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，即新信息事件B的发生调整，作用是，使得先验概率更接近真实概率。**
可能性函数你可以理解为新信息过来后，对先验概率的一个调整。比如上面的例子 在女神没有对你笑之前，你觉得女神喜欢你的概率50%（先验概率/主管判断），女生经常对你笑（调整因子/新的信息），使得你觉得女神喜欢你的概率上升而超过50%（后验概率）；又比如我们刚开始看到“人工智能”这个信息，你有自己的理解（先验概率/主观判断），但是当你学习了一些数据分析，或者看了些这方面的书后（新的信息），然后你根据掌握的最新信息优化了自己之前的理解（可能性函数/调整因子），最后重新理解了“人工智能”这个信息（后验概率）
如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。
还是刚才的例子，根据女神经常冲你笑这个新的信息，我调查走访了女神的闺蜜，最后发现女神平日比较高冷，很少对人笑。所以我估计出"可能性函数"P(B|A)/P(B)=1.5（具体如何估计，省去1万字，后面会有更详细科学的例子）
3）后验概率
P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。这个例子里就是在女神冲你笑后，对女神喜欢你的概率重新预测。带入贝叶斯公式计算出P(A|B)=P(A)* P(B|A)/P(B)=50% *1.5=75%
因此，女神经常冲你笑，喜欢上你的概率是75%。这说明，女神经常冲你笑这个新信息的推断能力很强，将50%的"先验概率"一下子提高到了75%的"后验概率"。
现在我们再来看一遍贝叶斯公式，你现在就能明白这个公式背后的最关键思想了：我们先根据以往的经验预估一个"先验概率"P(A)，然后加入新的信息（实验结果B），这样有了新的信息后，我们对事件A的预测就更加准确。
因此，贝叶斯定理可以理解成下面的式子：后验概率（新信息出现后A发生的概率） ＝ 先验概率（A发生的概率） ｘ 可能性函数（新信息带出现来的调整）
贝叶斯的底层思想就是：如果我能掌握一个事情的全部信息，我当然能计算出一个客观概率（古典概率、正向概率）。可是生活中绝大多数决策面临的信息都是不全的，我们手中只有有限的信息。既然无法得到全面的信息，我们就在信息有限的情况下，尽可能做出一个好的预测。也就是，在主观判断的基础上，可以先估计一个值（先验概率），然后根据观察的新信息不断修正(可能性函数)。
3.贝叶斯定理的应用案例
前面我们介绍了贝叶斯定理公式，及其背后的思想。现在我们来举个应用案例，你会更加熟悉这个牛瓣的工具。为了后面的案例计算，我们需要先补充下面这个知识。**1.全概率公式这个公式的作用是计算贝叶斯定理中的P(B)。**假定样本空间S，由两个事件A与A'组成的和。例如下图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S。
这时候来了个事件B，如下图：
全概率公式：
它的含义是，如果A和A'构成一个问题的全部（全部的样本空间），那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
看到这么复杂的公式，记不住没关系，因为我也记不住，下面用的时候翻到这里来看下就可以了。
案例1：贝叶斯定理在做判断上的应用有两个一模一样的碗，1号碗里有30个巧克力和10个水果糖，2号碗里有20个巧克力和20个水果糖。
然后把碗盖住。随机选择一个碗，从里面摸出一个巧克力。问题：这颗巧克力来自1号碗的概率是多少？
好了，下面我就用套路来解决这个问题，到最后我会给出这个套路。
第1步，分解问题
1）要求解的问题：取出的巧克力，来自1号碗的概率是多少？来自1号碗记为事件A1，来自2号碗记为事件A2取出的是巧克力，记为事件B，那么要求的问题就是P(A1|B)，即取出的是巧克力，来自1号碗的概率
2）已知信息：1号碗里有30个巧克力和10个水果糖2号碗里有20个巧克力和20个水果糖取出的是巧克力
第2步，应用贝叶斯定理
1）求先验概率
由于两个碗是一样的，所以在得到新信息（取出是巧克力之前），这两个碗被选中的概率相同，因此P(A1)=P(A2)=0.5,(其中A1表示来自1号碗，A2表示来自2号碗)这个概率就是"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗、二号碗的概率都是0.5。
2）求可能性函数
P(B|A1)/P(B)
其中，P(B|A1)表示从一号碗中(A1)取出巧克力(B)的概率。因为1号碗里有30个水果糖和10个巧克力，所以P(B|A1)=30/(30+10)=75%现在只有求出P(B)就可以得到答案。根据全概率公式，可以求得P(B)如下图：
图中P(B|A1)是1号碗中巧克力的概率，我们根据前面的已知条件，很容易求出。同样的，P(B|A2)是2号碗中巧克力的概率，也很容易求出（图中已给出）。而P(A1)=P(A2)=0.5将这些数值带入公式中就是小学生也可以算出来的事情了。最后P(B)=62.5%
所以，可能性函数P(A1|B)/P(B)=75%/62.5%=1.2可能性函数>1.表示新信息B对事情A1的可能性增强了。
3）带入贝叶斯公式求后验概率将上述计算结果，带入贝叶斯定理，即可算出P(A1|B)=60%这个例子中我们需要关注的是约束条件：抓出的是巧克力。如果没有这个约束条件在，来自一号碗这件事的概率就是50%了，因为巧克力的分布不均把概率从50%提升到60%。
现在，我总结下刚才的贝叶斯定理应用的套路，你就更清楚了，会发现像小学生做应用题一样简单：第1步. 分解问题简单来说就像做应用题的感觉，先列出解决这个问题所需要的一些条件，然后记清楚哪些是已知的，哪些是未知的。1）要求解的问题是什么？识别出哪个是贝叶斯中的事件A（一般是想要知道的问题），哪个是事件B（一般是新的信息，或者实验结果）2）已知条件是什么？
第2步.应用贝叶斯定理
第3步，求贝叶斯公式中的2个指标
1）求先验概率
2）求可能性函数
3）带入贝叶斯公式求后验概率
案例2：贝叶斯定理在疾病检测中的应用每一个医学检测，都存在假阳性率和假阴性率。所谓假阳性，就是没病，但是检测结果显示有病。假阴性正好相反，有病但是检测结果正常。
假设检测准备率是99%，如果医生完全依赖检测结果，也会误诊，即假阳性的情况，也就是说根据检测结果显示有病，但是你实际并没有得病。
举个更具体的例子，因为艾滋病潜伏期很长，所以即便感染了也可能在相当长的一段时间身体没有任何感觉，所以艾滋病检测的假阳性会导致被测人非常大的心理压力。
**你可能会觉得，检测准确率都99%了，误测几乎可以忽略不计了吧？所以你觉得这人肯定没有患艾滋病了对不对？**但我们用贝叶斯分析算一下，你会发现你的直觉是错误的。
假设某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？
好了，我知道你面对这一大推信息又头大了，我也是。但是我们有模板套路，下面开始。
第1步，分解问题1）要求解的问题：病人的检验结果为阳性，他确实得病的概率有多大？病人的检验结果为阳性（新的信息）为事件B，他得病记为事件A，那么求解的就是P(A|B)，即病人的检验结果为阳性，他确实得病的概率2）已知信息疾病的发病率是0.001，即P(A)=0.001试剂可以检验患者是否得病，准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下(A)，它有99%的可能呈现阳性(B)，也就是P(B|A)=0.99试剂的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性得病我们记为事件A，那么没有得病就是事件A的反面，记为A'，所以这句话就是P(B|A')=5%
2.应用贝叶斯定理
1）求先验概率
疾病的发病率是0.001，即P(A)=0.001
2）求可能性函数
P(B|A)/P(B)
其中，P(B|A)表示在患者确实得病的情况下(A)，试剂呈现阳性的概率，从前面的已知条件中我们已经知道P(B|A)=0.99
现在只有求出P(B)就可以得到答案。根据全概率公式，可以求得P(B)=0.05094
如下图：
所以可能性函数 P(B|A)/P(B) = 0.99/0.05094 = 19.4346
3）带入贝叶斯公式求后验概率
我们得到了一个惊人的结果，P(A|B)等于1.94%。也就是说，筛查的正确性都到了99%以上了，通过体检判断有没有得病的概率也只有1.94%
你可能会说，再也不相信那些吹的天花乱坠的技术了，说好了筛查准确率那么高，结果筛查的结果对于确诊疾病一点用都没有，这还要医学技术干什么？
没错，这就是贝叶斯分析告诉我们的。我们拿艾滋病来说，由于发艾滋病实在是小概率事件，所以当我们对一大群人做艾滋病筛查时，虽说准确率有99%，但仍然会有相当一部分人因为误测而被诊断为艾滋病，这一部分人在人群中的数目甚至比真正艾滋病患者的数目还要高。
你肯定要问了，那该怎样纠正测量带来的这么高的误诊呢？
造成这么不靠谱的误诊的原因，是我们无差别地给一大群人做筛查，而不论测量准确率有多高，因为正常人的数目远大于实际的患者，所以误测造成的干扰就非常大了。
根据贝叶斯定理，我们知道提高先验概率，可以有效的提高后验概率。所以解决的办法倒也很简单，就是先锁定可疑的样本，比如10000人中检查出现问题的那10个人，再独立重复检测一次，因为正常人连续两次体检都出现误测的概率极低，这时筛选出真正患者的准确率就很高了，这也是为什么许多疾病的检测，往往还要送交独立机构多次检查的原因。
这也是为什么艾滋病检测第一次呈阳性的人，还需要做第二次检测，第二次依然是阳性的还需要送交国家实验室做第三次检测。
在《医学的真相》这本书里举了个例子，假设检测艾滋病毒，对于每一个呈阳性的检测结果，只有50%的概率能证明这位患者确实感染了病毒。但是如果医生具备先验知识，先筛选出一些高风险的病人，然后再让这些病人进行艾滋病检查，检查的准确率就能提升到95%。
案例4：贝叶斯垃圾邮件过滤器
垃圾邮件是一种令人头痛的问题，困扰着所有的互联网用户。全球垃圾邮件的高峰出现在2006年，那时候所有邮件中90%都是垃圾，2015年6月份全球垃圾邮件的比例数字首次降低到50%以下。最初的垃圾邮件过滤是靠静态关键词加一些判断条件来过滤，效果不好，漏网之鱼多，冤枉的也不少。2002年，Paul Graham提出使用"贝叶斯推断"过滤垃圾邮件。他说，这样做的效果，好得不可思议。1000封垃圾邮件可以过滤掉995封，且没有一个误判。
因为典型的垃圾邮件词汇在垃圾邮件中会以更高的频率出现，所以在做贝叶斯公式计算时，肯定会被识别出来。之后用最高频的15个垃圾词汇做联合概率计算，联合概率的结果超过90%将说明它是垃圾邮件。
用贝叶斯过滤器可以识别很多改写过的垃圾邮件，而且错判率非常低。甚至不要求对初始值有多么精确，精度会在随后计算中逐渐逼近真实情况。（ps：如果留言想详细了解这个知识的很多，我后面会专门写文章来回答大家）
4.生活中的贝叶斯思维贝叶斯定理与人脑的工作机制很像，这也是为什么它能成为机器学习的基础。
如果你仔细观察小孩学习新东西的这个能力，会发现，很多东西根本就是看一遍就会。比如我3岁的外甥，看了我做俯卧撑的动作，也做了一次这个动作，虽然动作不标准，但是也是有模有样。
同样的，我告诉他一个新单词，他一开始并不知道这个词是什么意思，但是他可以根据当时的情景，先来个猜测（先验概率/主观判断）。一有机会，他就会在不同的场合说出这个词，然后观察你的反应。如果我告诉他用对了，他就会进一步记住这个词的意思，如果我告诉他用错了，他就会进行相应调整。（可能性函数/调整因子）。经过这样反复的猜测、试探、调整主观判断，就是贝叶斯定理思维的过程。
同样的，我们成人也在用贝叶斯思维来做出决策。比如，你和女神在聊天的时候，如果对方说出“虽然”两个字，你大概就会猜测，对方后继九成的可能性会说出“但是”。我们的大脑看起来就好像是天生在用贝叶斯定理，即根据生活的经历有了主观判断（先验概率），然后根据搜集新的信息来修正（可能性函数/调整因子），最后做出高概率的预测（后验概率）。
其实这个过程，就是下面图片的大脑决策过程：
所以，在生活中涉及到预测的事情，用贝叶斯的思维可以提高预测的概率。你可以分3个步骤来预测：
1.分解问题
简单来说就像小学生做应用题的感觉，先列出要解决的问题是什么？已知条件有哪些？
2. 给出主观判断
不是瞎猜，而是根据自己的经历和学识来给出一个主观判断。
3.搜集新的信息，优化主观判断
持续关于你要解决问题相关信息的最新动态，然后用获取到的新信息来不断调整第2步的主观判断。如果新信息符合这个主观判断，你就提高主观判断的可信度，如果不符合，你就降低主观判断的可信度。
比如我们刚开始看到“人工智能是否造成人类失业”这个信息，你有自己的理解（主观判断），但是当你学习了一些数据分析，或者看了些这方面的最新研究进展（新的信息），然后你根据掌握的最新信息优化了自己之前的理解（调整因子），最后重新理解了“人工智能”这个信息（后验概率）。这也就是胡适说的“大胆假设，小心求证”。