风险平价投资组合是一种资产配置，其重点是**配置风险**，而不是配置资产。例如，典型的债券40％、股票60％投资组合中，股票风险很大。风险平价（等同风险）是这样一种投资组合：**单个资产（在这种情况下为债券和股票）对整体投资组合总风险具有相同的风险贡献**。该理论在过去几十年中得到普及和发展，基于风险的资产配置理念已被用于许多策略，如管理期货策略和着名的桥水全天候基金。有研究表明，这种资产配置策略比基于资产的配置策略提供更好的风险调整回报。 

我将讨论风险平价的一个非常基本的例子，以及如何构建简单的风险平价（相等风险）投资组合，并将其扩展到风险预算组合（目标风险分配）的具体实现。

首先将资产j的**边际风险贡献（$MRC_j$）**定义为：

$$MRC_j = \frac{\partial \sigma_p}{\partial w_j} = \frac{(V*w)_j}{\sigma_p}$$

其中：

$w_j$表示第j个资产的权重

$V$表示资产的协方差矩阵

$\sigma_p = \sqrt{w*V*w^T}$ 表示组合风险

然后，资产j对总投资组合的**风险贡献($RC_j$)**为：

$$RC_j = w*MRC_j = \frac{{w_j(V*w)}_j}{\sigma_p}$$

风险平价投资组合是所有资产中每个资产的$RC$相等的投资组合。

计算风险平价组合的权重，本质上属于一个**二次优化**问题。

让投资组合资产$RC$的平方误差的总和为(优化问题的目标函数)：

$$J(x)=(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(w_i(V*w))_i-w_j(V*w)_j)^2$$

优化问题的约束条件为：

$$minJ(x)$$

$$s.t.\sum_iw_i = 1 $$  

$$1 \geq wi \geq 0$$

# 协方差矩阵和收益率向量
from scipy.optimize import minimize
V = np.matrix('123 37.5 70 30; 37.5 122 72 13.5; 70 72 321 -32; 30 13.5 -32 52')/100  # covariance
R = np.matrix('14; 12; 15; 7')/100 # return

 # 风险预算优化
def calculate_portfolio_var(w,V):
    # 计算组合风险的函数
    w = np.matrix(w)
    return (w*V*w.T)[0,0]

def calculate_risk_contribution(w,V):
    # 计算单个资产对总体风险贡献度的函数
    w = np.matrix(w)
    sigma = np.sqrt(calculate_portfolio_var(w,V))
    # 边际风险贡献
    MRC = V*w.T
    # 风险贡献
    RC = np.multiply(MRC,w.T)/sigma
    return RC

def risk_budget_objective(x,pars):
    # 计算组合风险
    V = pars[0]# 协方差矩阵
    x_t = pars[1] # 组合中资产预期风险贡献度的目标向量
    sig_p =  np.sqrt(calculate_portfolio_var(x,V)) # portfolio sigma
    risk_target = np.asmatrix(np.multiply(sig_p,x_t))
    asset_RC = calculate_risk_contribution(x,V)
    J = sum(np.square(asset_RC-risk_target.T))[0,0] # sum of squared error
    return J

def total_weight_constraint(x):
    return np.sum(x)-1.0

def long_only_constraint(x):
    return x

# 根据资产预期目标风险贡献度来计算各资产的权重
def calcu_w(x):
    w0 = [0.2, 0.2, 0.2, 0.6] 
#     x_t = [0.25, 0.25, 0.25, 0.25] # 目标是让四个资产风险贡献度相等，即都为25%
    x_t = x 
    cons = ({'type': 'eq', 'fun': total_weight_constraint},
    {'type': 'ineq', 'fun': long_only_constraint})
    res= minimize(risk_budget_objective, w0, args=[V,x_t], method='SLSQP',constraints=cons, options={'disp': True})
    w_rb = np.asmatrix(res.x)
    return w_rb

# 将各资产风险贡献度绘制成柱状图
def plot_rc(w):
    rc = calculate_risk_contribution(w, V)
    rc = rc.tolist()
    rc = [i[0] for i in rc]
    rc = pd.DataFrame(rc,columns=['rick contribution'],index=[1,2,3,4])
    T.plot(rc, chart_type='column', title = 'Contribution to risk')
    

# 假设四个资产的风险贡献度相等
w_rb = calcu_w([0.25, 0.25, 0.25, 0.25])
print('各资产权重：', w_rb)
plot_rc(w_rb)

# 假设风险贡献度依次为0.3,0.3,0.1,0.3
w = calcu_w([0.3, 0.3 ,0.1,0.3])
print('各资产权重：', w)
plot_rc(w)